Вихревая диффузия

Перемешивание жидкостей за счет вихревых токов

Моделирование вихревой диффузии порции черной жидкости в белой жидкости. ^[1]

В гидродинамике вихревая диффузия , вихревая дисперсия или турбулентная диффузия — это процесс, при котором жидкие вещества смешиваются из-за вихревого движения . Эти вихри могут сильно различаться по размеру, от субтропических океанических круговоротов до малых микромасштабов Колмогорова , и возникают в результате турбулентности (или турбулентного течения). Теория вихревой диффузии была впервые разработана сэром Джеффри Ингрэмом Тейлором .

В ламинарных потоках свойства материалов (соль, тепло, влажность, аэрозоли и т. д.) смешиваются случайным движением отдельных молекул. Согласно чисто вероятностному аргументу, чистый поток молекул из области высокой концентрации в область низкой концентрации выше, чем поток в противоположном направлении. Этот нисходящий поток уравновешивает профиль концентрации с течением времени. Это явление называется молекулярной диффузией , и его математический аспект отражается в уравновешивании диффузии .

В турбулентных потоках, помимо перемешивания посредством молекулярной диффузии, вихри перемешивают (Вихревая диффузия § Примечание о перемешивании и перемешивании) жидкость. Это заставляет порции жидкости из различных начальных положений и, таким образом, различные связанные концентрации проникать в области жидкости с различными начальными концентрациями. Это заставляет свойства жидкости гомогенизироваться в масштабе, большем, чем у вихрей, ответственных за перемешивание, очень эффективным способом по сравнению с индивидуальным молекулярным движением. В большинстве макроскопических потоков в природе вихревая диффузия на несколько порядков сильнее молекулярной диффузии. Это иногда приводит к тому, что последней пренебрегают при изучении турбулентных потоков.

Проблема турбулентной диффузии в атмосфере и за ее пределами заключается в том, что не существует единой модели, взятой из фундаментальной физики, которая объясняет все ее существенные аспекты. Существуют два альтернативных подхода с непересекающимися областями полезности. Согласно теории градиентного переноса, поток диффузии в фиксированной точке жидкости пропорционален локальному градиенту концентрации. Эта теория является эйлеровой по своей природе, то есть она описывает свойства жидкости в пространственно фиксированной системе координат (см. Лагранжева и эйлерова спецификация жидкости ). Напротив, статистические теории диффузии отслеживают движение частиц жидкости и, таким образом, являются лагранжевыми. Кроме того, вычислительные подходы можно классифицировать как теории непрерывного движения или прерывистого движения в зависимости от того, предполагают ли они, что частицы движутся непрерывно или дискретными шагами.

Исторические события

Теория вихревой диффузии была первоначально разработана, примерно в конце 1910-х годов, GI Taylor ^[2] и LF Richardson ^[3] в Англии и W. Schmidt в Австрии как прямое обобщение классической теории молекулярной диффузии . Они предложили идею о том, что массовый эффект вихрей полностью аналогичен таковому у молекул, за исключением разницы в масштабе. Это описывается как «градиентная модель» в более позднем разделе, название происходит от того факта, что диффузионные потоки пропорциональны локальному градиенту концентрации, как и в случае молекулярной диффузии.

Более поздние исследования (1930-е годы), в основном О. Г. Саттона , указали на некоторые проблемы первоначального подхода ^[4] и выдвинули идею о том, что разница между вихревой структурой турбулентной жидкости и молекулярной структурой покоящейся жидкости заключается не только в масштабе. ^[5]

В течение следующих десятилетий был проведен ряд исследований для экспериментальной проверки устоявшейся теории вихревой диффузии как для атмосферы, так и для океанических/озерных тел, в основном находя согласие с исходной теорией. В частности, эксперименты по диффузии инородного материала в турбулентном водном потоке, ^[6] вертикальной структуре воды в озерных телах, ^[7] и самой нижней части атмосферы ^[8] нашли экспериментальные доказательства того, что вихревая диффузия действительно сильнее молекулярной диффузии и в целом подчиняется теории, первоначально разработанной GI Taylor . Некоторые контрпримеры к исходной градиентной теории приведены далее в статье.

Активные исследования в настоящее время сосредоточены на вкладе вихревой диффузии в известные атмосферные и океанические процессы. Новые модели и теории были построены на основе первоначальной теории, чтобы полностью описать эти процессы. В частности, эти исследования включают механизмы вихревой диффузии для объяснения процессов от осаждения аэрозолей ^[9] до внутренних гравитационных волн в верхней атмосфере, ^[10] от глубоководной вихревой диффузии и плавучести ^[11] до подачи питательных веществ на поверхность смешанного слоя в Антарктическом циркумполярном течении . ^[12]

Математическая формулировка вихревой диффузии

Источник: ^{[13] [14]}

В этом разделе разрабатывается математическая структура, основанная на уравнении непрерывности, для описания эволюции профиля концентрации с течением времени под действием вихревой диффузии. Скорость и поле концентрации разлагаются на среднюю и флуктуирующую (вихревую) компоненты. Затем выводится, что поток концентрации из-за вихрей задается ковариацией флуктуаций скорости и концентрации. Эта ковариация в принципе неизвестна, что означает, что уравнение эволюции для профиля концентрации не может быть решено без дополнительных предположений о ковариации. Затем в следующем разделе приводится одно из таких предположений (модель градиента) и, таким образом, ссылка на основной результат этого раздела. Следующий раздел описывает совершенно другой статистический (и лагранжев) подход к проблеме.

Рассмотрим скалярное поле , являющееся положением в фиксированной декартовой системе координат . Поле измеряет концентрацию пассивного сохраняющегося вида трассера (это может быть цветной краситель в эксперименте, соль в море или водяной пар в воздухе). Прилагательное «пассивный» означает, что, по крайней мере в некотором приближении, трассер никак не изменяет динамические свойства, такие как плотность или давление. Он просто движется вместе с потоком, не изменяя его. Это не совсем верно для многих «трассеров» в природе, таких как водяной пар или соль. «Сохраняющийся» означает, что нет абсолютных источников или стоков, трассер перемещается только путем диффузии и адвекции . ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$ ${\textstyle {\vec {x}}}$

Рассмотрим уравнение сохранения для . Это обобщенное уравнение непрерывности жидкости с источником в правой части. Источник соответствует молекулярной диффузии (а не какому-либо чистому созданию/уничтожению трассера). Уравнение записано в эйлеровом представлении (оно содержит частичную производную по времени): ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\vec {u}}\phi )=K_{0}\nabla ^{2}\phi }$$

${\textstyle K_{0}}$- коэффициент молекулярной диффузии (коэффициент массовой диффузии ).

Цель состоит в том, чтобы выяснить, как ламинарный средний поток взаимодействует с турбулентными вихрями, в частности, какое влияние это оказывает на транспорт трассера. В соответствии со стандартным разложением Рейнольдса , поле концентрации можно разделить на его среднюю и флуктуирующую компоненты:

$${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)=\langle \phi ({\vec {x}},t)\rangle +\phi '({\vec {x}},t)}$$

Аналогично для поля скорости:

$${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {x}},t)=\langle {\vec {u}}({\vec {x}},t)\rangle +{\vec {u}}'({\vec {x}},t)}$$

Средний член (в угловых скобках) представляет собой ламинарный компонент потока. Обратите внимание, что среднее поле в общем случае является функцией пространства и времени, а не просто константой. Среднее в этом смысле не предполагает усреднения по всем доступным данным в пространстве и времени, а просто отфильтровывает турбулентное движение. Это означает, что область усреднения ограничена до такой степени, которая все еще сглаживает турбулентность, но не стирает информацию о самом среднем потоке. Это предполагает, что масштабы вихрей и среднего потока могут быть разделены, что не всегда так. Можно максимально приблизиться к этому, соответствующим образом выбрав диапазон усреднения или, в идеале, выполнив ансамблевое усреднение, если эксперимент можно повторить. Короче говоря, процедура усреднения не является тривиальной на практике. В этом разделе тема рассматривается теоретически, и предполагается, что такая подходящая процедура усреднения существует. Флуктуирующий (штрихованный) член имеет определяющее свойство, что он усредняется, т. е . . Он используется для описания турбулентности (вихрей), которая, помимо прочего, перемешивает жидкость. ${\textstyle \langle \phi '\rangle =0}$

Теперь можно приступить к разложению Рейнольдса. Используя тот факт, что по определению можно усреднить все уравнение, чтобы исключить все турбулентные флуктуации , за исключением нелинейных членов (см. разложение Рейнольдса , напряжение Рейнольдса и усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье–Стокса ). Нелинейный адвективный член становится: ${\textstyle \langle \phi '\rangle =0}$ ${\textstyle \phi '}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\vec {u}}\phi \rangle &=\langle \left(\langle {\vec {u}}\rangle +{\vec {u}}'\right)\left(\langle \phi \rangle +\phi '\right)\rangle \\&=\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \ +\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \end{aligned}}}$$При подстановке в уравнение сохранения: $${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \ +\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)=K_{0}\nabla ^{2}\langle \phi \rangle }$$

Если переместить третий (турбулентный) член левой стороны в правую сторону (в ), то получится: Это уравнение похоже на уравнение, с которого мы начали, за исключением (i) и стали их ламинарных компонентов, и (ii) появления нового второго члена в правой части. Этот второй член имеет аналогичную функцию члена напряжения Рейнольдса в усредненных по Рейнольдсу уравнениях Навье–Стокса . ${\textstyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla }$ $${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left(K_{0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)}$$ ${\textstyle {\vec {u}}}$ ${\textstyle \phi }$

Это была эйлерова трактовка. Можно также изучить эту проблему с точки зрения Лагранжа (поглощая некоторые члены в материальную производную ):

$${\displaystyle {\frac {D\phi }{Dt}}+\phi \nabla \cdot {\vec {u}}=K_{0}\nabla ^{2}\phi }$$

Определим среднюю материальную производную следующим образом:

$${\displaystyle {\frac {\overline {D}}{{\overline {D}}t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\langle {\vec {u}}\rangle \cdot \nabla }$$

Это материальная производная, связанная со средним потоком (адвективный член содержит только ламинарную часть ). Можно распределить член дивергенции в правой части и использовать это определение материальной производной: Это уравнение снова выглядит как уравнение Лагранжа, с которого мы начали, с теми же оговорками (i) и (ii), что и в эйлеровом случае, и определением величины среднего потока также для оператора производной. Последующий анализ вернется к эйлеровой картине. ${\textstyle {\vec {u}}}$ $${\displaystyle {\frac {{\overline {D}}\langle \phi \rangle }{{\overline {D}}t}}+\langle \phi \rangle \nabla \cdot \langle {\vec {u}}\rangle =\nabla \cdot \left(K_{0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)}$$

Интерпретация вихревой диффузии следующая. — это поток пассивного трассера из-за молекулярной диффузии. Он всегда направлен вниз по градиенту. Его расхождение соответствует накоплению (если отрицательно) или истощению (если положительно) концентрации трассера из-за этого эффекта. Можно интерпретировать этот термин как поток из-за турбулентных вихрей, перемешивающих жидкость. Аналогично, его расхождение дало бы накопление/истощение трассера из-за турбулентных вихрей. Пока не определено, должен ли этот вихревой поток быть направлен вниз по градиенту, см. последующие разделы. ${\textstyle K_{0}\nabla \langle \phi \rangle }$ ${\textstyle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle }$

Можно также изучить бюджет концентрации для небольшого объема жидкости объемом . Начните с формулировки Эйлера и используйте теорему о дивергенции : Три члена в правой части представляют молекулярную диффузию, вихревую диффузию и адвекцию со средним потоком соответственно. Возникает проблема, что для нет отдельного уравнения . Невозможно замкнуть систему уравнений, не придумав модель для этого члена. Самый простой способ, как этого можно достичь, — предположить, что, как и член молекулярной диффузии, он также пропорционален градиенту концентрации (см. раздел Теории, основанные на градиентах). Подробнее см. в моделировании турбулентности . ${\textstyle V}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\langle \phi \rangle {\text{d}}V=\oint K_{0}\nabla \langle \phi \rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A-\oint \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A-\oint \langle \phi \rangle \langle {\vec {u}}\rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A}$$ ${\textstyle \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle }$ ${\textstyle \langle \phi \rangle }$

Теория градиентной диффузии

Пример эйлеровой системы отсчета частиц в ящике. ^[15]

Простейшую модель турбулентной диффузии можно построить, проведя аналогию с вероятностным эффектом, вызывающим нисходящий градиентный поток в результате движения отдельных молекул (молекулярная диффузия). Рассмотрим инертный, пассивный трассер, диспергированный в жидкости с начальной пространственной концентрацией . Пусть есть небольшая область жидкости с более высокой концентрацией трассера, чем ее окружение во всех направлениях. Она обменивается жидкостью (а вместе с ней и трассером) со своим окружением посредством турбулентных вихрей, которые представляют собой флуктуирующие потоки, идущие вперед и назад, казалось бы, случайным образом. Вихри, текущие в область из ее окружения, статистически такие же, как и те, которые текут из области в ее окружение. Это происходит потому, что трассер является «пассивным», поэтому посылка жидкости с более высокой концентрацией имеет такое же динамическое поведение, как и посылка жидкости с более низкой концентрацией. Ключевое отличие состоит в том, что те, которые текут наружу, переносят гораздо больше трассера, чем те, которые текут внутрь, поскольку концентрация внутри области изначально выше, чем снаружи. Это можно количественно определить с помощью потока трассера. Поток имеет единицы измерения количества трассера на площадь за время, что равно концентрации трассера, умноженной на скорость. Локальная скорость накопления трассера тогда будет зависеть от разницы исходящих и входящих потоков. В нашем примере исходящие потоки больше входящих потоков, что приводит к отрицательному локальному накоплению (т. е. истощению) трассера. Этот эффект в целом приведет к выравниванию начального профиля с течением времени, независимо от того, каким может быть начальный профиль. Чтобы иметь возможность рассчитать эту временную эволюцию, нужно знать, как рассчитать поток. В этом разделе рассматривается простейшая гипотеза: поток линейно связан с разницей концентраций (как и для молекулярной диффузии). Это также является наиболее интуитивной догадкой из только что проведенного анализа. Поток в принципе является вектором. Этот вектор указывает в направлении переноса трассера, и в этом случае он будет параллелен . Поэтому модель обычно называется градиентной диффузией (или, что эквивалентно, нисходящей градиентной диффузией). ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t=0)}$ ${\textstyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$ ${\textstyle \phi ({\vec {x}})}$ ${\textstyle -\nabla \phi ({\vec {x}})}$

Грубый аргумент в пользу градиентной диффузии

Источник: ^[3]

Концептуальная схема для простого вывода вихревой диффузии. Вихрь смешивает содержимое двух жидких областей, вводя потоки и нити туда и обратно квазислучайным образом. Реальный процесс гораздо более хаотичен, чем предполагает простая спираль. и обозначают концентрации того же произвольного вещества, которое смешивается вихрем. Масштаб длины двух областей, на которые влияет вихрь на этой картинке, задается масштабом длины вихря, а не наоборот. ${\textstyle \Phi _{1}}$ ${\textstyle \Phi _{2}}$

Подраздел нацелен на простой, грубый и эвристический аргумент, объясняющий, как возникает математика градиентной диффузии. Более строгая и общая трактовка градиентной модели предлагается в следующем подразделе, который непосредственно строится на разделе об общей математической трактовке (которая еще не предполагала градиентную модель на той ранней стадии и оставила ковариацию флуктуаций такой, какой она была). Средние значения на данный момент явно не указаны для максимальной простоты обозначений. Также на данный момент пренебрегаем молекулярной диффузией , поскольку она обычно значительно меньше вихревой диффузии и отвлечет внимание от вихревого механизма. ${\textstyle K_{0}}$

Рассмотрим два соседних пакета жидкости с разнесенными центрами. Они содержат объемные концентрации и инертного пассивного трассера. Без потери общности, пусть . Представьте, что одиночный вихрь с масштабом длины и масштабом скорости отвечает за непрерывное перемешивание материала между двумя пакетами. Поток трассера, обмениваемый через боковую границу двух пакетов, обозначен . Граница перпендикулярна оси . Поток из пакета 1 в пакет 2 тогда равен, по крайней мере по порядку величины: ${\textstyle \Delta x}$ ${\textstyle \phi _{1}}$ ${\textstyle \phi _{2}}$ ${\textstyle \phi _{2}>\phi _{1}}$ ${\textstyle \Delta x}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle J}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J&=\phi _{1}U-\phi _{2}U\\&=-U\Delta \phi \\&=-(U\Delta x){\frac {\Delta \phi }{\Delta x}}\end{aligned}}}$$

Этот аргумент можно рассматривать как физически мотивированный размерный анализ , поскольку он использует только шкалы длины и скорости вихря для оценки потока трассера, который он генерирует. Если вся изучаемая область (считается, что она содержит большое количество таких пар и ) намного больше шкалы длины вихря , можно аппроксимировать как производную концентрации в непрерывно изменяющейся среде: ${\textstyle \phi _{1}}$ ${\textstyle \phi _{2}}$ ${\textstyle \Delta x}$ ${\textstyle \Delta \phi }$ ${\textstyle \Delta x}$

$${\displaystyle J=-(U\Delta x){\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$$

На основании сходства с законом диффузии Фика можно интерпретировать термин в скобках как коэффициент диффузии, связанный с этим турбулентным вихрем, определяемый как произведение его масштабов длины и скорости. ${\textstyle K}$

$${\displaystyle J=-K{\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$$

Используя одномерную форму уравнения непрерывности , мы можем записать: ${\textstyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial J}{\partial x}}=0}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(K{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}$$

Если предполагается, что является пространственно однородным, то его можно вывести из-под производной и получить уравнение диффузии вида: ${\textstyle K}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=K{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}}$$

Это прототипический пример параболического уравнения с частными производными . Оно также известно как уравнение теплопроводности . Его фундаментальное решение для точечного источника в точке: ${\textstyle x=0}$

$${\displaystyle \phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi Kt}}}\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{4Kt}}\right)}}$$

Сравнивая с гауссовым распределением , можно определить дисперсию как и стандартное отклонение как , что является весьма типичной временной зависимостью для молекулярной диффузии или случайного блуждания . ${\textstyle \sigma ^{2}(t)=2Kt}$ ${\textstyle \sigma (t)={\sqrt {2Kt}}\sim t^{1/2}}$

В заключение этого подраздела, он описал, как вихрь может перемешивать две окружающие области жидкости и как это поведение порождает математику, описанную как «градиентная модель», что означает, что диффузионные потоки выровнены с отрицательным пространственным градиентом концентрации. Он рассматривал очень простую геометрию, в которой все изменения происходят вдоль одной оси. Аргумент использовал только масштабы порядка величины пространственного разделения и скорости вихря, поэтому он был очень грубым. Следующий раздел предлагает более строгое рассмотрение.

Интерпретация общих уравнений

Источник: ^[13]

Этот подраздел основан на разделе, посвященном общей математической обработке, и рассматривает, что происходит при введении предположения о градиенте.

Вспомним уравнение концентрации, усредненное по Рейнольдсу: Мы делаем предположение о градиенте, похожее на то, которое было мотивировано в подразделе выше с длиной трассера и масштабами скорости. Однако значение коэффициента не обязательно должно быть таким же, как в подразделе выше (которое было определено только по порядку величины). Гипотеза градиента гласит: Это позволяет переписать уравнение концентрации как Это снова похоже на исходное уравнение концентрации с преобразованиями и . Оно представляет собой обобщение второго закона Фика (см. законы диффузии Фика ) при наличии турбулентной диффузии и адвекции средним потоком. Вот почему модели вихревой диффузии с понижением градиента часто называют «фиковскими», подчеркивая это математическое сходство. Обратите внимание, что коэффициент вихревой диффузии в общем случае может быть функцией пространства и времени, поскольку его значение задается моделью вихрей, которые могут развиваться во времени и меняться от места к месту. Различные предположения, сделанные относительно , ​​могут привести к различным моделям с различными компромиссами между наблюдениями и теорией. $${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left(K_{0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)}$$ $${\displaystyle \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle =-K({\vec {x}},t)\nabla \langle \phi \rangle }$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left((K_{0}+K)\nabla \langle \phi \rangle \right)}$$ ${\textstyle \phi \rightarrow \langle \phi \rangle ,{\vec {u}}\rightarrow \langle {\vec {u}}\rangle }$ ${\textstyle K_{0}\rightarrow K_{0}+K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K({\vec {x}},t)}$

Иногда термин «фикковская диффузия» применяется исключительно для случая, когда — истинная константа. ^[16] должен быть, по крайней мере, пространственно однородным, чтобы можно было записать: В этом случае сумму молекулярной и турбулентной диффузии можно рассматривать как новую эффективную вязкость, действующую качественно аналогично молекулярной диффузии, но значительно увеличенную по величине. ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=(K_{0}+K)\nabla ^{2}\langle \phi \rangle }$$

В контексте данной статьи прилагательное «фиковский» может также использоваться как эквивалент градиентной модели, ^[17] поэтому допустима более общая форма, например . Терминология в научных статьях не всегда последовательна в этом отношении. ${\textstyle K({\vec {x}},t)}$

Недостатки и контрпримеры градиентной модели

Градиентные модели исторически были первыми моделями вихревой диффузии. ^[13] Они просты и математически удобны, но базовое предположение о чисто нисходящем градиентном диффузионном потоке не является универсально верным. Вот несколько экспериментальных контрпримеров:

1. Для простого случая однородного турбулентного сдвигового потока ^[5] угол между и оказался равным 65 градусам. Фиковская диффузия предсказывает 0 градусов. ${\textstyle -\nabla \langle \phi \rangle }$ ${\textstyle \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle }$
2. На море поверхностные дрейфующие объекты, изначально находящиеся дальше друг от друга, имеют большую вероятность увеличения своего физического расстояния на большие величины, чем те, которые изначально находятся ближе. Напротив, фикковская диффузия предсказывает, что изменение взаимного расстояния (т. е. начальное расстояние, вычитаемое из конечного расстояния) двух дрейфующих объектов не зависит от их начальных или конечных расстояний. Это наблюдал Стоммел в 1949 году. ^[17]
3. Вблизи точечного источника (например, дымохода) эволюция во времени оболочки рассеивающегося облака водяного пара обычно наблюдается линейно во времени. Фиковская диффузия предсказывает зависимость квадратного корня во времени,. ^{[4] [7]}

Эти наблюдения указывают на то, что существуют механизмы, отличные от чисто нисходящей градиентной диффузии, и что качественная аналогия между молекулярной и вихревой диффузией не идеальна. В следующем разделе о статистических моделях представлен другой способ рассмотрения вихревой диффузии.

Статистическая теория диффузии

Пример лагранжевой системы отсчета. Наблюдатель следует за частицей на ее пути. ^[15]

Статистической теории турбулентности жидкости посвящен большой объем литературы, а ее результаты применяются во многих областях исследований — от метеорологии до океанографии.

Статистическая теория диффузии возникла в статье GI Taylor (1921) под названием «Диффузия при непрерывных движениях» ^[18] и позднее была развита в его статье «Статистическая теория турбулентности». ^[19] Статистический подход к диффузии отличается от теорий, основанных на градиентах, поскольку вместо изучения пространственного переноса в фиксированной точке пространства используется лагранжева система отсчета и отслеживаются частицы в их движении через жидкость, и из них пытаются определить статистические свойства для представления диффузии.

Тейлор, в частности, утверждал, что при высоком числе Рейнольдса пространственным переносом, обусловленным молекулярной диффузией, можно пренебречь по сравнению с конвективным переносом, обусловленным средним потоком и турбулентными движениями. Пренебрегая молекулярной диффузией, тогда сохраняется после частицы жидкости, и, следовательно, эволюция среднего поля может быть определена из статистики движения частиц жидкости. ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \left\langle \phi \right\rangle }$

Формулировка Лагранжа

Источник: ^[13]

Рассмотрим неограниченный турбулентный поток, в котором источник в данный момент времени определяет скалярное поле с некоторым значением: — это положение в данный момент времени частицы жидкости, исходящей из положения в момент времени t. ${\textstyle t_{0}}$ $${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t_{0})=\phi _{0}({\vec {x}})}$$ ${\textstyle {\vec {X}}(t,{\vec {Y}})}$ ${\textstyle t_{0}}$ ${\textstyle {\vec {Y}}}$

Если пренебречь молекулярной диффузией, то сохраняется вслед за частицей жидкости. Тогда значение в начальной и конечной точках траектории частицы жидкости одинаково: Вычисление математического ожидания последнего уравнения дает ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \phi }$ $${\displaystyle \phi ({\vec {X}}(t,{\vec {Y}}),t)=\phi ({\vec {Y}},t_{0})=\phi _{0}({\vec {Y}})}$$

$${\displaystyle \left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =\left\langle \phi _{0}({\vec {Y}}(t,{\vec {x}})\right\rangle =\int f_{X}({\vec {x}};t|{\vec {Y}})\phi _{0}({\vec {Y}})d{\vec {Y}}}$$

где — прямая функция плотности вероятности положения частицы. ${\textstyle f_{X}}$

Рассеивание от точечного источника

Для случая единичного точечного источника, зафиксированного в месте , т.е. , математическое ожидание равно Это означает, что среднее сохраняющееся скалярное поле, возникающее из точечного источника, задается функцией плотности вероятности положения частицы для частиц жидкости, которые возникают в источнике. ${\textstyle {\vec {Y_{0}}}}$ ${\textstyle \phi _{0}({\vec {x}})=\delta ({\vec {x}}-{\vec {Y_{0}}})}$ ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$ $${\displaystyle \left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =f_{X}({\vec {x}};t|Y_{0})}$$ ${\textstyle f_{X}}$

Простейшим случаем для рассмотрения является дисперсия от точечного источника, расположенного в начале координат ( ), в статистически стационарной изотропной турбулентности. В частности, рассмотрим эксперимент, в котором изотропное турбулентное поле скорости имеет нулевое среднее значение. ${\textstyle Y_{0}=0}$

В этом случае можно получить следующие результаты:

• 

  Образцы траекторий частиц жидкости, заданные уравнением Ланжевена для времен, намного короче шкалы времени Лагранжа. Обратите внимание, что ожидание развивается линейно. (Обе оси выражены в подходящих безразмерных величинах).

  

  Образцы траекторий частиц жидкости, заданные уравнением Ланжевена для времен, намного больших, чем шкала времени Лагранжа. Обратите внимание, что ожидание эволюционирует как квадратный корень времени. (Обе оси выражены в подходящих безразмерных величинах).

  Учитывая, что изотропное турбулентное поле скорости имеет нулевое среднее значение, частицы жидкости рассеиваются от начала координат изотропно, а это означает, что среднее значение и ковариация положения частиц жидкости равны соответственно, где — стандартное отклонение и дельта Кронекера . $${\displaystyle \left\langle {\vec {X}}(t,0)\right\rangle =\int _{0}^{t}\left\langle {\vec {U}}(s,0)\right\rangle ds=0}$$ $${\displaystyle \left\langle X_{i}(t,0)X_{j}(t,0)\right\rangle =\sigma _{X}^{2}(t)\delta _{ij}}$$ ${\textstyle \sigma _{x}(t)}$ ${\textstyle \delta _{ij}}$
• Стандартное отклонение смещения частицы дается в терминах автокорреляции скорости Лагранжа, следующей из где — среднеквадратическая скорость . Этот результат соответствует результату, первоначально полученному Тейлором. ^[18] ${\textstyle \rho (s)}$ $${\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)=2u'^{2}\int _{0}^{t}(t-s)\rho (s)ds}$$ ${\textstyle u'}$
• Для всех времен дисперсия может быть выражена через коэффициент диффузии как ${\textstyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)}$

$${\displaystyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sigma _{X}^{2}=u'^{2}\int _{0}^{t}\rho (s)ds}$$

• Величина определяет временную характеристику турбулентности, называемую интегральной временной шкалой Лагранжа. ${\displaystyle T_{L}=\int _{0}^{\infty }\rho (s)ds}$
• Для достаточно малых времен ( ), так что может быть аппроксимировано с помощью , прямолинейное движение жидкости приводит к линейному увеличению стандартного отклонения , которое, в терминах, соответствует зависящей от времени диффузии . Это проливает свет на один из приведенных выше экспериментальных контрпримеров градиентной диффузии, а именно наблюдение линейной скорости распространения дыма вблизи дымохода. ${\textstyle t\ll T_{L}}$ ${\textstyle \rho (s)}$ ${\textstyle \rho (0)=1}$ ${\textstyle \sigma _{X}\approx u't}$ ${\textstyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)\approx u'^{2}t}$
• Для достаточно больших времен ( ) дисперсия соответствует диффузии с постоянной диффузионной способностью , так что стандартное отклонение увеличивается как квадратный корень времени после ${\textstyle t\gg T_{L}}$ ${\textstyle \Gamma _{T}=u'^{2}T_{L}}$ $${\displaystyle \sigma _{X}(t)\approx {\sqrt {2u'^{2}T_{L}t}}}$$
• Это тот же тип зависимости, который был получен для простого случая градиентной диффузии. Это согласие между двумя подходами предполагает, что для достаточно больших времен градиентная модель работает хорошо и вместо этого не может предсказать поведение частиц, недавно выброшенных из своего источника.

Уравнение Ланжевена

Простейшей стохастической моделью Лагранжа является уравнение Ланжевена , которое дает модель для скорости, следующей за частицей жидкости. В частности, уравнение Ланжевена для скорости частицы жидкости дает полное предсказание для турбулентной дисперсии. Согласно уравнению, функция автокорреляции скорости Лагранжа является экспоненциальной . С этим выражением для , стандартное отклонение смещения частицы может быть проинтегрировано, чтобы получить Согласно уравнению Ланжевена, каждый компонент скорости частицы жидкости является процессом Орнштейна-Уленбека . Из этого следует, что положение частицы жидкости (т. е. интеграл процесса Орнштейна-Уленбека) также является гауссовым процессом. Таким образом, среднее скалярное поле, предсказанное уравнением Ланжевена, является гауссовым распределением с заданным предыдущим уравнением. ${\displaystyle \rho (s)=\exp(-|s|/T_{L})}$ ${\displaystyle \rho (s)}$ $${\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)=2u^{2}T_{L}[t-T_{L}(1-\exp(-t/T_{L}))]}$$ $${\displaystyle \left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =(\sigma _{X}{\sqrt {2\pi }})^{-3}\exp(-x_{i}x_{i}/2\sigma _{X}^{2})}$$ ${\displaystyle \sigma _{X}(t)}$

Вихревая диффузия в естественных науках

Вихревая диффузия в океане

Молекулярная диффузия незначительна для целей материального транспорта через океанические бассейны. Однако наблюдения показывают, что океаны находятся в состоянии постоянного перемешивания. Это обеспечивается океаническими вихрями, которые варьируются от микромасштабов Колмогорова до круговоротов, охватывающих целые бассейны. Вихревая активность, которая обеспечивает это перемешивание, непрерывно рассеивает энергию, которую она теряет в мельчайших масштабах движения. Это уравновешивается в основном приливами и ветровым напряжением, которые действуют как источники энергии, непрерывно компенсирующие рассеиваемую энергию. ^{[20] [21]}

Вертикальный перенос: опрокидывающая циркуляция и вихревой подъем глубинных вод

За исключением слоев в непосредственной близости от поверхности, большая часть океана устойчиво стратифицирована. В нескольких узких спорадических регионах в высоких широтах поверхностные воды становятся достаточно нестабильными, чтобы опуститься глубоко и составить глубокую южную ветвь опрокидывающейся циркуляции ^[20] (см., например, AMOC ). Вихревая диффузия, в основном в Антарктическом циркумполярном течении , затем обеспечивает обратный восходящий поток этих водных масс. Апвеллинг также имеет прибрежный компонент из-за переноса Экмана , но Антарктическое циркумполярное течение считается доминирующим источником апвеллинга, ответственным примерно за 80% его общей интенсивности. ^[22] Следовательно, эффективность турбулентного перемешивания в субантарктических регионах является ключевым элементом, который устанавливает скорость опрокидывающейся циркуляции и, таким образом, перенос тепла и соли через глобальный океан.

Вихревая диффузия также контролирует подъем атмосферного углерода, растворенного в верхних слоях океана тысячи лет назад, и, таким образом, играет важную роль в климатической системе Земли. ^[9] В контексте глобального потепления , вызванного увеличением содержания углекислого газа в атмосфере , подъем этих древних (следовательно, менее богатых углеродом) водных масс при одновременном растворении и опускании нынешнего богатого углеродом воздуха вызывает чистое накопление выбросов углерода в океане. Это, в свою очередь, смягчает изменение климата, но вызывает такие проблемы, как закисление океана . ^[10]

Горизонтальный транспорт: пластик

Примером горизонтального переноса, который получил значительный исследовательский интерес в 21 веке, является перенос плавающего пластика . На больших расстояниях наиболее эффективным механизмом переноса является ветровая циркуляция . Конвергентный перенос Экмана в субтропических круговоротах превращает их в регионы повышенной концентрации плавающего пластика (например, Большое тихоокеанское мусорное пятно ). ^[23]

В дополнение к крупномасштабным ( детерминированным ) циркуляциям, множество процессов меньшего масштаба размывают общую картину пластикового транспорта. Подсеточная турбулентная диффузия добавляет стохастический характер движению. Численные исследования часто проводятся с участием большого ансамбля плавающих частиц, чтобы преодолеть эту присущую стохастичность .

Кроме того, существуют и более макроскопические вихри, которые разрешаются в моделировании и лучше понимаются. Например, важную роль играют мезомасштабные вихри . Мезомасштабные вихри — это медленно вращающиеся вихри с диаметрами в сотни километров, характеризующиеся числами Россби, намного меньшими единицы. Антициклонические вихри (против часовой стрелки в Северном полушарии) имеют внутреннюю поверхностную радиальную компоненту потока, которая вызывает чистое накопление плавающих частиц в их центре. Мезомасштабные вихри не только способны удерживать мусор, но и переносить его на большие расстояния благодаря своему дрейфу на запад. Это было показано для поверхностных дрейферов, радиоактивных изотопных маркеров, ^[24] планктона, медуз, ^{[25] [12]} тепла и соли. ^[11] Субмезомасштабные вихри и океанические фронты также важны, но они, как правило, не разрешаются в численных моделях и вносят вклад в вышеупомянутый стохастический компонент переноса. ^[23]

Атмосфера

Источник: ^[16]

Проблема диффузии в атмосфере часто сводится к решению исходного градиентного уравнения диффузии при соответствующих граничных условиях. Эту теорию часто называют теорией K, где название происходит от коэффициента диффузии K, введенного в градиентной теории.

Например, если K считается постоянным, то его можно рассматривать как измерение потока пассивной скалярной величины , например, дыма через атмосферу. ${\textstyle \phi }$

Для стационарной среды , в которой коэффициенты диффузии, которые не обязательно равны, могут изменяться в зависимости от трех пространственных координат, более общее уравнение диффузии на основе градиента гласит: Рассматривая точечный источник, граничные условия имеют вид , где , где - интенсивность источника (общее количество выделившегося вещества). ${\textstyle \phi }$ $${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(K_{x}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(K_{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(1)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad t\rightarrow \infty \quad {\text{for}}\quad -\infty <x<\infty \\(2)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad t\rightarrow 0\quad {\text{for}}\quad x\neq 0\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \phi \rightarrow \infty }$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\phi dx=\Phi }$ ${\textstyle \Phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Решение этой задачи — гауссова функция. В частности, решение для мгновенного точечного источника , с интенсивностью , атмосферы, в которой является постоянной, и для которой мы рассматриваем лагранжеву систему отсчета, которая движется со средним ветром : Интеграция этого решения для мгновенного точечного источника по пространству дает уравнения для мгновенных объемных источников (например, взрывы бомб). Интеграция уравнения для мгновенного точечного источника по времени дает решения для непрерывного точечного источника. ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \Phi }$ ${\textstyle {\overline {u}}}$ ${\textstyle v=w=0}$ ${\textstyle {\overline {u}}}$ $${\displaystyle {\frac {\phi }{\Phi }}={\frac {1}{(4\pi Kt)^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4Kt}}\right)}$$

Пограничный слой атмосферы

Теория К применялась при изучении динамики скалярной величины через пограничный слой атмосферы . Предположение о постоянной турбулентной диффузии здесь редко применимо, и по этой причине невозможно просто применить теорию К, как она была введена ранее. ${\displaystyle \phi }$

Не теряя общности, рассмотрим устойчивое состояние, т. е . , и бесконечный линейный источник поперечного ветра, для которого при Предполагая, что , т. е. x-перенос средним потоком значительно перевешивает вихревой поток в этом направлении, уравнение диффузии на основе градиента для потока неподвижной среды становится Это уравнение вместе со следующими граничными условиями , где, в частности, последнее условие подразумевает нулевой поток у земли. Это уравнение было основой для многих исследований. Различные предположения о форме дают различные решения. ${\textstyle \partial \phi /\partial t=0}$ ${\textstyle z=0}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left(K_{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)=0}$$ ${\textstyle \partial (K_{x}\partial \phi /\partial x)/\partial x\ll {\overline {u}}\partial \phi /\partial x}$ ${\textstyle q}$ $${\displaystyle {\overline {u}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(1)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad z\rightarrow \infty \\(2)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad x\rightarrow 0\quad {\text{for all}}\quad z>0\quad {\text{but}}\quad \phi \rightarrow \infty \quad {\text{as}}\quad x\rightarrow 0,\quad z\rightarrow 0\quad {\text{such that}}\quad \lim _{x\rightarrow 0}\int _{0}^{\infty }{\overline {u}}\phi dz=\Phi \\(3)\quad &K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\quad {\text{as}}\quad z\rightarrow 0\quad {\text{for all}}\quad x>0\end{aligned}}}$$ ${\textstyle K_{z}}$

Пример изогнутого шлейфа, описанного с использованием теории К в работе «Диффузия дымовых газов в очень стабильной атмосфере» Мортона Л. Барада. ^[26]

Например, теория К широко используется в атмосферной турбулентной диффузии (теплопроводность от поверхности Земли, распределение импульса), поскольку основное дифференциальное уравнение, используемое в ней, можно значительно упростить, исключив одну или несколько пространственных координат. ^[27] При этом в теплопроводности в пограничном слое планеты источником является синусоидальная функция времени, поэтому математическая сложность некоторых из этих решений значительна.

Недостатки и преимущества

В целом теория K имеет некоторые недостатки. Колдер ^[28] исследовал применимость уравнения диффузии к атмосферному случаю и пришел к выводу, что стандартная форма теории K не может быть общеприменимой. Монин ^[29] называет теорию K полуэмпирической теорией диффузии и указывает, что базовую природу теории K следует иметь в виду, поскольку цепочка выводов из исходного уравнения становится длиннее и сложнее.

При этом теория K дает много полезных практических результатов. Одним из них является исследование Барада ^[26] , где он предлагает теорию K сложной проблемы диффузии изогнутого дымового шлейфа в очень стабильных атмосферах.

Примечание по перемешиванию и смешиванию

Глагол «перемешивание» имеет значение, отличное от «смешивание». Первое обозначает более масштабное явление, например, вихревую диффузию, в то время как второе иногда используется для более микроскопических процессов, например, молекулярной диффузии. Они часто используются взаимозаменяемо, включая некоторую научную литературу. «Перемешивание» часто используется для результата обоих, особенно в менее формальном повествовании. На анимации во вступительном разделе можно увидеть, что вихревое перемешивание разбивает черную область на более мелкие и более хаотичные пространственные узоры, но нигде не появляется никаких оттенков серого. Две жидкости становятся все более и более переплетенными, но они не смешиваются из-за вихревой диффузии. В действительности, по мере того как их интерфейс становится больше, молекулярная диффузия становится все более и более эффективной и завершает гомогенизацию, фактически смешивая молекулы через границы. Это действительно микроскопически необратимый процесс. Но даже без молекулярной диффузии, которая заботится о последнем шаге, можно обоснованно утверждать, что пространственная концентрация изменяется из-за вихревой диффузии. На практике концентрация определяется с использованием очень малого, но конечного контрольного объема, в котором подсчитываются частицы соответствующих видов. Усреднение по такому малому контрольному объему дает полезную меру концентрации. Эта процедура хорошо улавливает действие всех вихрей, меньших размера контрольного объема. Это позволяет формулировать уравнения, описывающие вихревую диффузию и ее влияние на концентрацию без необходимости явно учитывать молекулярную диффузию.

Ссылки

1. "Транспорт и диффузия". personalpages.to.infn.it . Получено 2022-04-01 .
2. Тейлор, Джеффри Ингрэм; Шоу, Уильям Нейпир (1915-01-01). «I. Вихревое движение в атмосфере». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического или физического характера . 215 (523–537): 1–26. Bibcode : 1915RSPTA.215....1T. doi : 10.1098/rsta.1915.0001 .
3. Cushman-Roisin, Benoit; Jean-Marie Beckers (2011). Введение в геофизическую гидродинамику: физические и численные аспекты (2-е изд.). Waltham, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-088759-0. OCLC  760173075.
4. Cushman-Roisin, Benoit (декабрь 2008 г.). «За пределами вихревой диффузии: альтернативная модель турбулентной дисперсии». Environmental Fluid Mechanics . 8 (5–6): 543–549. Bibcode : 2008EFM.....8..543C. doi : 10.1007/s10652-008-9082-7. ISSN  1567-7419. S2CID  122415464.
5. Tavoularis, Stavros; Corrsin, Stanley (март 1981 г.). «Эксперименты в почти однородном турбулентном сдвиговом потоке с равномерным средним градиентом температуры. Часть 1». Journal of Fluid Mechanics . 104 : 311–347. doi :10.1017/S0022112081002930. ISSN  0022-1120. S2CID  121757951.
6. Калинске, AA; Пиен, CL (1944). «Вихревая диффузия». Промышленная и инженерная химия . 36 (3): 220–223. doi :10.1021/ie50411a008. ISSN  0019-7866.
7. Min, IA; Lundblad, HL (2002). "Измерение и анализ рассеивания порывов ветра над пограничным слоем атмосферы с использованием количественных изображений". Журнал прикладной метеорологии . 41 (10): 1027–1041. Bibcode :2002JApMe..41.1027.. doi : 10.1175/1520-0450(2002)041<1027:MAAOPD>2.0.CO;2 . ISSN  0894-8763. JSTOR  26185358.
8. Паскуилл, Фрэнк; Тейлор, Джеффри Ингрэм (1949-07-22). «Вихревая диффузия водяного пара и тепла вблизи земли». Труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки . 198 (1052): 116–140. Bibcode : 1949RSPSA.198..116P. doi : 10.1098/rspa.1949.0090 . S2CID  98779854.
9. Маршалл, Дж., Спир, К. Замыкание меридиональной опрокидывающей циркуляции посредством апвеллинга Южного океана. Nature Geosci 5, 171–180 (2012).
10. Jacob, Daniel J. Введение в химию атмосферы. Princeton University Press, 1999
11. Dong, Changming; McWilliams, James C.; Liu, Yu; Chen, Dake (2014-02-18). "Глобальный перенос тепла и соли вихревым движением". Nature Communications . 5 (1): 3294. Bibcode :2014NatCo...5.3294D. doi : 10.1038/ncomms4294 . ISSN  2041-1723. PMID  24534770.
12. Berline, L.; Zakardjian, B.; Molcard, A.; Ourmières, Y.; Guihou, K. (2013-05-15). «Моделирование транспортировки и выбрасывания на берег медузы Pelagia noctiluca в Лигурийском море». Marine Pollution Bulletin . 70 (1): 90–99. Bibcode : 2013MarPB..70...90B. doi : 10.1016/j.marpolbul.2013.02.016. ISSN  0025-326X. PMID  23490349.
13. Поуп, Стивен Б. (2000-08-10). Турбулентные потоки. Высшее образование от Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511840531. ISBN 9780521591256. Получено 24.03.2022 .
14. Кушман-Руазен, Бенуа и Жан-Мари Беккерс. Введение в геофизическую гидродинамику: физические и численные аспекты. Academic Press, 2011.
15. "Лагранжева турбулентность". personalpages.to.infn.it . Получено 29.03.2022 .
16. Гиффорд, ФА-младший (1968-10-31). Очерк теорий диффузии в нижних слоях атмосферы (отчет). doi :10.2172/4501607. OSTI  4501607. TID–24190.
17. Stommel, H. (1949). «Горизонтальная диффузия из-за океанической турбулентности». J. Mar. Res . 8 : 199–225.
18. Taylor, GI (1922). «Диффузия непрерывными движениями». Труды Лондонского математического общества . s2-20 (1): 196–212. Bibcode :1922PLMS..220S.196T. doi :10.1112/plms/s2-20.1.196. ISSN  0024-6115.
19. Тейлор, Джеффри Ингрэм; null, null (1935-09-02). "Статистическая теория турбулентности". Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки . 151 (873): 421–444. Bibcode : 1935RSPSA.151..421T. doi : 10.1098/rspa.1935.0158 . S2CID  123146812.
20. Wunsch, Carl (2004-01-21). «Вертикальное смешивание, энергия и общая циркуляция океанов». Annual Review of Fluid Mechanics . 36 (1): 281–314. Bibcode : 2004AnRFM..36..281W. doi : 10.1146/annurev.fluid.36.050802.122121. ISSN  0066-4189.
21. Мунк, Вальтер; Вунш, Карл (1998-12-01). «Глубоководные рецепты II: энергетика приливного и ветрового смешивания». Deep Sea Research Part I: Oceanographic Research Papers . 45 (12): 1977–2010. Bibcode : 1998DSRI...45.1977M. doi : 10.1016/S0967-0637(98)00070-3. ISSN  0967-0637.
22. Талли, Линн (2013-03-01). «Закрытие глобальной опрокидывающейся циркуляции через Индийский, Тихий и Южный океаны: схемы и переносы». Океанография . 26 (1): 80–97. doi : 10.5670/oceanog.2013.07 . ISSN  1042-8275.
23. van Sebille, Erik; Aliani, Stefano; Law, Kara Lavender; Maximenko, Nicholas; Alsina, José M; Bagaev, Andrei; Bergmann, Melanie; Chapron, Bertrand; Chubarenko, Irina; Cózar, Andrés; Delandmeter, Philippe (2020-02-01). "Физическая океанография переноса плавающего морского мусора". Environmental Research Letters . 15 (2): 023003. Bibcode : 2020ERL....15b3003V. doi : 10.1088/1748-9326/ab6d7d . hdl : 2117/187082 . ISSN  1748-9326. S2CID  212423141.
24. Будянский, МВ; Горячев, ВА; Каплуненко, ДД; Лобанов, ВБ; Пранц, СВ; Сергеев, АФ; Шлык, НВ; Улейский, М. Ю. (2015-02-01). "Роль мезомасштабных вихрей в переносе изотопов цезия, полученных в результате аварии на АЭС "Фукусима", в океане". Deep Sea Research Part I: Oceanographic Research Papers . 96 : 15–27. arXiv : 1410.2359 . Bibcode :2015DSRI...96...15B. doi :10.1016/j.dsr.2014.09.007. ISSN  0967-0637. S2CID  119118270.
25. Джонсон, Дональд Р.; Перри, Харриет М.; Грэм, Уильям М. (2005). «Использование моделей течений с прогнозом текущей погоды для изучения переноса неместных медуз в Мексиканский залив». Серия «Прогресс морской экологии» . 305 : 139–146. Bibcode : 2005MEPS..305..139J. doi : 10.3354/meps305139 . ISSN  0171-8630. JSTOR  24869879.
26. Barad, Morton L. (1951), Carter, JH; Gosline, CA; Hewson, EW; Landsberg, H. (ред.), «Диффузия дымовых газов в очень устойчивых атмосферах», On Atmospheric Pollution: A Group of Contributions , Бостон, Массачусетс: Американское метеорологическое общество, стр. 9–14, doi : 10.1007/978-1-940033-03-7_2, ISBN 978-1-940033-03-7, получено 2022-04-04
27. Шеппард, П. А. (1960). «Турбулентный перенос в нижней атмосфере. Ч. Б. ПРИСТЛИ. Издательство Чикагского университета, 1959. 130 с. 28 с». Журнал механики жидкости . 8 (4): 636–638. doi :10.1017/S0022112060220859. ISSN  1469-7645. S2CID  122096534.
28. Calder, KL (1965). «Об уравнении атмосферной диффузии». Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society . 91 (390): 514–517. Bibcode : 1965QJRMS..91..514C. doi : 10.1002/qj.49709139011. ISSN  0035-9009.
29. Монин, А.С. (1959-01-01). «Атмосферная диффузия». Успехи физики . 2 (1): 50–58. doi :10.1070/PU1959v002n01ABEH003108. ОСТИ  4200848.