Действительная алгебраическая геометрия

В математике действительная алгебраическая геометрия — это подраздел алгебраической геометрии , изучающий действительные алгебраические множества , т. е . действительные числовые решения алгебраических уравнений с действительными коэффициентами, а также отображения между ними (в частности, действительные полиномиальные отображения).

Полуалгебраическая геометрия — это изучение полуалгебраических множеств , т. е. действительных числовых решений алгебраических неравенств с действительными числовыми коэффициентами, и отображений между ними. Наиболее естественными отображениями между полуалгебраическими множествами являются полуалгебраические отображения, т. е. отображения, графики которых являются полуалгебраическими множествами.

Терминология

В настоящее время слова «полуалгебраическая геометрия» и «действительная алгебраическая геометрия» используются как синонимы, поскольку действительные алгебраические множества не могут быть серьезно изучены без использования полуалгебраических множеств. Например, проекция действительного алгебраического множества вдоль координатной оси не обязательно должна быть действительным алгебраическим множеством, но она всегда является полуалгебраическим множеством: это теорема Тарского–Зейденберга . ^{[1] [2]} Связанные области — o-минимальная теория и действительная аналитическая геометрия .

Примеры: Действительные плоские кривые являются примерами действительных алгебраических множеств, а многогранники — примерами полуалгебраических множеств. Действительные алгебраические функции и функции Нэша являются примерами полуалгебраических отображений. Кусочно-полиномиальные отображения (см. гипотезу Пирса–Биркгофа ) также являются полуалгебраическими отображениями.

Вычислительная действительная алгебраическая геометрия занимается алгоритмическими аспектами действительной алгебраической (и полуалгебраической) геометрии. Основной алгоритм — цилиндрическая алгебраическая декомпозиция . Она используется для разрезания полуалгебраических множеств на аккуратные части и вычисления их проекций.

Действительная алгебра — это часть алгебры, которая имеет отношение к действительной алгебраической (и полуалгебраической) геометрии. Она в основном занимается изучением упорядоченных полей и упорядоченных колец (в частности, действительных замкнутых полей ) и их приложений к изучению положительных многочленов и сумм квадратов многочленов . (См . 17-ю проблему Гильберта и Positivestellensatz Кривина .) Связь действительной алгебры с действительной алгебраической геометрией аналогична связи коммутативной алгебры с комплексной алгебраической геометрией . Связанными областями являются теория проблем моментов , выпуклая оптимизация , теория квадратичных форм , теория оценки и теория моделей .

Хронология реальной алгебры и реальной алгебраической геометрии

• 1826 Алгоритм Фурье для систем линейных неравенств. ^[3] Переоткрыт Ллойдом Дайнсом в 1919 году ^[4] и Теодором Моцкиным в 1936 году ^[5]
• 1835 Теорема Штурма о подсчете действительных корней ^[6]
• 1856 Теорема Эрмита о подсчете действительных корней. ^[7]
• 1876 ​​Теорема Гарнака о кривой . ^[8] (Эта граница числа компонентов была позже распространена на все числа Бетти всех действительных алгебраических множеств ^{[9] [10] [11]} и всех полуалгебраических множеств. ^[12] )
• 1888 Теорема Гильберта о тернарных квартиках. ^[13]
• 1900 Проблемы Гильберта (особенно 16- я и 17- я проблемы)
• Лемма Фаркаша 1902 года ^[14] (Можно переформулировать как линейную позитивную теорему).
• 1914 Аннибале Комессатти показал, что не каждая вещественная алгебраическая поверхность бирациональна RP ^{2 [15]}
• 1916 г. Гипотеза Фейера о неотрицательных тригонометрических полиномах. ^[16] (Решено Фридьесом Риссом . ^[17] )
• 1927 Решение Эмилем Артином 17-й проблемы Гильберта ^[18]
• Теорема Крулля–Бэра 1927 года ^{[19] [20]} (связь между порядками и оценками)
• 1928 Теорема Полиа о положительных многочленах на симплексе ^[21]
• 1929 Б. Л. ван дер Варден набросал доказательство того, что действительные алгебраические и полуалгебраические множества можно триангулировать ^[22] , но необходимые инструменты, чтобы сделать это доказательство строгим, не были разработаны.
• 1931 Устранение вещественного квантификатора Альфреда Тарского . [ ^23] Улучшено и популяризировано Абрахамом Зайденбергом в 1954 году. ^[24] (Оба используют теорему Штурма .)
• 1936 Герберт Зейферт доказал, что каждое замкнутое гладкое подмногообразие с тривиальным нормальным расслоением может быть изотопизировано компоненте неособого вещественного алгебраического подмножества, полное пересечение которого является ^[25] (из заключения этой теоремы слово «компонента» удалить нельзя ^[26] ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 1940 Теорема о представлении Маршалла Стоуна для частично упорядоченных колец. ^[27] Улучшена Ричардом Кадисоном в 1951 ^[28] и Дональдом Дюбуа в 1967 ^[29] (теорема о представлении Кадисона–Дюбуа). Дальнейшее улучшение Михаем Путинаром в 1993 ^[30] и Якоби в 2001 ^[31] (теорема о представлении Путинара–Якоби).
• 1952 Джон Нэш доказал, что каждое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно неособой компоненте действительного алгебраического множества. ^[32]
• 1956 Сформулирована гипотеза Пирса–Биркгофа . ^[33] (Решено в размерностях ≤ 2. ^[34] )
• 1964 Кривине Nullstellensatz и Positivestellensatz . ^[35] Переоткрыт и популяризирован Стенглом в 1974 году. ^[36] (Кривин использует исключение вещественных кванторов , в то время как Стенгл использует теорему Лэнга о гомоморфизме. ^[37] )
• 1964 Лоясевич триангулировал полуаналитические множества ^[38]
• 1964 Хейсукэ Хиронака доказал теорему о разрешении сингулярности ^[39]
• 1964 Хасслер Уитни доказал, что каждое аналитическое многообразие допускает стратификацию, удовлетворяющую условиям Уитни . ^[40]
• 1967 Теодор Моцкин находит положительный многочлен, который не является суммой квадратов многочленов . ^[41]
• 1972 Владимир Рохлин доказал гипотезу Гудкова . ^[42]
• 1973 Альберто Тоньоли доказал, что каждое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно неособому действительному алгебраическому множеству. ^[43]
• 1975 Джордж Э. Коллинз открывает алгоритм цилиндрической алгебраической декомпозиции , который улучшает метод исключения вещественных кванторов Тарского и позволяет реализовать его на компьютере. ^[44]
• 1973 Жан-Луи Вердье доказал, что каждое субаналитическое множество допускает стратификацию с условием (w). ^[45]
• 1979 Мишель Кост и Мари-Франсуаза Руа открывают действительный спектр коммутативного кольца. ^[46]
• 1980 Олег Виро представил технику «patch working» и использовал ее для классификации вещественных алгебраических кривых низкой степени. ^[47] Позже Илья Итенберг и Виро использовали ее для создания контрпримеров к гипотезе Рэгсдейла , ^{[48] [49]} а Григорий Михалкин применил ее к тропической геометрии для подсчета кривых. ^[50]
• 1980 Селман Акбулут и Генри К. Кинг дали топологическую характеристику действительных алгебраических множеств с изолированными особенностями и топологически охарактеризовали неособые действительные алгебраические множества (не обязательно компактные) ^[51]
• 1980 Акбулут и Кинг доказали, что каждый узел в является звеном действительного алгебраического множества с изолированной особенностью в ^[52] ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$
• 1981 Акбулут и Кинг доказали, что каждое компактное PL-многообразие PL-гомеоморфно действительному алгебраическому множеству. ^{[53] [54] [55]}
• 1983 Акбулут и Кинг представили «башни топологического разрешения» как топологические модели действительных алгебраических множеств, из этого они получили новые топологические инварианты действительных алгебраических множеств и топологически охарактеризовали все 3-мерные алгебраические множества. ^[56] Эти инварианты позже были обобщены Мишелем Костом и Кшиштофом Курдыкой ^[57], а также Клинтом МакКрори и Адамом Парусинским. ^[58]
• 1984 Теорема Людвига Брёкера о минимальной генерации базовых открытых полуалгебраических множеств ^[59] (улучшенная и расширенная на базовые замкнутые полуалгебраические множества Шайдерером ^[60] )
• 1984 Бенедетти и Дедо доказали, что не каждое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно полностью алгебраическому невырожденному вещественному алгебраическому множеству (полностью алгебраическое означает, что все его циклы Z/2Z-гомологии представлены вещественными алгебраическими подмножествами). ^[61]
• 1991 Акбулут и Кинг доказали, что каждое замкнутое гладкое многообразие гомеоморфно полностью алгебраическому действительному алгебраическому множеству. ^[62]
• 1991 Решение Шмюдгена многомерной проблемы моментов для компактных полуалгебраических множеств и связанных с ним строгих позитивных соображений. ^[63] Алгебраическое доказательство, найденное Вёрманном. ^[64] Подразумевает версию Резника теоремы Артина с равномерными знаменателями. ^[65]
• 1992 Акбулут и Кинг доказали объемлющие версии теоремы Нэша-Тогноли: каждое замкнутое гладкое подмногообразие R ⁿ изотопно неособым точкам (компонентам) вещественного алгебраического подмножества R ⁿ , и они распространили этот результат на погруженные подмногообразия R ⁿ . ^{[66] [67]}
• 1992 Бенедетти и Марин доказали, что каждое компактное замкнутое гладкое 3-многообразие M может быть получено из последовательности раздутий вдоль гладких центров, и что M гомеоморфно возможно сингулярному аффинному вещественному алгебраическому рациональному трехмерному многообразию ^[68] ${\displaystyle S^{3}}$
• 1997 Бирстоун и Милман доказали каноническую теорему о разрешении особенностей ^[69]
• 1997 Михалкин доказал, что каждое замкнутое гладкое n-многообразие может быть получено из последовательности топологических раздутий ^[70] ${\displaystyle S^{n}}$
• 1998 Янош Коллар показал, что не каждое замкнутое 3-многообразие является проективным действительным 3-многообразием, бирациональным RP ^{3 [71]}
• 2000 Локально-глобальный принцип Шайдерера и связанное с ним нестрогое расширение позитивного положения Шмюдгена в размерностях ≤ 2. ^{[72] [73] [74]}
• 2000 Янош Коллар доказал, что каждое замкнутое гладкое 3-многообразие является действительной частью компактного комплексного многообразия, которое может быть получено из последовательности действительных раздутий и сдутий. ^[75] ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$
• 2003 Вельшингер вводит инвариант для подсчета действительных рациональных кривых ^[76]
• 2005 Акбулут и Кинг показали, что не каждое невырожденное действительное алгебраическое подмножество RP ⁿ гладко изотопно действительной части невырожденного комплексного алгебраического подмножества CP ^{n [77] [78]}

Ссылки

• С. Акбулут и Х. Кинг, Топология действительных алгебраических множеств, MSRI Pub, 25. Springer-Verlag, Нью-Йорк (1992) ISBN  0-387-97744-9
• Бочнак, Яцек; Косте, Мишель; Рой, Мари-Франсуаза. Настоящая алгебраическая геометрия. Перевод с французского оригинала 1987 года. Доработано авторами. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 36. Springer-Verlag, Берлин, 1998. x + 430 стр. ISBN 3-540-64663-9 
• Басу, Саугата; Поллак, Ричард; Рой, Мари-Франсуаза Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии. Второе издание. Алгоритмы и вычисления в математике, 10. Springer-Verlag, Берлин, 2006. x+662 стр. ISBN 978-3-540-33098-1 ; 3-540-33098-4 
• Маршалл, Мюррей Положительные многочлены и суммы квадратов. Математические обзоры и монографии, 146. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. xii+187 стр. ISBN 978-0-8218-4402-1 ; 0-8218-4402-4 

Примечания

1. Ван ден Драйс, Л. (1998). Ручная топология и о-минимальные структуры . Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 248. Издательство Кембриджского университета . С. 31. Zbl  0953.03045.
2. Хованский, АГ (1991). Малономиалы . Переводы математических монографий. Т. 88. Перевод с русского Смилки Здравковской. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-4547-0. Збл  0728.12002.
3. Джозеф Б. Дж. Фурье , Решение частного вопроса по исчислению неравенства. Бык. наука Соц. Филомн. Париж 99–100. OEuvres 2, 315–319.
4. Дайнс, Ллойд Л. (1919). «Системы линейных неравенств». Annals of Mathematics . (2). 20 (3): 191–199. doi :10.2307/1967869. JSTOR  1967869.
5. Теодор Моцкин , Beiträge zur Theorie der Linearen Ungleichungen. IV+ 76 S. Diss., Базель (1936).
6. Жак Шарль Франсуа Штурм , Mémoires divers presentés par des savants étrangers 6, стр. 273–318 (1835).
7. Чарльз Эрмит , Sur le Nombre des Racines d'une Équation Algébrique Comprise Entre des Limites Données, Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 52, стр. 39–51 (1856).
8. CGA Harnack Über Vieltheiligkeit der ebenen алгебраишен Curven, Mathematische Annalen 10 (1876), 189–199
9. И. Г. Петровский и О. А. Олейник, О топологии действительных алгебраических поверхностей, Известия АН СССР. Сер. Матем. 13, (1949). 389–402
10. Джон Милнор , О числах Бетти вещественных многообразий, Труды Американского математического общества 15 (1964), 275–280.
11. Рене Том , Sur l'homologie des vari'et'es algebriques r'eelles, в: SS Cairns (ed.), Дифференциальная и комбинаторная топология, стр. 255–265, Princeton University Press , Принстон, Нью-Джерси, 1965.
12. Басу, Саугата (1999). «О границе чисел Бетти и вычислении эйлеровой характеристики полуалгебраических множеств». Дискретная и вычислительная геометрия . 22 (1): 1–18. doi :10.1007/PL00009443. hdl : 2027.42/42421 . S2CID  7023328.
13. Гильберт, Дэвид (1888). «Uber die Darstellung definer Formen als Summe von Formenquadraten». Математические Аннален . 32 (3): 342–350. дои : 10.1007/BF01443605. S2CID  177804714.
14. Фаркас, Юлиус . «Über die Theorie der Einfachen Ungleichungen». Журнал для королевы и математики . 124 : 1–27.
15. Комессатти, Аннибале (1914). «Sulla connessione delle superfizie razionali Reali». Аннали ди Математика Pura ed Applicata . 23 (3): 215–283. дои : 10.1007/BF02419577. S2CID  121297483.
16. Липот Фейер , ¨Uber trigonometrische Polynome, Дж. Рейн Ангью. Математика. 146 (1916), 53–82.
17. Фридьес Рис и Бела Секефальви-Надь , Функциональный анализ, Frederick Ungar Publ. Ко., Нью-Йорк, 1955 год.
18. Артин, Эмиль (1927). «Uber die Zerlegung definer Funktionen in Quadrate». Абх. Математика. Сем. унив. Гамбург . 5 : 85–99. дои : 10.1007/BF02952512. S2CID  122881707.
19. Крулль, Вольфганг (1932). «Всеобщая теория Bewertungstheorie». Журнал для королевы и математики . 1932 (167): 160–196. дои : 10.1515/crll.1932.167.160. S2CID  199547002.
20. Баер, Рейнхольд (1927), "Über nicht-archimedisch geordnete Körper", Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften. Mathematich-Naturwissenschaftliche Klasse , 8 : 3–13.
21. Джордж Полиа , Über Postellung von Polynomen Vierteljschr, Naturforsch. Гес. Zürich 73 (1928) 141–145, в: Р. П. Боас (ред.), Сборник статей, том. 2, MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1974, стр. 309–313.
22. BL van der Waerden , Topologische Begründung des Kalküls der abzählenden Geometry. Математика. Энн. 102, 337–362 (1929).
23. Альфред Тарский , Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии, Rand. Corp., 1948; UC Press, Беркли, 1951, анонсировано в: Ann. Soc. Pol. Math., 9 (1930, опубликовано в 1931) 206–7; и в Fund. Math., 17 (1931) 210–239.
24. Авраам Зайденберг , Новый метод решения для элементарной алгебры, Annals of Mathematics 60 (1954), 365–374.
25. Герберт Зайферт , Алгебраическое приближение фон Маннигфальтигкейтен, Mathematische Zeitschrift 41 (1936), 1–17
26. Селман Акбулут и Генри К. Кинг, Подмногообразия и гомологии неособых вещественных алгебраических многообразий, American Journal of Mathematics , т. 107, № 1 (февраль, 1985) стр. 72
27. Стоун, Маршалл (1940). «Общая теория спектров. I». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 26 (4): 280–283. doi : 10.1073/pnas.26.4.280 . PMC 1078172. PMID  16588355 . 
28. Кадисон, Ричард В. (1951), «Теория представлений для коммутативной топологической алгебры», Мемуары Американского математического общества , 7 : 39 стр., MR  0044040
29. Дюбуа, Дональд В. (1967). «Заметка о теории предпростых чисел Дэвида Харрисона». Pacific Journal of Mathematics . 21 : 15–19. doi : 10.2140/pjm.1967.21.15 . MR  0209200. S2CID  120262803.
30. Михай Путинар, Положительные многочлены на компактных полуалгебраических множествах. Журнал математики Индианского университета 42 (1993), № 3, 969–984.
31. Т. Якоби, Теорема о представлении некоторых частично упорядоченных коммутативных колец. Mathematische Zeitschrift 237 (2001), вып. 2, 259–273.
32. Нэш, Джон (1952). «Действительные алгебраические многообразия». Annals of Mathematics . 56 (3): 405–421. doi :10.2307/1969649. JSTOR  1969649.
33. Биркгоф, Гарретт ; Пирс, Ричард Скотт (1956). «Решетчатые упорядоченные кольца». Анаис да Академия Бразилиа де Сиенсиас . 28 : 41–69.
34. Маэ, Луи (1984). «О гипотезе Пирса–Биркгофа». Rocky Mountain Journal of Mathematics . 14 (4): 983–985. doi : 10.1216/RMJ-1984-14-4-983 . MR  0773148.
35. Кривин, Ж.-Л. (1964). «Anneaux préordonnés» (PDF) . Журнал Математического Анализа . 12 : 307–326. дои : 10.1007/BF02807438 .
36. Г. Стенгл, Нулевой стеллензац и позитивный стеллензац в полуалгебраической геометрии. Математика. Энн. 207 (1974), 87–97.
37. С. Лэнг, Алгебра. Addison–Wesley Publishing Co., Inc., Рединг, Массачусетс. 1965 xvii+508 стр.
38. С. Лоясевич, Триангуляция полуаналитических множеств, Ann. Scu. Norm. di Pisa, 18 (1964), 449–474.
39. Хейсукэ Хиронака , Разрешение особенностей алгебраического многообразия над полем нулевой характеристики. I, Annals of Mathematics (2) 79 (1): (1964) 109–203, и часть II, стр. 205–326.
40. Хасслер Уитни , Локальные свойства аналитических многообразий, Дифференциальная и комбинаторная топология (ред. С. Кейрнс), Princeton Univ. Press, Princeton NJ (1965), 205–244.
41. Теодор С. Моцкин , Арифметико-геометрическое неравенство. 1967 Неравенства (Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1965) стр. 205–224 MR 0223521.
42. "Доказательство гипотезы Гудкова". В. А. Рохлин. Функциональный анализ и его приложения , том 6, стр. 136–138 (1972)
43. Альберто Тоньоли , Su una congettura di Nash, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa 27, 167–185 (1973).
44. Джордж Э. Коллинз , «Устранение кванторов для вещественных замкнутых полей с помощью цилиндрического алгебраического разложения», Lect. Notes Comput. Sci. 33, 134–183, 1975 MR 0403962.
45. Жан-Луи Вердье , Расслоения Уитни и теории Бертини-Сара, Inventiones Mathematicae 36, 295–312 (1976).
46. Мари-Франсуаза Кост-Руа , Мишель Кост, Топологии для действительной алгебраической геометрии. Топосные теоретические методы в геометрии, стр. 37–100, Various Publ. Ser., 30, Aarhus Univ., Aarhus, 1979.
47. Олег Я. Виро , Склеивание плоских вещественных алгебраических кривых и построение кривых степеней 6 и 7. В Топологии (Ленинград, 1982), том 1060 Lecture Notes in Mathematics , страницы 187–200. Springer, Берлин, 1984
48. Виро, Олег Я. (1980). «Кривые степени 7, кривые степени 8 и гипотеза Рэгсдейла». Доклады Академии наук СССР . 254 (6): 1306–1309.Перевод в «Кривые степени 7, кривые степени 8 и гипотеза Рэгсдейла». Советская математика — Доклады АН 22 : 566–570. 1980. Zbl  0422.14032.
49. Итенберг, Илья; Михалкин, Григорий; Шустин, Евгений (2007). Тропическая алгебраическая геометрия . Oberwolfach Seminars. Т. 35. Базель: Birkhäuser. С. 34–35. ISBN 978-3-7643-8309-1. Збл  1162.14300.
50. Михалкин, Григорий (2005). «Исчислительная тропическая алгебраическая геометрия в R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}». Журнал Американского математического общества . 18 : 313–377. doi : 10.1090/S0894-0347-05-00477-7 .
51. Селман Акбулут и Генри К. Кинг, Топология действительных алгебраических множеств с изолированными особенностями, Annals of Mathematics 113 (1981), 425–446.
52. Селман Акбулут и Генри К. Кинг, Все узлы являются алгебраическими, Commentarii Mathematici Helvetici 56, Fasc. 3 (1981), 339–351.
53. С. Акбулут и Х. Кинг, Реальные алгебраические структуры в топологических пространствах, Publications Mathématiques de l'IHÉS 53 (1981), 79–162.
54. С. Акбулут и Л. Тейлор, Теорема о топологическом разрешении, Publications Mathématiques de l'IHÉS 53 (1981), 163–196.
55. С. Акбулут и Х. Кинг, Топология действительных алгебраических множеств, L'Enseignement Mathématique 29 (1983), 221–261.
56. Селман Акбулут и Генри К. Кинг, Топология действительных алгебраических множеств, MSRI Pub, 25. Springer-Verlag, Нью-Йорк (1992) ISBN 0-387-97744-9 
57. Косте, Мишель; Курдыка, Кшиштоф (1992). «О связи страта в вещественном алгебраическом множестве». Топология . 31 (2): 323–336. doi : 10.1016/0040-9383(92)90025-d . MR  1167174.
58. МакКрори, Клинт; Парусинский, Адам (2007), «Алгебраически конструктивные функции: вещественная алгебра и топология», Пространства дуг и аддитивные инварианты в вещественной алгебраической и аналитической геометрии , Panoramas et Synthèses, т. 24, Париж: Société mathématique de France , стр. 69–85, arXiv : math/0202086 , MR  2409689
59. Брёкер, Людвиг (1984). «Минимальное мышление фон Positivbereichen». Geometriae Dedicata (на немецком языке). 16 (3): 335–350. дои : 10.1007/bf00147875. MR  0765338. S2CID  117475206.
60. К. Шайдерер, Индекс стабильности реальных многообразий. Inventiones Mathematicae 97 (1989), вып. 3, 467–483.
61. Р. Бенедетти и М. Дедо, Контрпримеры к представлению классов гомологии действительными алгебраическими подмногообразиями с точностью до гомеоморфизма, Compositio Mathematica , 53, (1984), 143–151.
62. С. Акбулут и Х. Кинг, Все компактные многообразия гомеоморфны полностью алгебраическим действительным алгебраическим множествам, Комментарий. Math. Helv. 66 (1991) 139–149.
63. К. Шмюдген, Проблема K -моментов для компактных полуалгебраических множеств. Math. Ann. 289 (1991), № 2, 203–206.
64. Т. Верманн Стрикт-положительный полином в полуалгебраической геометрии, Univ. Дортмунд, 1998 год.
65. Б. Резник, Равномерные знаменатели в семнадцатой проблеме Гильберта. Math. Z. 220 (1995), № 1, 75–97.
66. С. Акбулут и Х. Кинг Об аппроксимации подмногообразий алгебраическими множествами и решении гипотезы Нэша, Inventiones Mathematicae 107 (1992), 87–98
67. С. Акбулут и Х. Кинг, Алгебраичность погружений, Топология , т. 31, № 4, (1992), 701–712.
68. Р. Бенедетти и А. Марин, Déchirures de variétés de Dimension trois ...., Комментарий. Математика. Хелв. 67 (1992), 514–545.
69. Э. Бирстоун и П. Д. Милман, Каноническая десингуляризация в нулевой характеристике путем раздутия максимальных страт локального инварианта, Inventiones Mathematicae 128 (2) (1997) 207–302.
70. Г. Михалкин, Эквивалентность раздутия гладких замкнутых многообразий, Топология , 36 (1997) 287–299
71. Янош Коллар , Гипотеза Нэша для алгебраических трехмерных многообразий, ERA of AMS 4 (1998) 63–73
72. C. Scheiderer, Суммы квадратов регулярных функций на вещественных алгебраических многообразиях. Труды Американского математического общества 352 (2000), № 3, 1039–1069.
73. К. Шайдерер, Суммы квадратов на вещественных алгебраических кривых, Mathematische Zeitschrift 245 (2003), вып. 4, 725–760.
74. C. Scheiderer, Суммы квадратов на действительных алгебраических поверхностях. Manuscripta Mathematica 119 (2006), № 4, 395–410.
75. Янош Коллар , Гипотеза Нэша для непроективных трехмерных многообразий, arXiv:math/0009108v1
76. J.-Y. Welschinger, Инварианты вещественных рациональных симплектических 4-многообразий и нижние оценки в вещественной исчислительной геометрии, Inventiones Mathematicae 162 (2005), № 1, 195–234. Zbl  1082.14052
77. S. Akbulut и HC King, Трансцендентные подмногообразия RP ⁿ Comment. Math. Helv., 80, (2005), 427–432
78. С. Акбулут, Действительные алгебраические структуры, Труды GGT, (2005) 49–58, arXiv:math/0601105v3.

Внешние ссылки

• Роль проблем Гильберта в реальной алгебраической геометрии (PostScript)
• Сервер препринтов по реальной алгебраической и аналитической геометрии