На оболочке и вне оболочки

Конфигурации системы, которые удовлетворяют или не удовлетворяют классическим уравнениям движения.

В физике , особенно в квантовой теории поля , конфигурации физической системы, удовлетворяющие классическим уравнениям движения, называются массовой оболочкой ( onshell ); а те, кто этого не делает, вызываются из массовой оболочки ( вне оболочки ).

В квантовой теории поля виртуальные частицы называются внеоболочными, потому что они не удовлетворяют соотношению энергия-импульс ; реальные обменные частицы действительно удовлетворяют этому соотношению и называются массовыми оболочками. ^{[1] [2] [3]} Например, в классической механике в формулировке действия экстремальные решения вариационного принципа находятся на оболочке, а уравнения Эйлера – Лагранжа дают уравнения на оболочке. Теорема Нётер о дифференцируемых симметриях физических действий и законов сохранения - еще одна теорема о оболочке.

Массовая оболочка

Точки на поверхности гиперболоида («оболочка») являются решениями уравнения.

Массовая оболочка является синонимом массового гиперболоида , означающего гиперболоид в пространстве энергии - импульса , описывающий решения уравнения:

${\displaystyle E^{2}-|{\vec {p}}\,|^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$,

формула эквивалентности массы и энергии , которая дает энергию через импульс и массу покоя частицы. Уравнение массовой оболочки также часто записывают в терминах четырехимпульса ; в обозначениях Эйнштейна с метрической сигнатурой (+,−,−,−) и единицами измерения, где скорость света , как . В литературе также можно встретить, если используется метрическая сигнатура (−,+,+,+). ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }\equiv p^{2}=m_{0}^{2}}$ ${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }=-m_{0}^{2}}$

Четырехимпульс обмененной виртуальной частицы равен , с массой . Четырехимпульс виртуальной частицы — это разница между четырьмя импульсами входящей и выходящей частиц. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q_{\mu }}$ ${\displaystyle q^{2}=m_{X}^{2}}$ ${\displaystyle q_{\mu }}$

Виртуальным частицам, соответствующим внутренним распространителям на диаграмме Фейнмана, обычно разрешается находиться вне оболочки, но амплитуда этого процесса будет уменьшаться в зависимости от того, насколько далеко они находятся от оболочки. ^[4] Это связано с тем, что -зависимость пропагатора определяется четырехимпульсами входящих и выходящих частиц. Пропагатор обычно имеет особенности на массовой оболочке. ^[5] ${\displaystyle q^{2}}$

Говоря о пропагаторе, отрицательные значения энергии частицы, удовлетворяющие уравнению, считаются находящимися на оболочке, хотя классическая теория не допускает отрицательных значений энергии частицы. Это связано с тем, что пропагатор включает в одно выражение случаи, когда частица переносит энергию в одном направлении, а ее античастица переносит энергию в другом направлении; отрицательная и положительная на оболочке тогда просто представляют собой противоположные потоки положительной энергии. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Скалярное поле

Примером может служить рассмотрение скалярного поля в D -мерном пространстве Минковского . Рассмотрим лагранжеву плотность , заданную выражением . Действие​ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$

${\displaystyle S=\int d^{D}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$

Уравнение Эйлера-Лагранжа для этого действия можно найти, варьируя поле и его производную и приравнивая вариацию к нулю , и оно имеет вид:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}}$

Теперь рассмотрим бесконечно малый сдвиг пространства-времени . Плотность Лагранжа является скаляром и поэтому будет бесконечно малым преобразованием, как и при бесконечно малом преобразовании. С другой стороны, согласно разложению Тейлора , мы, вообще говоря, имеем ${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )}$

Подставляя и отмечая, что (поскольку вариации независимы в каждой точке пространства-времени): ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \delta (\partial _{\mu }\phi )=\partial _{\mu }(\delta \phi )}$

${\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Поскольку это справедливо для независимых переводов , мы можем «разделить» и написать: ${\displaystyle \alpha ^{\mu }=(\epsilon ,0,...,0),(0,\epsilon ,...,0),...}$ ${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Это пример уравнения, которое выдерживает Shell , поскольку оно верно для любой конфигурации полей независимо от того, соблюдается ли оно уравнениями движения (в данном случае уравнением Эйлера-Лагранжа, приведенным выше). Однако мы можем получить уравнение на оболочке , просто подставив уравнение Эйлера – Лагранжа:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Мы можем написать это как:

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0}$

И если мы определим количество в скобках как , мы получим: ${\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0}$

Это пример теоремы Нётер. Здесь сохраняющейся величиной является тензор энергии-импульса , который сохраняется только на оболочке, то есть если выполняются уравнения движения.

Рекомендации

1. Томсон, М. (2013). Современная физика элементарных частиц . Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1107034266 , стр. 117–119.
2. Качазо, Фредди (21 декабря 2012 г.). «Более глубокое погружение: на ракушке и за ее пределами». Периметр Института теоретической физики .
3. Аркани-Хамед, Н. (21 декабря 2012 г.). «Амплитуды рассеяния и положительный грассманиан». arXiv : 1212.5605 [геп-й].
4. Джагер, Грегг (2019). «Являются ли виртуальные частицы менее реальными?» (PDF) . Энтропия . 21 (2): 141. Бибкод : 2019Entrp..21..141J. дои : 10.3390/e21020141 . ПМЦ 7514619 . ПМИД  33266857. 
5. Томсон, М. (2013). Современная физика элементарных частиц . Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-1107034266 , стр. 119.