Дифференциальный идеал

В теории дифференциальных форм дифференциальный идеал I — это алгебраический идеал в кольце гладких дифференциальных форм на гладком многообразии , другими словами, градуированный идеал в смысле теории колец , который далее замкнут относительно внешнего дифференцирования d , что означает, что для любой формы α из I внешняя производная d α также принадлежит I.

В теории дифференциальной алгебры дифференциальный идеал I в дифференциальном кольце R — это идеал, который отображается в себя каждым дифференциальным оператором.

Внешние дифференциальные системы и уравнения в частных производных

Внешняя дифференциальная система состоит из гладкого многообразия и дифференциального идеала ${\displaystyle M}$

${\displaystyle I\subset \Omega ^{*}(M)}$.

Интегральное многообразие внешней дифференциальной системы состоит из подмногообразия, обладающего тем свойством, что образ всех дифференциальных форм, содержащихся в , тождественно равен нулю. ${\displaystyle (M,I)}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle I}$

Можно выразить любую систему частных дифференциальных уравнений как внешнюю дифференциальную систему с условием независимости. Предположим, что у нас есть система частных дифференциальных уравнений k -го порядка для отображений , заданная как ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle F^{r}\left(x,u,{\frac {\partial ^{|I|}u}{\partial x^{I}}}\right)=0,\quad 1\leq |I|\leq k}$.

График -струи любого решения этой системы уравнений в частных производных является подмногообразием пространства струй и является интегральным многообразием контактной системы на расслоении -струй. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (u^{a},p_{i}^{a},\dots ,p_{I}^{a})=(u^{a}(x),{\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{i}}},\dots ,{\frac {\partial ^{|I|}u}{\partial x^{I}}})_{1\leq |I|\leq k}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle du^{a}-p_{i}^{a}dx^{i},\dots ,dp_{I}^{a}-p_{Ij}^{p}dx^{j}{}_{1\leq |I|\leq k-1}}$ ${\displaystyle k}$

Эта идея позволяет анализировать свойства уравнений с частными производными методами дифференциальной геометрии. Например, мы можем применить теорему Картана–Кэлера к системе уравнений с частными производными, записав соответствующую внешнюю дифференциальную систему. Мы часто можем применять метод эквивалентности Картана к внешним дифференциальным системам для изучения их симметрий и инвариантов диффеоморфизма.

Совершенные дифференциальные идеалы

Дифференциальный идеал совершенен, если он обладает тем свойством, что если он содержит элемент , то он содержит любой элемент такой, что для некоторого . ${\displaystyle I\,}$ ${\displaystyle a\in I}$ ${\displaystyle b\in I}$ ${\displaystyle b^{n}=a}$ ${\displaystyle n>0\,}$

Ссылки

• Роберт Брайант , Филлип Гриффитс и Лукас Сю, К геометрии дифференциальных уравнений (файл DVI), в Geometry, Topology, & Physics, Conf. Proc. Lecture Notes Geom. Topology, под редакцией С.-Т. Яу, т. IV (1995), стр. 1–76, Internat. Press, Cambridge, MA
• Роберт Брайант , Шиинг-Шен Черн , Роберт Гарднер , Филип Гриффитс , Хуберт Гольдшмидт, Внешние дифференциальные системы , Springer--Verlag, Гейдельберг, 1991.
• Томас А. Айви, Дж. М. Ландсберг, Картан для начинающих . Дифференциальная геометрия с помощью подвижных рамок и внешних дифференциальных систем. Второе издание. Graduate Studies in Mathematics, 175. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2016.
• HW Raudenbush, Jr. "Ideal Theory and Algebraic Differential Equations", Transactions of the American Mathematical Society , Vol. 36, No. 2. (апрель 1934 г.), стр. 361–368. Стабильный URL:[1] doi :10.1090/S0002-9947-1934-1501748-1
• Дж. Ф. Ритт , Дифференциальная алгебра , Дувр, Нью-Йорк, 1950.