Вложенные интервалы

4 члена последовательности вложенных интервалов

В математике последовательность вложенных интервалов можно интуитивно понимать как упорядоченный набор интервалов на прямой числовой линии с натуральными числами в качестве индекса. Чтобы последовательность интервалов считалась вложенными интервалами, должны быть выполнены два условия: ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$

1. Каждый интервал последовательности содержится в предыдущем ( всегда является подмножеством ). ${\displaystyle I_{n+1}}$ ${\displaystyle I_{n}}$
2. Длина интервалов становится сколь угодно малой (это означает, что длина падает ниже каждого возможного порога после определенного индекса ). ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$

Другими словами, левая граница интервала может только увеличиваться ( ), а правая граница может только уменьшаться ( ). ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n+1}\leq b_{n}}$

Исторически — задолго до того, как в учебниках были определены вложенные интервалы — люди неявно создавали такие вложения для конкретных целей вычислений. Например, древние вавилоняне открыли метод вычисления квадратных корней чисел. Напротив, знаменитый Архимед построил последовательность многоугольников, которые вписывали и описывали единичную окружность , чтобы получить нижнюю и верхнюю границу длины окружности, которая равна числу окружности Pi ( ). ${\displaystyle \pi }$

Центральный вопрос, который необходимо поставить, — это природа пересечения всех натуральных чисел или, другими словами, множества чисел, которые встречаются в каждом Интервале (т. е. для всех ). В современной математике вложенные интервалы используются как метод построения действительных чисел (для пополнения поля рациональных чисел) . ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Историческая мотивация

Как сказано во введении, исторические пользователи математики обнаружили вложенность интервалов и тесно связанные алгоритмы как методы конкретных вычислений. Здесь будут представлены некоторые вариации и современные интерпретации этих древних техник:

Вычисление квадратных корней

Пытаясь найти квадратный корень числа , можно быть уверенным, что , что дает первый интервал , в котором необходимо найти. Если известен следующий более высокий совершенный квадрат , можно получить еще лучшего кандидата для первого интервала: . ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle 1\leq {\sqrt {x}}\leq x}$ ${\displaystyle I_{1}=[1,x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k^{2}>x}$ ${\displaystyle I_{1}=[1,k]}$

Остальные интервалы теперь можно определить рекурсивно , просматривая последовательность средних точек . Учитывая, что интервал уже известен (начиная с ), можно определить ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}],n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m_{n}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle I_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}\left[m_{n},b_{n}\right]&&{\text{if}}\;\;m_{n}^{2}\leq x\\\left[a_{n},m_{n}\right]&&{\text{if}}\;\;m_{n}^{2}>x\end{matrix}}\right.}$

Проще говоря, можно сравнить среднюю точку с , чтобы определить, меньше или больше средняя точка, чем . Если средняя точка меньше, ее можно установить как нижнюю границу следующего интервала , а если середина больше, ее можно установить как верхнюю границу следующего интервала. Это гарантирует это . При такой конструкции интервалы вложены друг в друга, а их длина уменьшается вдвое на каждом шаге рекурсии. Следовательно, можно получить нижние и верхние оценки с сколь угодно хорошей точностью (при достаточном вычислительном времени). ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle I_{n+1}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}\in I_{n+1}}$ ${\displaystyle |I_{n}|}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

Можно также вычислить , когда . В этом случае алгоритм можно использовать, устанавливая и вычисляя обратную величину после достижения желаемого уровня точности. ${\displaystyle {\sqrt {y}}}$ ${\displaystyle 0<y<1}$ ${\displaystyle 1/y>1}$ ${\displaystyle x:=1/y}$

Пример

Чтобы продемонстрировать этот алгоритм, приведем пример того, как его можно использовать для нахождения значения . Обратите внимание, что поскольку , первый интервал алгоритма можно определить как , поскольку он обязательно должен находиться внутри этого интервала. Таким образом, используя этот интервал, можно перейти к следующему шагу алгоритма, вычислив середину интервала, определив, больше или меньше 19 квадрат средней точки, и соответствующим образом установив границы следующего интервала перед повторением. процесс: ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$ ${\displaystyle 1^{2}<19<5^{2}}$ ${\displaystyle I_{1}:=[1,5]}$ ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&={\dfrac {1+5}{2}}=3&&\Rightarrow \;m_{1}^{2}=9\leq 19&&\Rightarrow \;I_{2}=[3,5]\\m_{2}&={\dfrac {3+5}{2}}=4&&\Rightarrow \;m_{2}^{2}=16\leq 19&&\Rightarrow \;I_{3}=[4,5]\\m_{3}&={\dfrac {4+5}{2}}=4.5&&\Rightarrow \;m_{3}^{2}=20.25>19&&\Rightarrow \;I_{4}=[4,4.5]\\m_{4}&={\dfrac {4+4.5}{2}}=4.25&&\Rightarrow \;m_{4}^{2}=18.0625\leq 19&&\Rightarrow \;I_{5}=[4.25,4.5]\\m_{5}&={\dfrac {4.25+4.5}{2}}=4.375&&\Rightarrow \;m_{5}^{2}=19.140625>19&&\Rightarrow \;I_{5}=[4.25,4.375]\\&\vdots &&\end{aligned}}}$

Каждый раз, когда вычисляется новая средняя точка, диапазон возможных значений может сужаться так, чтобы значения, оставшиеся в пределах интервала, были все ближе и ближе к фактическому значению . То есть каждое последовательное изменение границ интервала, в пределах которого должно лежать, позволяет оценить значение с большей точностью либо за счет увеличения нижних границ интервала, либо за счет уменьшения верхних границ интервала. ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {19}}=4.35889894\dots }$ ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$

Эту процедуру можно повторять столько раз, сколько необходимо для достижения желаемого уровня точности. Теоретически, повторяя шаги бесконечно, можно получить истинное значение этого квадратного корня.

Метод цапли

Вавилонский метод использует еще более эффективный алгоритм, который дает точные аппроксимации еще быстрее . Современное описание с использованием вложенных интервалов похоже на приведенный выше алгоритм, но вместо использования последовательности средних точек используется последовательность, заданная формулой ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle c_{n+1}:={\frac {1}{2}}\cdot \left(c_{n}+{\frac {x}{c_{n}}}\right)}$.

В результате получается последовательность интервалов, заданная и , где , обеспечит точные верхние и нижние границы для очень быстрой скорости. На практике следует учитывать только то, что сходится к (как, конечно, и нижняя граница интервала). Этот алгоритм является частным случаем метода Ньютона . ${\displaystyle I_{n+1}:=\left[{\frac {x}{c_{n}}},c_{n}\right]}$ ${\displaystyle I_{1}=[0,k]}$ ${\displaystyle k^{2}>x}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

Измерение круга Архимеда

π можно оценить, вычислив периметры описанного и вписанного многоугольников.

Как показано на изображении, нижнюю и верхнюю границы окружности можно получить с помощью вписанных и описанных правильных многоугольников. При рассмотрении круга диаметром длина окружности (по определению числа Пи) равна номеру круга . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \pi }$

Около 250 г. до н. э. Архимед Сиракузский начал с правильных шестиугольников , длину сторон которых (и, следовательно, окружность) можно вычислить непосредственно из диаметра круга. Кроме того, можно найти способ вычислить длину стороны правильного -угольника по предыдущему -угольнику, начиная с правильного шестиугольника ( -угольника). Последовательно удваивая количество ребер, пока не достигнет 96-стороннего многоугольника, Архимед достиг интервала с . Верхняя граница до сих пор часто используется как грубое, но прагматичное приближение . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle {\tfrac {223}{71}}<\pi <{\tfrac {22}{7}}}$ ${\displaystyle 22/7\approx 3.143}$ ${\displaystyle \pi }$

Примерно в 1600 году нашей эры метод Архимеда все еще был золотым стандартом для расчета числа Пи и использовался голландским математиком Людольфом ван Сеуленом для вычисления более тридцати цифр числа , что заняло у него десятилетия. Вскоре после этого были найдены более мощные методы вычислений. ${\displaystyle \pi }$

Другие реализации

Раннее использование последовательностей вложенных интервалов (или их можно описать как таковые с помощью современной математики) можно найти у предшественников исчисления ( дифференциации и интегрирования ) . В информатике последовательности вложенных интервалов используются в алгоритмах численных вычислений. Т.е. метод бисекции можно использовать для вычисления корней непрерывных функций . В отличие от математически бесконечных последовательностей, прикладной вычислительный алгоритм завершается в какой-то момент, когда искомый ноль найден или достаточно хорошо аппроксимирован .

Построение действительных чисел

В математическом анализе вложенные интервалы обеспечивают один из методов аксиоматического введения действительных чисел как пополнения рациональных чисел , что необходимо для обсуждения понятий непрерывности и дифференцируемости . Исторически открытие дифференциального и интегрального исчисления, сделанное Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем в конце 1600-х годов, поставило перед математиками огромную задачу, пытающуюся строго доказать свои методы; несмотря на их успехи в физике , технике и других науках. Аксиоматическое описание вложенных интервалов (или эквивалентная аксиома) стало важной основой современного понимания исчисления.

В контексте этой статьи в сочетании с и является архимедовым упорядоченным полем , что означает аксиомы порядка и сохранение архимедова свойства . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cdot }$

Определение [1]

Пусть – последовательность интервалов типа , где обозначает длину такого интервала. Можно вызвать последовательность вложенных интервалов , если ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$ ${\displaystyle |I_{n}|:=b_{n}-a_{n}}$ ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

1. ${\displaystyle \quad \forall n\in \mathbb {N} :\;\;I_{n+1}\subseteq I_{n}}$
2. ${\displaystyle \quad \forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} :\;\;|I_{N}|<\varepsilon }$.

Проще говоря, свойство 1 означает, что интервалы вложены в соответствии с их индексом. Второе свойство формализует представление о том, что размеры интервалов становятся сколь угодно малыми; это означает, что для произвольной константы всегда можно найти интервал (с индексом ) длиной строго меньшей, чем это число . Также стоит отметить, что из свойства 1 сразу следует, что каждый интервал с индексом также должен иметь длину . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |I_{n}|<\varepsilon }$

Примечание

Обратите внимание, что некоторые авторы называют такие интервальные последовательности, удовлетворяющие обоим свойствам, указанным выше, сокращением вложенных интервалов . В этом случае последовательность вложенных интервалов относится к последовательности, которая удовлетворяет только свойству 1.

Аксиома полноты

Если это последовательность вложенных интервалов, всегда существует действительное число, содержащееся в каждом интервале . В формальных обозначениях эта аксиома гарантирует, что ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{n}}$

${\displaystyle \exists x\in \mathbb {R} :\;x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$.

Теорема

Пересечение каждой последовательности вложенных интервалов содержит ровно одно действительное число . ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x}$

Доказательство: Это утверждение легко проверить от противного. Предположим, что существуют два разных числа . Отсюда следует, что они отличаются на. Поскольку оба числа должны содержаться в каждом интервале, то для всех . Это противоречит свойству 2 из определения вложенных интервалов; следовательно, пересечение может содержать не более одного числа . Аксиома полноты гарантирует, что такое действительное число существует. ${\displaystyle x,y\in \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle |x-y|>0.}$ ${\displaystyle |I_{n}|\geq |x-y|}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \;\square }$

Примечания

• Эта аксиома является фундаментальной в том смысле, что последовательность вложенных интервалов не обязательно содержит рациональное число, что означает, что оно может дать , если только рассматривать рациональные числа. ${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ ${\displaystyle \emptyset }$
• Аксиома эквивалентна существованию нижней и верхней граней (доказательство ниже), сходимости последовательностей Коши и теореме Больцано-Вейерштрасса . Это означает, что одно из четырех необходимо ввести аксиоматически, а остальные три можно последовательно доказать.

Прямые следствия аксиомы

Наличие корней

Обобщая алгоритм, показанный выше для квадратных корней, можно доказать, что в действительных числах уравнение всегда можно решить относительно . Это означает, что существует уникальное действительное число такое, что . По сравнению с приведенным выше разделом, можно получить последовательность вложенных интервалов для -го корня из , а именно , проверив, является ли средняя точка -го интервала ниже, равна или больше, чем . ${\displaystyle x=y^{j},\;j\in \mathbb {N} ,x>0}$ ${\displaystyle y={\sqrt[{j}]{x}}=x^{1/j}}$ ${\displaystyle y>0}$ ${\displaystyle x=y^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m_{n}^{k}}$

Существование нижней и верхней границ в ограниченных множествах.

Определение

Если имеет верхнюю границу, т.е. существует число такое, что для всех можно назвать число супремумом , если ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x\leq b}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle s=\sup(A)}$ ${\displaystyle A}$

1. число является верхней границей , что означает ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall x\in A:\;x\leq s}$
2. ${\displaystyle s}$является наименьшей верхней границей , что означает ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall \sigma <s:\;\exists x\in A:\;x>\sigma }$

Такое число может существовать только одно . Аналогично можно определить нижнюю границу ( ) множества , ограниченного снизу, как максимальную нижнюю границу этого множества. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \inf(B)}$ ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$

Теорема

Каждое множество имеет верхнюю грань (нижнюю грань), если оно ограничено сверху (снизу). ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$

Доказательство. Без ограничения общности можно рассмотреть множество , имеющее верхнюю границу. Теперь можно построить последовательность вложенных интервалов , которая имеет следующие два свойства: ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$

1. ${\displaystyle b_{n}}$является верхней границей для всех ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. ${\displaystyle a_{n}}$никогда не является верхней границей для любого . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Конструкция следует рекурсии, начиная с любого числа , которое не является верхней границей (например , где и произвольная верхняя граница ) . Учитывая , что кто-то может вычислить среднюю точку и определить ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{1}=c-1}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m_{n}:={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}}$

${\displaystyle I_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}\left[a_{n},m_{n}\right]&&{\text{if}}\;m_{n}\;{\text{is an upper bound of}}\;A\\\left[m_{n},b_{n}\right]&&{\text{if}}\;m_{n}\;{\text{is not an upper bound}}\end{matrix}}\right.}$

Обратите внимание, что эта последовательность интервалов четко определена и, очевидно, по построению является последовательностью вложенных интервалов.

Теперь пусть – число в каждом интервале (существование которого гарантирует аксиома). является верхней границей , иначе существует число такое, что . Кроме того, это означало бы существование интервала с , из которого следует, поскольку он также является элементом . Но это противоречит свойству 1 супремума (имеется в виду для всех ). Поэтому на самом деле это верхняя граница . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x>s}$ ${\displaystyle I_{m}=[a_{m},b_{m}]}$ ${\displaystyle b_{m}-a_{m}<x-s}$ ${\displaystyle b_{m}-s<x-s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle I_{m}}$ ${\displaystyle b_{m}<s}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$

Предположим, что существует нижняя верхняя граница . Поскольку это последовательность вложенных интервалов, длина интервалов становится сколь угодно малой; в частности, существует интервал длиной меньше . Но от одного получает и поэтому . Следуя правилам этой конструкции, должна была бы быть верхняя граница , что противоречит свойству 2 всех последовательностей вложенных интервалов. ${\displaystyle \sigma <s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle s-\sigma }$ ${\displaystyle s\in I_{n}}$ ${\displaystyle s-a_{n}<s-\sigma }$ ${\displaystyle a_{n}>\sigma }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle A}$

В два этапа было показано, что это верхняя граница , а нижняя верхняя граница не может существовать. Следовательно , это супремум по определению. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$

Примечание

Как было видно, существование верхних и нижних границ ограниченных множеств является следствием полноты . По сути, эти два понятия фактически эквивалентны, а это означает, что любой из них может быть введен аксиоматически. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Доказательство. Пусть с — последовательность вложенных интервалов. Тогда множество ограничено сверху, где каждое является верхней границей. Это означает, что наименьшая верхняя граница выполняется для всех . Поэтому для всех соответственно . ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$ ${\displaystyle A:=\{a_{1},a_{2},\dots \}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle s=\sup(A)}$ ${\displaystyle a_{n}\leq s\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s\in I_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s\in \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$

Дальнейшие последствия

После формального определения сходимости последовательностей и точек накопления последовательностей можно также доказать теорему Больцано-Вейерштрасса, используя вложенные интервалы. В дальнейшем можно доказать тот факт, что последовательности Коши сходятся (и что все сходящиеся последовательности являются последовательностями Коши). Это, в свою очередь, позволяет доказать указанное выше свойство полноты, показав их эквивалентность.

Дальнейшее обсуждение связанных аспектов

Не уточняя, что подразумевается под интервалом, все, что можно сказать о пересечении всех натуральных чисел (т. е. множества всех точек, общих для каждого интервала), — это то, что это либо пустое множество , либо точка на числовой прямой (называемая синглтон ) или некоторый интервал . ${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \{x\}}$

Возможность пустого пересечения можно проиллюстрировать, рассмотрев последовательность открытых интервалов . ${\displaystyle I_{n}=\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\left\{x\in \mathbb {R} :0<x<{\frac {1}{n}}\right\}}$

В этом случае в результате пересечения образуется пустое множество . Этот результат обусловлен тем фактом, что для любого числа существует некоторое значение (а именно любое ), такое что . Это определяется архимедовым свойством действительных чисел. Следовательно, независимо от того, насколько мала , всегда можно найти интервалы в последовательности, из чего следует, что пересечение должно быть пустым. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n>1/x}$ ${\displaystyle 1/n<x}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle x\notin I_{n},}$

Иная ситуация для закрытых интервалов . Если изменить приведенную выше ситуацию, взглянув на замкнутые интервалы типа , то можно увидеть это очень ясно. Теперь для каждого еще всегда можно найти интервалы, не содержащие указанного , но для , свойство справедливо для любого . Можно сделать вывод, что в данном случае . ${\displaystyle I_{n}=\left[0,{\frac {1}{n}}\right]=\left\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\right\}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 1/n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=\{0\}}$

Можно также рассмотреть дополнение каждого интервала, записанное как - что в нашем последнем примере равно . По законам де Моргана дополнение пересечения представляет собой объединение двух непересекающихся открытых множеств . По связности реальной линии между ними должно быть что-то. Это показывает, что пересечение (даже несчетного числа) вложенных, замкнутых и ограниченных интервалов непусто. ${\displaystyle (-\infty ,a_{n})\cup (b_{n},\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (1/n,\infty )}$

Высшие измерения

В двух измерениях аналогичный результат: вложенные в плоскость замкнутые диски должны иметь общее пересечение. Этот результат был показан Германом Вейлем для классификации сингулярного поведения некоторых дифференциальных уравнений .

Смотрите также

• деление пополам
• Теорема Кантора о пересечении

Рекомендации

1. Кенигсбергер, Конрад (2004). Анализ 1 . Спрингер. п. 11. ISBN 354040371X.

• Фриди, Дж. А. (2000), «3.3 Теорема о вложенных интервалах», Вводный анализ: теория исчисления, Academic Press, стр. 29, ISBN 9780122676550.
• Шилов, Георгий Э. (2012), «1.8 Принцип вложенных интервалов», Элементарный вещественный и комплексный анализ, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 21–22, ISBN 9780486135007.
• Сохраб, Хоушанг Х. (2003), «Теорема 2.1.5 (теорема о вложенных интервалах)», Basic Real Analysis, Springer, стр. 45, ISBN 9780817642112.
• Кенигсбергер, Конрад (2003), «2.3 Die Vollständigkeit von R (полнота действительных чисел)», Анализ 1, 6. Auflage (6-е издание), Springer-Lehrbuch, Springer, стр. 10–15, номер домена : 10.1007/978-3-642-18490-1, ISBN 9783642184901