Плоская волна

Тип волны, распространяющейся в трех измерениях

В физике плоская волна — это частный случай волны или поля : физическая величина, значение которой в любой момент является постоянным в любой плоскости, перпендикулярной фиксированному направлению в пространстве. ^[1]

Для любой позиции в пространстве и в любое время значение такого поля можно записать как ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle F({\vec {x}},t)=G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t),}$$

вектор единичной длиныдействительныхсмещения ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle G(d,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$

Значения поля могут быть скалярами, векторами или любой другой физической или математической величиной. Они могут быть комплексными числами , как в комплексной экспоненциальной плоской волне . ${\displaystyle F}$

Когда значения являются векторами, волна называется продольной волной, если векторы всегда коллинеарны вектору , и поперечной волной , если они всегда ортогональны (перпендикулярны) ему. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$

Специальные типы

Бегущая плоская волна

Волновые фронты плоской волны, бегущей в трехмерном пространстве

Часто термин «плоская волна» относится конкретно к бегущей плоской волне , эволюцию которой во времени можно описать как простое перемещение поля с постоянной скоростью волны вдоль направления, перпендикулярного волновым фронтам. Такое поле можно записать как ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle F({\vec {x}},t)=G\left({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-ct\right)\,}$$

направлением распространенияволновым фронтом^[2] ${\displaystyle G(u)}$ ${\displaystyle u=d-ct}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle d+ct}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle c}$

Синусоидальная плоская волна

Этот термин также используется, даже более конкретно, для обозначения «монохроматической» или синусоидальной плоской волны : бегущей плоской волны, профиль которой представляет собой синусоидальную функцию. То есть, ${\displaystyle G(u)}$

$${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\sin \left(2\pi f({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-ct)+\varphi \right)}$$

волны ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$

Настоящая плоская волна физически не может существовать, потому что ей пришлось бы заполнить все пространство. Тем не менее модель плоских волн важна и широко используется в физике. Волны, излучаемые любым источником конечной протяженности в большую однородную область пространства, могут быть хорошо аппроксимированы плоскими волнами, если рассматривать любую часть этой области, достаточно малую по сравнению с ее расстоянием от источника. Так обстоит дело, например, со световыми волнами от далекой звезды, достигающими телескопа.

Плоская стоячая волна

Стоячая волна — это поле, значение которого можно выразить как произведение двух функций: одна зависит только от положения, другая — только от времени. Плоскую стоячую волну, в частности, можно выразить как

$${\displaystyle F({\vec {x}},t)=G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})\,S(t)}$$

${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}}$ ${\displaystyle S}$

Это представление не является уникальным, поскольку одни и те же значения полей получаются, если и масштабируются с помощью обратных коэффициентов. If ограничен интересующим интервалом времени (что обычно имеет место в физическом контексте) и может быть масштабирован так, чтобы максимальное значение было равно 1. Тогда будет максимальная величина поля, наблюдаемая в точке . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \left|S(t)\right|}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \left|S(t)\right|}$ ${\displaystyle \left|G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})\right|}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Характеристики

Плоскую волну можно изучать, игнорируя направления, перпендикулярные вектору направления ; то есть рассматривая функцию как волну в одномерной среде. ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle G(z,t)=F(z{\vec {n}},t)}$

Любой локальный оператор, линейный или нет, примененный к плоской волне, дает плоскую волну. Любая линейная комбинация плоских волн с одинаковым вектором нормали также является плоской волной. ${\displaystyle {\vec {n}}}$

Для скалярной плоской волны в двух или трех измерениях градиент поля всегда коллинеарен направлению ; в частности, , где – частная производная по первому аргументу. ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle \nabla F({\vec {x}},t)={\vec {n}}\partial _{1}G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t)}$ ${\displaystyle \partial _{1}G}$ ${\displaystyle G}$

Расходимость векторной плоской волны зависит только от проекции вектора в направлении . Конкретно, ${\displaystyle G(d,t)}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$

$${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}({\vec {x}},t)\;=\;{\vec {n}}\cdot \partial _{1}G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t)}$$

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}=0}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$

Смотрите также

• Плосковолновое расширение
• Прямолинейное распространение
• Волновое уравнение
• Расширение Вейля

Рекомендации

1. Бреховских, Л. (1980). Волны в слоистых средах (2-е изд.). Нью-Йорк: Академическая пресса . стр. 1–3. ISBN 9780323161626.
2. Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Уайли . п. 296. ИСБН 9780471309321.