Геликоид

Математическая форма

Геликоид с α  = 1, −1 ≤  ρ  ≤ 1 и − π  ≤  θ  ≤  π .

Геликоид , также известный как винтовая поверхность , представляет собой гладкую поверхность, встроенную в трехмерное пространство . Это поверхность, очерченная бесконечной линией, которая одновременно вращается и поднимается вдоль своей фиксированной оси вращения. Это третья минимальная поверхность , которая известна, после плоскости и катеноида .

Описание

Он был описан Эйлером в 1774 году и Жаном Батистом Мёнье в 1776 году. Его название происходит от его сходства с винтовой линией : для каждой точки на геликоиде существует винтовая линия, содержащаяся в геликоиде, которая проходит через эту точку. Поскольку считается, что плоский диапазон простирается через отрицательную и положительную бесконечность, близкое наблюдение показывает появление двух параллельных или зеркальных плоскостей в том смысле, что если прослеживается наклон одной плоскости, можно увидеть, что соплоскость обойдена или пропущена, хотя на самом деле соплоскость также прослеживается с противоположной перспективы.

Геликоид также является линейчатой ​​поверхностью (и прямым коноидом ), что означает, что он является следом линии. С другой стороны, для любой точки на поверхности существует линия на поверхности, проходящая через нее. Действительно, Каталан доказал в 1842 году, что геликоид и плоскость являются единственными линейчатыми минимальными поверхностями . ^[1]

Геликоид также является поверхностью трансляции в смысле дифференциальной геометрии.

Геликоид и катеноид являются частями семейства геликоидно-катеноидных минимальных поверхностей.

Геликоид имеет форму винта Архимеда , но простирается бесконечно во всех направлениях. Его можно описать следующими параметрическими уравнениями в декартовых координатах :

${\displaystyle x=\rho \cos(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle y=\rho \sin(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle z=\theta ,\ }$

где ρ и θ изменяются от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности, а α — константа. Если α положительно, то геликоид правый, как показано на рисунке; ​​если отрицательно, то левый.

Геликоид имеет главные кривизны . Сумма этих величин дает среднюю кривизну (равную нулю, поскольку геликоид является минимальной поверхностью), а произведение дает гауссову кривизну . ${\displaystyle \pm \alpha /(1+\alpha ^{2}\rho ^{2})\ }$

Геликоид гомеоморфен плоскости . Чтобы увидеть это, пусть α непрерывно уменьшается от заданного значения до нуля . Каждое промежуточное значение α будет описывать другой геликоид, пока не будет достигнуто α = 0 и геликоид не станет вертикальной плоскостью . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

И наоборот, плоскость можно превратить в геликоид, выбрав линию или ось на плоскости, а затем повернув плоскость вокруг этой оси.

Если геликоид радиуса R вращается на угол θ вокруг своей оси, поднимаясь на высоту h , то площадь его поверхности определяется выражением ^[2]

${\displaystyle {\frac {\theta }{2}}\left[R{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}+c^{2}\ln \left({\frac {R+{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}}{c}}\right)\right],\ c={\frac {h}{\theta }}.}$

Геликоид и катеноид

Анимация, демонстрирующая локальную изометрию сегмента геликоида и сегмента катеноида.

Геликоид и катеноид являются локально изометричными поверхностями; см. Катеноид#Преобразование геликоида .

Смотрите также

• Обобщенный геликоид
• Поверхность Дини
• Правый коноид
• Линейчатая поверхность

Примечания

1. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей в трехмерном пространстве Авторы: А. Т. Фоменко , А. А. Тужилин Соавтор: А. А. Тужилин Опубликовано: AMS Bookstore, 1991 ISBN  0-8218-4552-7 , ISBN 978-0-8218-4552-3 , стр. 33 
2. Weisstein, Eric W. "Helicoid". MathWorld . Получено 2020-06-08 .

Внешние ссылки

• «Геликоид», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Интерактивный 3D-геликоид на основе WebGL