Весовая функция

Construct related to weighted sums and averages

Весовая функция — это математический прием, используемый при выполнении суммы, интеграла или среднего, чтобы придать некоторым элементам больший «вес» или влияние на результат, чем другим элементам в том же наборе. Результатом этого применения весовой функции является взвешенная сумма или взвешенное среднее . Весовые функции часто встречаются в статистике и анализе и тесно связаны с понятием меры . Весовые функции могут использоваться как в дискретных, так и в непрерывных условиях. Их можно использовать для построения систем исчисления, называемых «взвешенным исчислением» ^[1] и «метаисчислением». ^[2]

Дискретные веса

Общее определение

В дискретной настройке весовая функция — это положительная функция, определенная на дискретном множестве , которое обычно является конечным или счетным . Весовая функция соответствует невзвешенной ситуации, в которой все элементы имеют одинаковый вес. Затем можно применять этот вес к различным концепциям. ${\displaystyle w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle w(a):=1}$

Если функция является действительной функцией , то невзвешенная сумма по определяется как ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a);}$

но при наличии весовой функции взвешенная сумма или коническая комбинация определяется как ${\displaystyle w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a)w(a).}$

Одно из распространенных применений взвешенных сумм возникает при численном интегрировании .

Если B является конечным подмножеством A , можно заменить невзвешенную мощность | B | множества B на взвешенную мощность

${\displaystyle \sum _{a\in B}w(a).}$

Если A — конечное непустое множество, то можно заменить невзвешенное среднее или среднее

${\displaystyle {\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)}$

по средневзвешенному или средневзвешенному значению

${\displaystyle {\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.}$

В этом случае имеют значение только относительные веса.

Статистика

Взвешенные средние значения обычно используются в статистике для компенсации наличия смещения . Для величины, измеренной несколько независимых раз с дисперсией , наилучшая оценка сигнала получается путем усреднения всех измерений с весом , и результирующая дисперсия меньше, чем каждое из независимых измерений . Метод максимального правдоподобия взвешивает разницу между соответствием и данными, используя те же веса . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$ ${\textstyle w_{i}=1/{\sigma _{i}^{2}}}$ ${\textstyle \sigma ^{2}=1/\sum _{i}w_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$

Ожидаемое значение случайной величины — это средневзвешенное значение возможных значений, которые она может принимать, при этом веса — это соответствующие вероятности . В более общем смысле, ожидаемое значение функции случайной величины — это средневзвешенное по вероятности значение значений, которые функция принимает для каждого возможного значения случайной величины.

В регрессиях , в которых предполагается, что зависимая переменная подвержена влиянию как текущих, так и запаздывающих (прошлых) значений независимой переменной , оценивается распределенная функция запаздывания , которая является средневзвешенным значением текущих и различных запаздывающих значений независимой переменной. Аналогично, модель скользящего среднего определяет развивающуюся переменную как средневзвешенное значение текущих и различных запаздывающих значений случайной величины.

Механика

Термин « функция веса» возник из механики : если на рычаге имеется набор объектов с грузами (где вес теперь интерпретируется в физическом смысле) и местоположениями , то рычаг будет находиться в равновесии, если точка опоры рычага находится в центре масс. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dotsc ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

что также является средневзвешенным значением позиций . ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$

Непрерывные веса

В непрерывной обстановке вес — это положительная мера , например, на некоторой области , которая обычно является подмножеством евклидова пространства , например, может быть интервалом . Здесь — мера Лебега , а — неотрицательная измеримая функция . В этом контексте весовую функцию иногда называют плотностью . ${\displaystyle w(x)\,dx}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle w\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle w(x)}$

Общее определение

Если - действительная функция , то невзвешенный интеграл ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\ dx}$

можно обобщить до взвешенного интеграла

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx}$

Обратите внимание, что для того, чтобы этот интеграл был конечным, может потребоваться требование абсолютной интегрируемости относительно веса . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w(x)\,dx}$

Взвешенный объем

Если E является подмножеством , то объем vol( E ) множества E можно обобщить до взвешенного объема ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{E}w(x)\ dx,}$

Средневзвешенное значение

Если имеет конечный ненулевой взвешенный объем, то мы можем заменить невзвешенное среднее ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\ dx}$

по средневзвешенному значению

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,w(x)\,dx}{\displaystyle \int _{\Omega }w(x)\,dx}}}$

Билинейная форма

Если и — две функции, то можно обобщить невзвешенную билинейную форму ${\displaystyle f\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle g\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx}$

к взвешенной билинейной форме

${\displaystyle {\langle f,g\rangle }_{w}:=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ w(x)\ dx.}$

Примеры взвешенных ортогональных функций см. в статье об ортогональных многочленах .

Смотрите также

• Центр масс
• Численное интегрирование
• Ортогональность
• Средневзвешенное значение
• Линейная комбинация
• Ядро (статистика)
• Мера (математика)
• Интеграл Римана–Стилтьеса
• Взвешивание
• Функция окна

Ссылки

1. Джейн Гроссман, Майкл Гроссман, Роберт Кац. Первые системы весового дифференциального и интегрального исчисления, ISBN  0-9771170-1-4 , 1980.
2. Джейн Гроссман. Мета-исчисление: дифференциальное и интегральное, ISBN 0-9771170-2-2 , 1981.