Коническая спираль

Плоская спираль, спроецированная на поверхность конуса

Коническая спираль с архимедовой спиралью в качестве проекции на пол

Проекция на пол: спираль Ферма

Проекция пола: логарифмическая спираль

Проекция пола: гиперболическая спираль

В математике коническая спираль , также известная как коническая винтовая линия , ^[1] представляет собой пространственную кривую на прямом круговом конусе , проекция пола которого является плоской спиралью . Если проекция пола является логарифмической спиралью , она называется конхоспиральной (от conch ).

Параметрическое представление

В плоскости - спираль с параметрическим представлением ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }$

Можно добавить третью координату так, чтобы пространственная кривая лежала на конусе с уравнением  : ${\displaystyle z(\varphi )}$ ${\displaystyle \;m^{2}(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}$

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}$

Такие кривые называются коническими спиралями. ^[2] Они были известны Паппосу .

Параметр - наклон линий конуса относительно плоскости . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Коническую спираль можно рассматривать как ортогональную проекцию спирали плана этажа на конус.

Примеры

1) Начиная с архимедовой спирали, получаем коническую спираль (см. схему) ${\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}$

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}$

В этом случае коническую спираль можно рассматривать как кривую пересечения конуса с геликоидом .

2) На второй диаграмме показана коническая спираль со спиралью Ферма в качестве плана этажа. ${\displaystyle \;r(\varphi )=\pm a{\sqrt {\varphi }}\;}$

3) Третий пример имеет логарифмическую спираль в качестве плана этажа. Его особенностью является постоянный наклон (см. ниже). ${\displaystyle \;r(\varphi )=ae^{k\varphi }\;}$

Введение аббревиатуры дает описание: . ${\displaystyle K=e^{k}}$ ${\displaystyle r(\varphi )=aK^{\varphi }}$

4) Пример 4 основан на гиперболической спирали . Такая спираль имеет асимптоту (черная линия), которая является планом гиперболы (фиолетовая). Коническая спираль приближается к гиперболе за . ${\displaystyle \;r(\varphi )=a/\varphi \;}$ ${\displaystyle \varphi \to 0}$

Характеристики

В следующем исследовании рассматриваются конические спирали формы и соответственно. ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$ ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$

Склон

Угол наклона в точке конической спирали

Наклон в точке конической спирали — это наклон касательной этой точки по отношению к плоскости - . Соответствующий угол — это угол ее наклона (см. рисунок): ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \tan \beta ={\frac {z'}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}}}}={\frac {mr'}{\sqrt {(r')^{2}+r^{2}}}}\ .}$

Спираль с дает: ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$

• ${\displaystyle \tan \beta ={\frac {mn}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}}\ .}$

Для архимедовой спирали, и, следовательно, ее наклон равен ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {m}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\ .}$

• Для логарифмической спирали с наклоном ( ). ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$ ${\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {mk}{\sqrt {1+k^{2}}}}\ }$ ${\displaystyle \color {red}{\text{ constant!}}}$

Из-за этого свойства конхоспираль называется равноугольной конической спиралью.

Длина дуги

Длину дуги конической спирали можно определить по формуле

${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(1+m^{2})(r')^{2}+r^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

Для архимедовой спирали интеграл можно решить с помощью таблицы интегралов , аналогично плоскому случаю:

${\displaystyle L={\frac {a}{2}}\left[\varphi {\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}+(1+m^{2})\ln \left(\varphi +{\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\ .}$

Для логарифмической спирали интеграл решается легко:

${\displaystyle L={\frac {\sqrt {(1+m^{2})k^{2}+1}}{k}}(r{\big (}\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

В других случаях возникают эллиптические интегралы .

Разработка

Развертка (зеленая) конической спирали (красная), справа: вид сбоку. Плоскость, содержащая развертку, спроектирована . Первоначально конус и плоскость соприкасаются на фиолетовой линии. ${\displaystyle \pi }$

Для развертки конической спирали ^[3] необходимо определить расстояние точки кривой до вершины конуса и соотношение между углом и соответствующим углом развертки: ${\displaystyle \rho (\varphi )}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (0,0,z_{0})}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-z_{0})^{2}}}={\sqrt {1+m^{2}}}\;r\ ,}$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+m^{2}}}\psi \ .}$

Следовательно, полярное представление развернутой конической спирали имеет вид:

• ${\displaystyle \rho (\psi )={\sqrt {1+m^{2}}}\;r({\sqrt {1+m^{2}}}\psi )}$

В случае полярного представления развернутой кривой ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}^{\,n+1}\psi ^{n},}$

которая описывает спираль того же типа.

• Если план конической спирали представляет собой архимедову спираль, то ее развертка представляет собой архимедову спираль.

В случае гиперболической спирали ( ) застройка соответствует спирали плана этажа. ${\displaystyle n=-1}$

В случае логарифмической спирали развертка представляет собой логарифмическую спираль: ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}\;e^{k{\sqrt {1+m^{2}}}\psi }\ .}$

Касательная трасса

След (фиолетовый) касательных конической спирали с гиперболической спиралью в качестве плана этажа. Черная линия — асимптота гиперболической спирали.

Совокупность точек пересечения касательных конической спирали с плоскостью ( плоскостью, проходящей через вершину конуса) называется ее касательным следом . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Для конической спирали

${\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,mr)}$

касательный вектор равен

${\displaystyle (r'\cos \varphi -r\sin \varphi ,r'\sin \varphi +r\cos \varphi ,mr')^{T}}$

и касательная:

${\displaystyle x(t)=r\cos \varphi +t(r'\cos \varphi -r\sin \varphi )\ ,}$

${\displaystyle y(t)=r\sin \varphi +t(r'\sin \varphi +r\cos \varphi )\ ,}$

${\displaystyle z(t)=mr+tmr'\ .}$

Точка пересечения с плоскостью - имеет параметр , а точка пересечения - это ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t=-r/r'}$

• ${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{r'}}\sin \varphi ,-{\frac {r^{2}}{r'}}\cos \varphi ,0\right)\ .}$

${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$дает и касательный след - спираль. В случае (гиперболическая спираль) касательный след вырождается в окружность с радиусом (см. диаграмму). Для одного есть и касательный след - логарифмическая спираль, которая конгруэнтна плану этажа из-за самоподобия логарифмической спирали. ${\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {a}{n}}\varphi ^{n+1}\ }$ ${\displaystyle n=-1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$ ${\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {r}{k}}\ }$

Раковины улиток ( Neptunea angulata слева, справа: Neptunea despecta).

Ссылки

1. "Коническая спираль". MATHCURVE.COM . Получено 2022-03-03 .
2. Зигмунд Гюнтер, Антон Эдлер фон Браунмюль, Генрих Вилейтнер: Geschichte der mathematik. Г. Я. Гёшен, 1921, с. 92.
3. Теодор Шмид: Darstellende Geometry. Группа 2, Vereinigung wissenschaftlichen Verleger, 1921, с. 229.

Внешние ссылки

• Jamnitzer -Galerie: 3D-Spiralen. Архивировано 2021-07-02 в Wayback Machine .
• Вайсштейн, Эрик В. «Коническая спираль». MathWorld .