Комплексный логарифм

Логарифм комплексного числа

Одна ветвь комплексного логарифма. Оттенок цвета используется для отображения аргумента комплексного логарифма. Яркость цвета используется для отображения модуля комплексного логарифма.

Действительная часть log(z) является натуральным логарифмом | z | . Таким образом, его график получается вращением графика ln( x ) вокруг оси z .

В математике комплексный логарифм является обобщением натурального логарифма на ненулевые комплексные числа . Термин относится к одному из следующих, которые тесно связаны:

• Комплексный логарифм ненулевого комплексного числа , определяемый как любое комплексное число, для которого . ^{[1] [2]} Такое число обозначается как . ^[1] Если задано в полярной форме как , где и — действительные числа с , то — один логарифм , и все комплексные логарифмы — это в точности числа вида для целых чисел . ^{[1] [2]} Эти логарифмы равномерно распределены вдоль вертикальной линии в комплексной плоскости. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e^{w}=z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \ln r+i\theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \ln r+i\left(\theta +2\pi k\right)}$ ${\displaystyle k}$
• Комплекснозначная функция , определенная на некотором подмножестве множества ненулевых комплексных чисел, удовлетворяющая для всех в . Такие комплексно-логарифмические функции аналогичны действительной логарифмической функции , которая является обратной действительной показательной функции и, следовательно, удовлетворяет e ^{ln x} = x для всех положительных действительных чисел x . Комплексно-логарифмические функции могут быть построены с помощью явных формул, включающих действительнозначные функции, путем интегрирования или с помощью процесса аналитического продолжения . ${\displaystyle \log \colon U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle e^{\log z}=z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1/z}$

Не существует непрерывной комплексной логарифмической функции, определенной на всех . Способы решения этой проблемы включают ветви , связанную риманову поверхность и частичные обратные комплексной показательной функции . Главное значение определяет конкретную комплексную логарифмическую функцию , которая непрерывна, за исключением отрицательной вещественной оси; на комплексной плоскости с удаленными отрицательными вещественными числами и 0 это аналитическое продолжение (вещественного) натурального логарифма. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} }$

Проблемы с обращением комплексной показательной функции

График многозначной мнимой части функции комплексного логарифма, показывающий ветви. Когда комплексное число z движется вокруг начала координат, мнимая часть логарифма идет вверх или вниз. Это делает начало координат точкой ветвления функции.

Чтобы функция имела обратную функцию, она должна отображать различные значения в различные значения ; то есть она должна быть инъективной . Но комплексная экспоненциальная функция не является инъективной, потому что для любого комплексного числа и целого числа , так как добавление к имеет эффект вращения против часовой стрелки радиан . Таким образом, точки ${\displaystyle e^{w+2\pi ik}=e^{w}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i\theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle e^{w}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \ldots ,\;w-4\pi i,\;w-2\pi i,\;w,\;w+2\pi i,\;w+4\pi i,\;\ldots ,}$

равномерно распределенные вдоль вертикальной линии, отображаются в одно и то же число экспоненциальной функцией. Это означает, что экспоненциальная функция не имеет обратной функции в стандартном смысле. ^{[3] [4]} Есть два решения этой проблемы.

Один из них заключается в ограничении области определения показательной функции областью, которая не содержит никаких двух чисел, отличающихся на целое число, кратное : это естественным образом приводит к определению ветвей , которые являются определенными функциями, выделяющими один логарифм каждого числа в своих областях определения. Это аналогично определению на как обратного ограничения на интервал : существует бесконечно много действительных чисел с , но произвольно выбирается одно из . ${\displaystyle 2{\mathit {\pi i}}}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \arcsin x}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta =x}$ ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$

Другой способ разрешения неопределенности — рассматривать логарифм как функцию, область определения которой представляет собой не область в комплексной плоскости , а риманову поверхность, которая покрывает проколотую комплексную плоскость в бесконечности от 1.

Ветви имеют то преимущество, что их можно оценить в комплексных числах. С другой стороны, функция на поверхности Римана элегантна тем, что она упаковывает все ветви логарифма и не требует произвольного выбора в качестве части своего определения.

Основная стоимость

Определение

Для каждого ненулевого комплексного числа главное значение — это логарифм, мнимая часть которого лежит в интервале . ^[2] Выражение остается неопределенным, поскольку не существует комплексного числа, удовлетворяющего . ^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} 0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e^{w}=0}$

Когда нотация появляется без указания какого-либо конкретного логарифма, обычно лучше всего предположить, что подразумевается главное значение. В частности, это дает значение, согласующееся с действительным значением, когда является положительным действительным числом. Заглавные буквы в нотации используются некоторыми авторами ^[2], чтобы отличить главное значение от других логарифмов ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \ln z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle z.}$

Расчет основной стоимости

Полярная форма ненулевого комплексного числа — это , где — абсолютное значение , а — его аргумент . Абсолютное значение является действительным и положительным. Аргумент определяется с точностью до прибавления целого числа, кратного 2 π . Его главное значение — это значение, принадлежащее интервалу , которое выражается как . ${\displaystyle z=x+yi}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$

Это приводит к следующей формуле для главного значения комплексного логарифма:

${\displaystyle \operatorname {Log} z=\ln r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\ln {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).}$

Например, , и . ${\displaystyle \operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-\pi i/2}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} (-3)=\ln 3+\pi i}$

Главное значение как обратная функция

Другой способ описания — как обратная функция ограничения комплексной показательной функции, как в предыдущем разделе. Горизонтальная полоса, состоящая из комплексных чисел, таких что является примером области, не содержащей никаких двух чисел, отличающихся на целое число, кратное , поэтому ограничение показательной функции до имеет обратную функцию. Фактически, показательная функция отображается биективно на проколотую комплексную плоскость , а обратная функция этого ограничения — . Раздел конформного отображения ниже более подробно объясняет геометрические свойства этой карты. ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle w=x+yi}$ ${\displaystyle -\pi <y\leq \pi }$ ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to S}$

Главное значение как аналитическое продолжение

В области, состоящей из комплексных чисел, которые не являются отрицательными действительными числами или 0, функция является аналитическим продолжением натурального логарифма. Значения на отрицательной действительной прямой могут быть получены как пределы значений при близлежащих комплексных числах с положительными мнимыми частями. ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$

Характеристики

Не все тождества, удовлетворяемые , распространяются на комплексные числа. Верно, что для всех (это то, что означает для быть логарифмом ), но тождество не выполняется для за пределами полосы . По этой причине не всегда можно применить к обеим сторонам тождества, чтобы вывести . Кроме того, тождество может не выполняться: две стороны могут отличаться на целое число, кратное ; ^[1] например, ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle e^{\operatorname {Log} z}=z}$ ${\displaystyle z\not =0}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} (e^{z})=z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle e^{z}=e^{w}}$ ${\displaystyle z=w}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Log} z_{1}+\operatorname {Log} z_{2}}$ ${\displaystyle 2\pi i}$

${\displaystyle \operatorname {Log} ((-1)i)=\operatorname {Log} (-i)=\ln(1)-{\frac {\pi i}{2}}=-{\frac {\pi i}{2}},}$

но

${\displaystyle \operatorname {Log} (-1)+\operatorname {Log} (i)=\left(\ln(1)+\pi i\right)+\left(\ln(1)+{\frac {\pi i}{2}}\right)={\frac {3\pi i}{2}}\neq -{\frac {\pi i}{2}}.}$

Функция разрывна при каждом отрицательном вещественном числе, но непрерывна во всех остальных местах в . Чтобы объяснить разрыв, рассмотрим, что происходит с , когда приближается к отрицательному вещественному числу . Если приближается сверху, то приближается , что также является значением самого себя. Но если приближается снизу, то приближается Так что «прыгает» на , когда пересекает отрицательную вещественную ось, и аналогично прыгает на ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle \arg a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle -\pi .}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle 2\pi i.}$

Ветви комплексного логарифма

Есть ли другой способ выбрать логарифм каждого ненулевого комплексного числа, чтобы сделать функцию , непрерывную на всех ? Ответ — нет. Чтобы понять, почему, представьте, что вы отслеживаете такую ​​логарифмическую функцию вдоль единичной окружности , оценивая ее по мере увеличения от до . Если непрерывна, то также , но последняя является разностью двух логарифмов , поэтому она принимает значения в дискретном наборе, поэтому она постоянна. В частности, , что противоречит . ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{i\theta }\right)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{i\theta }\right)-i\theta }$ ${\displaystyle e^{i\theta },}$ ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{2\pi i}\right)-2\pi i=\operatorname {L} \left(e^{0}\right)-0}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{2\pi i}\right)-2\pi =\operatorname {L} \left(e^{0}\right)-0}$

Чтобы получить непрерывный логарифм, определенный на комплексных числах, необходимо ограничить область определения меньшим подмножеством комплексной плоскости. Поскольку одной из целей является возможность дифференцировать функцию, разумно предположить, что функция определена на окрестности каждой точки ее области определения; другими словами, должно быть открытым множеством . Также разумно предположить, что связано , поскольку в противном случае значения функции на различных компонентах могли бы быть не связаны друг с другом. Все это мотивирует следующее определение : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Ветвь — это непрерывная функция, определенная на связном открытом подмножестве комплексной плоскости, такая, что является логарифмом для каждого из . ^[2] ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Например, главное значение определяет ветвь на открытом множестве, где оно непрерывно, то есть множество, полученное путем удаления 0 и всех отрицательных действительных чисел из комплексной плоскости. ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$

Другой пример: серия Меркатора.

${\displaystyle \ln(1+u)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}u^{n}=u-{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {u^{3}}{3}}-\cdots }$

сходится локально равномерно для , поэтому задание определяет ветвь на открытом диске радиуса 1 с центром в точке 1. (На самом деле, это всего лишь ограничение , как можно показать, дифференцируя разность и сравнивая значения в точке 1.) ${\displaystyle |u|<1}$ ${\displaystyle z=1+u}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$

После того, как ветвь зафиксирована, ее можно обозначить, если это не приведет к путанице. Однако разные ветви могут давать разные значения логарифма конкретного комплексного числа, поэтому ветвь должна быть зафиксирована заранее (или должна быть понята главная ветвь), чтобы " " имело точное однозначное значение. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \log z}$

Срезы ветвей

Приведенный выше аргумент, включающий единичную окружность, обобщается, чтобы показать, что не существует ветви на открытом множестве, содержащем замкнутую кривую , которая обвивается вокруг 0. Говорят, что " " имеет точку ветвления в 0". Чтобы избежать содержания замкнутых кривых, обвивающихся вокруг 0, обычно выбирается в качестве дополнения луча или кривой в комплексной плоскости, идущей от 0 (включительно) до бесконечности в некотором направлении. В этом случае кривая известна как разрез ветви . Например, главная ветвь имеет разрез ветви вдоль отрицательной действительной оси. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$

Если функцию продолжить так, чтобы она была определена в точке разреза ветви, то она обязательно будет там разрывной; в лучшем случае она будет непрерывной «с одной стороны», как при отрицательном действительном числе. ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$

Производная комплексного логарифма

Каждая ветвь на открытом множестве является обратной к ограничению показательной функции, а именно к ограничению на изображение . Поскольку показательная функция голоморфна (то есть комплексно дифференцируема) с ненулевой производной, применяется комплексный аналог теоремы об обратной функции . Он показывает, что голоморфна на , и для каждого в . ^[2] Другой способ доказать это — проверить уравнения Коши–Римана в полярных координатах . ^[2] ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (U)}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {L} '(z)=1/z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Построение ветвей посредством интеграции

Функцию для вещественного числа можно построить по формуле Если бы диапазон интегрирования начинался с положительного числа, отличного от 1, формула должна была бы иметь вид. ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle x>0}$ $${\displaystyle \ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {du}{u}}.}$$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \ln(x)=\ln(a)+\int _{a}^{x}{\frac {du}{u}}}$$

При разработке аналога для комплексного логарифма возникает дополнительная сложность: определение комплексного интеграла требует выбора пути. К счастью, если подынтегральное выражение голоморфно, то значение интеграла не изменяется при деформации пути (при фиксированных конечных точках), а в односвязной области (области «без дыр») любой путь из во внутрь может быть непрерывно деформирован вовнутрь в любой другой. Все это приводит к следующему: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Если — односвязное открытое подмножество , не содержащее 0, то ветвь, определённую на , можно построить, выбрав начальную точку в , выбрав логарифм , и определив для каждого в . ^[5] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle L(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {dw}{w}}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Комплексный логарифм как конформное отображение

Окружности Re(Log z ) = константа, а лучи Im(Log  z ) = константа в комплексной z -плоскости.

Комплексное логарифмическое отображение отображает радиусы в горизонтальные линии, а окружности в вертикальные линии.

Любое голоморфное отображение, удовлетворяющее для всех, является конформным отображением , что означает, что если две кривые, проходящие через точку , образуют угол (в том смысле, что касательные к кривым в образуют угол ), то образы двух кривых образуют тот же угол в . Поскольку ветвь является голоморфной, а ее производная никогда не равна 0, она определяет конформное отображение. ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f'(z)\neq 0}$ ${\displaystyle z\in U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle 1/z}$

Например, главная ветвь , рассматриваемая как отображение из в горизонтальную полосу, определяемую , имеет следующие свойства, которые являются прямыми следствиями формулы в терминах полярной формы: ${\displaystyle w=\operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle \left|\operatorname {Im} z\right|<\pi }$

• Окружности ^[6] в z -плоскости с центром в точке 0 отображаются в вертикальные сегменты в w -плоскости, соединяющиеся с , где — действительный логарифм радиуса окружности. ${\displaystyle a-\pi i}$ ${\displaystyle a+\pi i}$ ${\displaystyle a}$
• Лучи, исходящие из точки 0 в плоскости z, отображаются в горизонтальные линии в плоскости w .

Каждый круг и луч в z -плоскости, как показано выше, встречаются под прямым углом. Их изображения под Log — это вертикальный сегмент и горизонтальная линия (соответственно) в w -плоскости, и они также встречаются под прямым углом. Это иллюстрация конформного свойства Log.

Соответствующая риманова поверхность

Визуализация римановой поверхности log  z . Поверхность выглядит спиральной вокруг вертикальной линии, соответствующей началу комплексной плоскости. Фактическая поверхность простирается произвольно далеко как по горизонтали, так и по вертикали, но на этом изображении она обрезана.

Строительство

Различные ветви не могут быть склеены для получения одной непрерывной функции , поскольку две ветви могут давать разные значения в точке, где обе определены. Сравните, например, главную ветвь на с мнимой частью в и ветвь на , мнимая часть которой лежит в . Они совпадают на верхней полуплоскости , но не на нижней полуплоскости. Поэтому имеет смысл склеивать домены этих ветвей только вдоль копий верхней полуплоскости . Результирующая склеенная область связана, но у нее есть две копии нижней полуплоскости. Эти две копии можно визуализировать как два уровня парковки, и можно попасть с уровня нижней полуплоскости на уровень нижней полуплоскости, пройдя радианы против часовой стрелки вокруг 0 ​​, сначала пересекая положительную действительную ось (уровня ) в общую копию верхней полуплоскости, а затем пересекая отрицательную действительную ось (уровня ) в уровень нижней полуплоскости. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \log \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (0,2\pi )}$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle {\text{L}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle {\text{L}}}$ ${\displaystyle {\text{L}}}$

Можно продолжить, склеивая ветви с мнимой частью в , в и так далее, и в другом направлении ветви с мнимой частью в , в и так далее. Конечный результат — связанная поверхность, которую можно рассматривать как спиральную парковку с бесконечным количеством уровней, простирающихся как вверх, так и вниз. Это поверхность Римана, связанная с . ^[7] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (\pi ,3\pi )}$ ${\displaystyle (2\pi ,4\pi )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-2\pi ,0)}$ ${\displaystyle (-3\pi ,-\pi )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \log z}$

Точку на можно рассматривать как пару , где — возможное значение аргумента . Таким образом, R можно вложить в . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} \approx \mathbb {R} ^{3}}$

Функция логарифма на римановой поверхности

Поскольку области ветвей были склеены только вдоль открытых множеств, где их значения совпадали, ветви склеиваются, давая единую хорошо определенную функцию . ^[8] Она отображает каждую точку на . Этот процесс расширения исходной ветви путем склеивания совместимых голоморфных функций известен как аналитическое продолжение . ${\displaystyle \log _{R}\colon R\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \ln |z|+i\theta }$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$

Существует «проекционная карта» от вниз до , которая «сглаживает» спираль, отправляя в . Для любого , если взять все точки , лежащие «прямо над» и оценить во всех этих точках, то получим все логарифмы . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \log _{R}}$ ${\displaystyle z}$

Склеивание всех ветвей бревна z

Вместо того, чтобы склеивать только ветви, выбранные выше, можно начать со всех ветвей , и одновременно склеить каждую пару ветвей и вдоль наибольшего открытого подмножества , на котором и согласны. Это дает ту же поверхность Римана и функцию, что и раньше. Этот подход, хотя и немного сложнее для визуализации, более естественен, поскольку не требует выбора каких-либо конкретных ветвей. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle L_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \log _{R}}$

Если — открытое подмножество , проецирующееся биективно на свой образ в , то ограничение на соответствует ветви , определенной на . Каждая ветвь возникает таким образом. ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \log _{R}}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \log z}$

Поверхность Римана как универсальная крышка

Проекционное отображение реализуется как накрывающее пространство . Фактически, это накрытие Галуа с группой преобразований палубы, изоморфной , порожденной гомеоморфизмом , отправляющим в . ${\displaystyle R\to \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle (z,\theta +2\pi )}$

Как комплексное многообразие , является биголоморфным с помощью . (Обратное отображение отправляет в .) Это показывает, что является односвязным, поэтому универсальное покрытие является односвязным . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \log _{R}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \left(e^{z},\operatorname {Im} (z)\right)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

Приложения

• Комплексный логарифм необходим для определения возведения в степень , в которой основанием является комплексное число. А именно, если и являются комплексными числами с , можно использовать главное значение для определения . Можно также заменить другими логарифмами , чтобы получить другие значения , отличающиеся множителями вида . ^{[1] [9]} Выражение имеет единственное значение тогда и только тогда, когда является целым числом. ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\not =0}$ ${\displaystyle a^{b}=e^{b\operatorname {Log} a}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{b}}$ ${\displaystyle e^{2\pi inb}}$ ${\displaystyle a^{b}}$ ${\displaystyle b}$
• Поскольку тригонометрические функции можно выразить как рациональные функции , обратные тригонометрические функции можно выразить через комплексные логарифмы. ${\displaystyle e^{iz}}$
• В электротехнике постоянная распространения представляет собой комплексный логарифм.

Обобщения

Логарифмы по другим основаниям

Так же, как и для действительных чисел, можно определить для комплексных чисел и ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log x}{\log b}},}$

с единственной оговоркой, что его значение зависит от выбора ветви логарифма, определенного в и (с ). Например, использование главного значения дает ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \log b\not =0}$

${\displaystyle \log _{i}e={\frac {\operatorname {Log} e}{\operatorname {Log} i}}={\frac {1}{\pi i/2}}=-{\frac {2i}{\pi }}.}$

Логарифмы голоморфных функций

Если f — голоморфная функция на связном открытом подмножестве , то ветвь на является непрерывной функцией на такой, что для всех в . Такая функция обязательно голоморфна с для всех в . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \log f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e^{g(z)}=f(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g'(z)=f'(z)/f(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Если — односвязное открытое подмножество , а — нигде не обращающаяся в нуль голоморфная функция на , то ветвь функции , определённую на , можно построить, выбрав начальную точку a в , выбрав логарифм от , и определив ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \log f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(a)}$

${\displaystyle g(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {f'(w)}{f(w)}}\,dw}$

для каждого в . ^[2] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Примечания

1. Альфорс, Раздел 3.4.
2. Сарасон, Раздел IV.9.
3. Конвей, стр. 39.
4. Другая интерпретация этого состоит в том, что «обратная» комплексной показательной функции — это многозначная функция, переводящая каждое ненулевое комплексное число z в множество всех логарифмов z .
5. Лэнг, стр. 121.
6. Строго говоря, точку на каждой окружности на отрицательной действительной оси следует отбросить или использовать там главное значение.
7. Альфорс, Раздел 4.3.
8. Обозначения R и log _R не используются повсеместно.
9. Крейциг, стр. 640.

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1966). Комплексный анализ (2-е изд.). McGraw-Hill.
• Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной (2-е изд.). Springer. ISBN 9780387903286.
• Крейсциг, Эрвин (2011). Advanced Engineering Mathematics (10-е изд.). Берлин: Wiley . ISBN 9780470458365.
• Ланг, Серж (1993). Комплексный анализ (3-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 9783642592737.
• Моретти, Джино (1964). Функции комплексной переменной. Prentice-Hall.
• Сарасон, Дональд (2007). Теория комплексных функций (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 9780821886229.
• Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа (четвертое издание). Cambridge University Press.