Карта включения

${\displaystyle A}$является подмножеством и надмножеством ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

В математике , если является подмножеством , то карта включения (также функция включения , вставка , ^[1] или каноническая инъекция ) — это функция , которая отправляет каждый элемент в обработанный как элемент ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle B:}$

$${\displaystyle \iota :A\rightarrow B,\qquad \iota (x)=x.}$$

«Стрелка с крючком» ( U + 21AA ↪ СТРЕЛКА ВПРАВО С КРЮКОМ ) ^[2] иногда используется вместо функциональной стрелки выше для обозначения карты включения; таким образом:

$${\displaystyle \iota :A\hookrightarrow B.}$$

(Однако некоторые авторы используют эту стрелку с крючком для любого встраивания .)

Эту и другие аналогичные инъективные функции ^[3] из подструктур иногда называют естественными инъекциями .

Учитывая любой морфизм между объектами и , если существует карта включения в область , то можно сформировать ограничение . Во многих случаях можно также построить каноническое включение в кодомен , известное как диапазон ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \iota :A\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\circ \iota }$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle R\to Y}$ ${\displaystyle f.}$

Применение карт включения

Карты включения имеют тенденцию быть гомоморфизмами алгебраических структур ; таким образом, такие карты включения являются вложениями . Точнее, если подструктура закрыта относительно некоторых операций, карта включения будет вложением по тавтологическим причинам. Например, для некоторой двоичной операции требуется, чтобы ${\displaystyle \star ,}$

$${\displaystyle \iota (x\star y)=\iota (x)\star \iota (y)}$$

унарной операциинулевыепостоянныйзамыкание ${\displaystyle \star }$

Карты включения встречаются в алгебраической топологии , где если — сильная деформация, ретракт карты включения дает изоморфизм между всеми гомотопическими группами (то есть это гомотопическая эквивалентность ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$

Карты включения в геометрии бывают разных видов: например , вложения подмногообразий . Контравариантные объекты (то есть объекты, имеющие обратные связи ; в более старой и несвязанной терминологии они называются ковариантными ), такие как дифференциальные формы , ограничиваются подмногообразиями, давая отображение в другом направлении . Другой пример, более сложный, — это аффинные схемы , для которых включения

$${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$

$${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I^{2}\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$

морфизмыкоммутативное кольцоидеал ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R.}$

Смотрите также

• Корасслоение  - непрерывное отображение топологических пространств.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Функция идентичности  . В математике функция, которая всегда возвращает то же значение, которое использовалось в качестве ее аргумента.

Рекомендации

1. Маклейн, С.; Биркгоф, Г. (1967). Алгебра . Провиденс, Род-Айленд: Издательство AMS Chelsea. п. 5. ISBN 0-8218-1646-2. Обратите внимание, что «вставка» — это функция S → U , а «включение» — отношение S ⊂ U ; каждое отношение включения порождает функцию вставки.
2. «Стрелки – Юникод» (PDF) . Консорциум Юникод . Проверено 7 февраля 2017 г.
3. Шевалле, К. (1956). Основные понятия алгебры . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Academic Press. п. 1. ISBN 0-12-172050-0.