Лемниската

Кривая в форме восьмерки

Лемниската Бернулли и два ее фокуса

В алгебраической геометрии лемниската — это любая из нескольких кривых в форме восьмерки или ∞ . ^{[1] [2]} Это слово происходит от латинского lēmniscātus , что означает «украшенный лентами», ^[3] от греческого λημνίσκος, означающего «лента», ^{[2] [4] [5] [6]} или что альтернативно может относиться к шерсть , из которой были сделаны ленты . ^[1]

Кривые, которые были названы лемнискатами, включают три кривые плоскости четвертой степени : гиппопед или лемниската Бута , лемниската Бернулли и лемниската Героно . Изучение лемнискат (и, в частности, гиппопеды) восходит к древнегреческой математике , но термин «лемниската» для кривых этого типа происходит из работы Якоба Бернулли в конце 17 века.

История и примеры

Лемниската Бута

Лемниската Бута

Рассмотрение кривых в форме восьмерки восходит к Проклу , греческому философу -неоплатонику и математику, жившему в V веке нашей эры. Прокл рассматривал сечения тора плоскостью , параллельной оси тора. По его наблюдениям, у большинства таких сечений поперечное сечение состоит либо из одного, либо из двух овалов; однако, когда плоскость касается внутренней поверхности тора, поперечное сечение принимает форму восьмерки, которую Прокл назвал конскими кандалами (устройством для скрепления двух ног лошади), или «гиппопедом». на греческом языке. ^[7] Название «лемниската Бута» для этой кривой восходит к ее исследованию математиком 19-го века Джеймсом Бутом . ^[1]

Лемниската может быть определена как алгебраическая кривая , нулевое множество полинома четвертой степени , когда параметр d отрицателен (или ноль для особого случая, когда лемниската становится парой внешне касающихся окружностей). Для положительных значений d вместо этого получается овал Бута . ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}}$

Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли

В 1680 году Кассини изучил семейство кривых, теперь называемое овалом Кассини , определяемое следующим образом: геометрическое место всех точек, произведение расстояний которых от двух фиксированных точек, фокусов кривых , является константой. В очень особых обстоятельствах (когда полурасстояние между точками равно квадратному корню из константы) это приводит к возникновению лемнискаты.

В 1694 году Иоганн Бернулли изучил лемнискату овала Кассини, ныне известную как лемниската Бернулли (показана выше), в связи с проблемой « изохрон », поставленной ранее Лейбницем . Как и гиппопед, это алгебраическая кривая, нулевое множество многочлена . Брат Бернулли Якоб Бернулли также изучил ту же кривую в том же году и дал ей название лемниската. ^[8] Его также можно определить геометрически как геометрическое место точек, произведение расстояний от двух фокусов которых равно квадрату половины межфокального расстояния. ^[9] Это частный случай гиппопеда (лемниската Бута) с , и может быть сформирован как поперечное сечение тора, внутреннее отверстие которого и круговые поперечные сечения имеют одинаковый диаметр друг с другом. ^[1] Лемнискатические эллиптические функции являются аналогами тригонометрических функций для лемнискаты Бернулли, а константы лемнискаты возникают при вычислении длины дуги этой лемнискаты. ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-a^{2}(x^{2}-y^{2})}$ ${\displaystyle d=-c}$

Лемниската Джероно

Лемниската Героно: набор решений x ⁴ − x ² + y ² = 0 ^[10]

Другая лемниската, лемниската Героно или лемниската Гюйгенса, представляет собой нулевое множество многочлена четвертой степени . ^{[11] [12]} Кривая Вивиани , трехмерная кривая, образованная пересечением сферы с цилиндром, также имеет форму восьмерки и имеет лемнискату Героно в качестве своей плоской проекции. ^[13] ${\displaystyle y^{2}-x^{2}(a^{2}-x^{2})}$

Другие

Другие алгебраические кривые в форме восьмерки включают

• Кривая Дьявола , кривая, определяемая уравнением четвертой степени, в которой один компонент связи имеет форму восьмерки, ^[14] ${\displaystyle y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})}$
• Кривая Ватта — кривая в форме восьмерки, образованная механической связью. Кривая Ватта представляет собой нулевое множество полиномиального уравнения шестой степени и в качестве частного случая имеет лемнискату Бернулли. ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0}$

Смотрите также

• Аналемма , кривая в форме восьмерки, очерченная положением Солнца на небе в полдень в течение года.
• Символ бесконечности
• Лемнискаты как обобщенные коники
• Аттрактор Лоренца — трехмерная динамическая система, имеющая форму лемнискаты.
• Полиномиальная лемниската , набор уровня абсолютного значения комплексного многочлена.

Рекомендации

1. Шаппахер, Норберт (1997), «Некоторые вехи лемнискатомии», Алгебраическая геометрия (Анкара, 1995) , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике, том. 193, Нью-Йорк: Деккер, стр. 257–290, MR  1483331..
2. Эриксон, Мартин Дж. (2011), «1.1 Лемниската», Beautiful Mathematics, MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки , стр. 1–3, ISBN 9780883855768.
3. лемнискатус. Чарльтон Т. Льюис и Чарльз Шорт. Латинский словарь по проекту «Персей» .
4. Харпер, Дуглас. «лемниск». Интернет-словарь этимологии .
5. лемниск. Чарльтон Т. Льюис и Чарльз Шорт. Латинский словарь по проекту «Персей» .
6. λημνίσκος. Лидделл, Генри Джордж ; Скотт, Роберт ; Греко-английский лексикон в проекте «Персей» .
7. ἱπποπέδη в Лидделле и Скотте .
8. Бос, HJM (1974), «Лемниската Бернулли», Для Дирка Струика, Бостонский конный завод. Филос. Sci., XV, Дордрехт: Рейдель, стр. 3–14, ISBN. 9789027703934, МР  0774250.
9. Лангер, Джоэл К.; Сингер, Дэвид А. (2010), «Размышления о лемнискате Бернулли: сорок восемь граней математической жемчужины», Milan Journal of Mathematics , 78 (2): 643–682, doi : 10.1007/s00032-010- 0124-5, МР  2781856, S2CID  1448521.
10. Келлер, Юрген. «Ахт-Курве». www.mathematische-basteleien.de . Проверено 26 ноября 2017 г.
11. Бассет, Альфред Барнард (1901), «Лемниската Джероно», элементарный трактат о кривых кубической и четвертой степени, Дейтон, Белл, стр. 171–172..
12. Чандрасекхар, С. (2003), «Начала Ньютона» для обычного читателя, Oxford University Press, стр. 133, ISBN 9780198526759.
13. Коста, Луиза Росси; Маркетти, Елена (2005), «Математические и исторические исследования куполов и сводов», Вебер, Ральф; Аманн, Маттиас Альбрехт (ред.), Эстетика и архитектурная композиция: материалы Дрезденского международного симпозиума по архитектуре 2004 г. , Mammendorf: Pro Literatur, стр. 73–80..
14. Дарлинг, Дэвид (2004), «кривая дьявола», Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона, John Wiley & Sons, стр. 91–92, ISBN 9780471667001.

Внешние ссылки

• «Лемнискаты», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]