Вибрация струн

Волна

Вибрация, стоячие волны в струне. Основной и первые 5 обертонов гармонического ряда .

Вибрация струны – это волна .​ Резонанс заставляет колеблющуюся струну производить звук постоянной частоты , то есть постоянной высоты . Если длина и натяжение струны отрегулированы правильно, издаваемый звук представляет собой музыкальный тон . Вибрирующие струны являются основой струнных инструментов, таких как гитары , виолончели и фортепиано .

Волна

Скорость распространения волны в струне ( ) пропорциональна корню квадратному из силы натяжения струны ( ) и обратно пропорциональна корню квадратному из линейной плотности ( ) струны: ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }}.}$

Эту связь обнаружил Винченцо Галилей в конце 1500-х годов. ^{[ нужна цитата ]}

Вывод

Иллюстрация вибрирующей струны

Источник: ^[1]

Пусть – длина веревки, ее масса и линейная плотность . Если углы и малы, то горизонтальные компоненты напряжения с обеих сторон могут быть аппроксимированы константой , для которой чистая горизонтальная сила равна нулю. Соответственно, используя приближение малых углов, горизонтальные напряжения, действующие по обе стороны сегмента струны, определяются выражением ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\approx T.}$

${\displaystyle T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\approx T.}$

Согласно второму закону Ньютона для вертикальной составляющей, масса (которая является произведением его линейной плотности и длины) этого куска, умноженная на его ускорение, будет равна чистой силе, действующей на этот кусок: ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \Sigma F_{y}=T_{1y}-T_{2y}=-T_{2}\sin(\beta )+T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\approx \mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

Разделив это выражение на и заменив первое и второе уравнения, получим (мы можем выбрать либо первое, либо второе уравнение для , поэтому нам удобно выбирать каждое из них с совпадающим углом и ) ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle -{\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}+{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=-\tan(\beta )+\tan(\alpha )={\frac {\mu \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

Согласно малоугловому приближению тангенсы углов на концах отрезка струны равны наклонам на концах с дополнительным знаком минус, обусловленным определением и . Использование этого факта и перестановка обеспечивают ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta x}}\left(\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x+\Delta x}-\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x}\right)={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

В пределе, приближающемся к нулю, левая часть представляет собой определение второй производной : ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

Это волновое уравнение для , а коэффициент при второй производной по времени равен ; таким образом ${\displaystyle y(x,t)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}}$

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }},}$

Где скорость распространения волны в струне ( подробнее об этом читайте в статье о волновом уравнении ). Однако этот вывод справедлив только для колебаний малой амплитуды; для струн большой амплитуды это не является хорошим приближением длины струны, горизонтальная составляющая натяжения не обязательно постоянна. Горизонтальные напряжения не очень хорошо аппроксимируются . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle T}$

Частота волны

Зная скорость распространения, можно вычислить частоту звука , издаваемого струной. Скорость распространения волны равна длине волны , деленной на период , или умноженной на частоту : ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle v={\frac {\lambda }{\tau }}=\lambda f.}$

Если длина струны равна , то основной гармоникой является та, которая создается вибрацией, узлами которой являются два конца струны, а также половина длины волны основной гармоники. Отсюда следуют законы Мерсенна : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle f={\frac {v}{2L}}={1 \over 2L}{\sqrt {T \over \mu }}}$

где – натяжение (в Ньютонах), – линейная плотность (т. е. масса на единицу длины), – длина колеблющейся части струны. Поэтому: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L}$

• чем короче струна, тем выше частота основного тона
• чем выше напряжение, тем выше частота основного
• чем легче струна, тем выше частота основного тона

Более того, если мы возьмем n-ю гармонику с длиной волны, заданной выражением , то мы легко получим выражение для частоты n-й гармоники: ${\displaystyle \lambda _{n}=2L/n}$

${\displaystyle f_{n}={\frac {nv}{2L}}}$

А для струны, находящейся под натяжением Т с линейной плотностью , тогда ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle f_{n}={\frac {n}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$

Наблюдение за колебаниями струн

Можно увидеть формы сигналов на вибрирующей струне, если частота достаточно низкая и вибрирующая струна находится перед экраном ЭЛТ, например, на телевизоре или компьютере ( не аналоговом осциллографе). Этот эффект называется стробоскопическим эффектом , и скорость, с которой кажется, что вибрирует струна, представляет собой разницу между частотой струны и частотой обновления экрана. То же самое может произойти с люминесцентной лампой со скоростью, равной разнице между частотой струны и частотой переменного тока . (Если частота обновления экрана равна частоте строки или целому кратному ей, строка будет выглядеть неподвижной, но деформированной.) При дневном свете и других неколеблющихся источниках света этот эффект не возникает, и строка выглядит неподвижной, но толще и светлее или размыты из-за постоянства зрения .

Аналогичный, но более контролируемый эффект можно получить с помощью стробоскопа . Это устройство позволяет согласовать частоту ксеноновой лампы-вспышки с частотой вибрации струны. В темной комнате отчетливо видна форма сигнала. В противном случае можно использовать изгиб или, что, возможно, проще, регулируя головки машины, чтобы получить ту же или кратную частоту переменного тока для достижения того же эффекта. Например, в случае гитары шестая (самая низкая) струна, прижатая к третьему ладу, дает соль на частоте 97,999 Гц. Небольшая регулировка может изменить ее до 100 Гц, что ровно на октаву выше частоты переменного тока в Европе и большинстве стран Африки и Азии, 50 Гц. В большинстве стран Америки, где частота переменного тока составляет 60 Гц, изменение частоты A# на пятой струне первого лада со 116,54 Гц на 120 Гц дает аналогичный эффект.

Реальный пример

Электрогитара Jackson Professional Soloist XL пользователя Википедии имеет расстояние от порожка до подставки (соответственно указанному выше) 25 5 ⁄ 8 дюймов, а струны для электрогитары D'Addario XL сверхлегкого калибра EXL-120 с никелированной обмоткой и следующие характеристики производителя: ${\displaystyle L}$

Учитывая приведенные выше характеристики, каковы были бы вычисленные частоты колебаний ( ) основных гармоник вышеуказанных струн, если бы струны были натянуты с натяжением, рекомендованным производителем? ${\displaystyle f}$

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем начать с формулы из предыдущего раздела : ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$

Линейная плотность может быть выражена через пространственную плотность (масса/объем) с помощью соотношения , где – радиус струны, а – диаметр (то есть толщина) в таблице выше: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mu =\pi r^{2}\rho =\pi d^{2}\rho /4}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\pi d^{2}\rho /4}}}={\frac {1}{2Ld}}{\sqrt {\frac {4T}{\pi \rho }}}={\frac {1}{Ld}}{\sqrt {\frac {T}{\pi \rho }}}}$

Для целей вычислений мы можем заменить напряжение , указанное выше, с помощью второго закона Ньютона (Сила = масса × ускорение) выражением , где - масса, которая на поверхности Земли имела бы эквивалентный вес, соответствующий значениям напряжения в в таблице выше, как связано со стандартным ускорением силы тяжести на поверхности Земли, см/с ² . (Эта замена здесь удобна, поскольку натяжение струн, указанное производителем выше, выражено в фунтах силы , которые удобнее всего преобразовать в эквивалентные массы в килограммах с помощью знакомого коэффициента пересчета 1 фунт = 453,59237 г.) Тогда приведенная выше формула явно выражена. становится: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=ma}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g_{0}=980.665}$

${\displaystyle f_{\mathrm {Hz} }={\frac {1}{L_{\mathrm {in} }\times 2.54\ \mathrm {cm/in} \times d_{\mathrm {in} }\times 2.54\ \mathrm {cm/in} }}{\sqrt {\frac {T_{\mathrm {lb} }\times 453.59237\ \mathrm {g/lb} \times 980.665\ \mathrm {cm/s^{2}} }{\pi \times \rho _{\mathrm {g/cm^{3}} }}}}}$

Используя эту формулу для вычисления строки №. 1 выше дает: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{1}={\frac {1}{25.625\ \mathrm {in} \times 2.54\ \mathrm {cm/in} \times 0.00899\ \mathrm {in} \times 2.54\ \mathrm {cm/in} }}{\sqrt {\frac {13.1\ \mathrm {lb} \times 453.59237\ \mathrm {g/lb} \times 980.665\ \mathrm {cm/s^{2}} }{\pi \times 7.726\ \mathrm {g/cm^{3}} }}}\approx 330\ \mathrm {Hz} }$

Повторение этого вычисления для всех шести струн приводит к следующим частотам. Рядом с каждой частотой показана музыкальная нота (в научном обозначении высоты тона ) в стандартной настройке гитары, частота которой ближе всего, что подтверждает, что натяжение вышеуказанных струн с рекомендованным производителем натяжением действительно приводит к стандартным звукам гитары:

Смотрите также

• Резные инструменты
• Музыкальная акустика
• Вибрации круглого барабана
• Эксперимент Мелде
• 3-й мост (гармонический резонанс, основанный на равных делениях струн)
• Струнный резонанс
• Изменение фазы отражения

Рекомендации

• Молтено, TCA; Н. Б. Туфилларо (сентябрь 2004 г.). «Экспериментальное исследование динамики струны». Американский журнал физики . 72 (9): 1157–1169. Бибкод : 2004AmJPh..72.1157M. дои : 10.1119/1.1764557.
• Туфилларо, НБ (1989). «Нелинейные и хаотические колебания струны». Американский журнал физики . 57 (5): 408. Бибкод : 1989AmJPh..57..408T. дои : 10.1119/1.16011.

Специфический

1. Волновое уравнение и скорость волны

Внешние ссылки

• «Вибрирующая струна» Алена Гориели и Марка Робертсона-Тесси, Демонстрационный проект Вольфрама .