Встраивание Плюккера

В математике отображение Плюккера вкладывает грассманиан , элементы которого являются k -мерными подпространствами n -мерного векторного пространства V , действительными или комплексными, в проективное пространство , тем самым реализуя его как проективное алгебраическое многообразие . Точнее, отображение Плюккера вкладывается в проективизацию -й внешней степени . Изображение является алгебраическим, состоящим из пересечения ряда квадрик, определяемых соотношениями § Плюккера (см. ниже). ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$

Вложение Плюккера было впервые определено Юлиусом Плюккером в случае, когда он описывает линии в трехмерном пространстве (которые, как проективные линии в действительном проективном пространстве, соответствуют двумерным подпространствам четырехмерного векторного пространства). Образом этого вложения является квадрика Клейна в RP ⁵ . ${\displaystyle k=2,n=4}$

Герман Грассман обобщил вложение Плюккера на произвольные k и n . Однородные координаты образа грассманиана при вложении Плюккера относительно базиса во внешнем пространстве, соответствующего естественному базису в (где — базовое поле ), называются координатами Плюккера . ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$ ${\displaystyle V=K^{n}}$ ${\displaystyle K}$

Определение

Обозначая через -мерное векторное пространство над полем , а через Грассманиан -мерных подпространств , вложение Плюккера представляет собой отображение ι, определяемое соотношением ${\displaystyle V=K^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota \colon \mathbf {Gr} (k,V)&{}\rightarrow \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V),\\\iota \colon {\mathcal {W}}:=\operatorname {span} (w_{1},\ldots ,w_{k})&{}\mapsto [w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}],\end{aligned}}}$

где — базис для элемента , а — проективный класс эквивалентности элемента -й внешней степени . ${\displaystyle (w_{1},\dots ,w_{k})}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}\in \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle [w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}]}$ ${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$

Это вложение грассманиана в проективизацию . Изображение можно полностью охарактеризовать как пересечение ряда квадрик, квадрик Плюккера (см. ниже), которые выражаются однородными квадратичными соотношениями на координатах Плюккера (см. ниже), которые выводятся из линейной алгебры . ${\displaystyle \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$

Скобочное кольцо выглядит как кольцо полиномиальных функций на . ^[1] ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$

Отношения Плюккера

Изображение при вложении Плюккера удовлетворяет простому набору однородных квадратичных соотношений, обычно называемых соотношениями Плюккера , или соотношениями Грассмана–Плюккера , определяющими пересечение ряда квадрик в . Это показывает, что грассманиан вкладывается как алгебраическое подмногообразие и дает другой метод построения грассманиана. Чтобы сформулировать соотношения Грассмана–Плюккера, пусть будет -мерным подпространством, натянутым на базис, представленный векторами-столбцами . Пусть будет матрицей однородных координат, столбцы которой равны . Тогда класс эквивалентности всех таких матриц однородных координат, связанных друг с другом правым умножением на обратимую матрицу, может быть отождествлен с элементом . Для любой упорядоченной последовательности целых чисел пусть будет детерминантом матрицы, строки которой являются строками . Тогда, с точностью до проективизации, являются координатами Плюккера элемента , однородные координаты которого равны . Они являются линейными координатами образа под отображением Плюккера относительно стандартного базиса во внешнем пространстве . Изменение базиса, определяющего однородную координатную матрицу, просто изменяет координаты Плюккера на ненулевой масштабный коэффициент, равный определителю изменения базисной матрицы , и, следовательно, просто представляет класс проективной эквивалентности в . ${\displaystyle \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}\in \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W_{1},\dots ,W_{k}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W_{1},\dots ,W_{k}}$ ${\displaystyle [W]}$ ${\displaystyle Wg\sim W}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle g\in \mathbf {GL} (k,K)}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle (i_{1},\dots i_{k})}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \{W_{i_{1},\dots ,i_{k}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}\sim [W]\in \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \iota ({\mathcal {W}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}\in \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$

Для любых двух упорядоченных последовательностей:

${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k-1},\quad j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k+1}}$

положительных целых чисел справедливы следующие однородные уравнения, которые определяют образ при отображении Плюккера: ^[2] ${\displaystyle 1\leq i_{l},j_{m}\leq n}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

где обозначает последовательность с опущенным членом . Обычно их называют соотношениями Плюккера . ${\displaystyle j_{1},\dots ,{\hat {j}}_{l}\dots j_{k+1}}$ ${\displaystyle j_{1},\dots ,\dots j_{k+1}}$ ${\displaystyle j_{l}}$

Когда dim( V ) = 4 и k = 2 , мы получаем , простейший грассманиан, который не является проективным пространством, и вышеизложенное сводится к одному уравнению. Обозначая координаты через ${\displaystyle \mathbf {Gr} (2,V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{2}V}$

${\displaystyle W_{ij}=-W_{ji},\quad 1\leq i,j\leq 4,}$

изображение под отображением Плюккера определяется одним уравнением ${\displaystyle \mathbf {Gr} (2,V)}$

${\displaystyle W_{12}W_{34}-W_{13}W_{24}+W_{14}W_{23}=0.}$

В общем случае для определения образа вложения Плюккера требуется гораздо больше уравнений, как в ( 1 ), но они, в общем случае, не являются алгебраически независимыми . Максимальное число алгебраически независимых отношений (на открытых множествах Зарисского) задается разностью размерностей между и , которая равна ${\displaystyle \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}-k(n-k)-1.}$

Ссылки

1. Бьёрнер, Андерс ; Лас Верньяс, Мишель ; Штурмфельс, Бернд ; Уайт, Нил; Циглер, Гюнтер (1999), Ориентированные матроиды , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 46 (2-е изд.), Cambridge University Press , стр. 79, doi :10.1017/CBO9780511586507, ISBN 0-521-77750-X, ЗБЛ  0944.52006
2. Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Classics Library (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. 211, ISBN 0-471-05059-8, MR  1288523, Zbl  0836.14001

Дальнейшее чтение

• Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005). Комбинаторная коммутативная алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Том. 227. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-23707-0. Збл  1090.13001.