Выход(Фн)

Группа внешних автоморфизмов свободной группы от n образующих

В математике Out( F _n ) — это внешняя группа автоморфизмов свободной группы с n образующими . Эти группы находятся на универсальной стадии в геометрической теории групп , поскольку они действуют на множестве представлений с образующими любой конечно порожденной группы . ^[1] Несмотря на геометрические аналогии с общими линейными группами и группами классов отображений , их сложность обычно считается более сложной, что подстегнуло разработку новых методов в этой области. ${\displaystyle n}$

Определение

Пусть — свободная неабелева группа ранга . Множество внутренних автоморфизмов группы , т.е. автоморфизмов, полученных сопряжениями с помощью элемента группы , является нормальной подгруппой . Внешняя группа автоморфизмов группы — это фактор Элемент группы называется внешним классом. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {Inn} (F_{n})\triangleleft \mathrm {Aut} (F_{n})}$ ${\displaystyle F_{n}}$ $${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n}):=\mathrm {Aut} (F_{n})/\mathrm {Inn} (F_{n}).}$$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$

Отношения с другими группами

Линейные группы

Отображение абелианизации индуцирует гомоморфизм из в общую линейную группу , последняя является группой автоморфизмов . Это отображение на , создавая расширение группы , ${\displaystyle F_{n}\to \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$

${\displaystyle 1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1}$.

Ядром является группа Торелли . ${\displaystyle \mathrm {Tor} (F_{n})}$ ${\displaystyle F_{n}}$

Отображение является изоморфизмом . Для более высоких рангов это уже не так: группа Торелли содержит автоморфизм, фиксирующий два базисных элемента и умножающий оставшийся на коммутатор двух других. ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{2})\to \mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle F_{3}}$

Аут(Фн)

По определению, является расширением группы внутренних автоморфизмов посредством . Сама группа внутренних автоморфизмов является образом действия сопряжением , ядром которого является центр . Поскольку является тривиальным для , это дает короткую точную последовательность Для всех существуют вложения, полученные взятием внешнего класса расширения автоморфизма фиксации дополнительного генератора. Поэтому при изучении свойств, которые наследуются подгруппами и факторами, теории и по сути одинаковы. ${\displaystyle \mathrm {Aut} (F_{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {Inn} (F_{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$ ${\displaystyle Z(F_{n})}$ ${\displaystyle Z(F_{n})}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ $${\displaystyle 1\rightarrow F_{n}\rightarrow \mathrm {Aut} (F_{n})\rightarrow \mathrm {Out} (F_{n})\rightarrow 1.}$$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (F_{n})\longrightarrow \mathrm {Out} (F_{n+1})}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (F_{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$

Отображение групп классов поверхностей

Поскольку является фундаментальной группой букета из n окружностей , топологически может быть описана как группа классов отображений букета из n окружностей (в гомотопической категории ), по аналогии с группой классов отображений замкнутой поверхности , которая изоморфна внешней группе автоморфизмов фундаментальной группы этой поверхности. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$

Если задан любой конечный граф с фундаментальной группой , граф можно «утолщить» до поверхности с одним граничным компонентом, который втягивается на граф. Точная последовательность Бирмана дает отображение из группы классов отображения . Элементы , которые находятся в образе такого отображения, называются геометрическими. Такие внешние классы должны оставлять инвариантным циклическое слово, соответствующее границе, поэтому существует много негеометрических внешних классов. Обратное верно при некоторых предположениях о неприводимости, ^[2] обеспечивая геометрическую реализацию для внешних классов, фиксирующих класс сопряженности. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {MCG} (S)\longrightarrow \mathrm {Out} (F_{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$

Известные результаты

• Для , не является линейным, т.е. не имеет точного представления матрицами над полем (Formanek, Procesi, 1992); ^[3] ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$
• Для изопериметрическая функция является экспоненциальной (Хэтчер, Фогтманн, 1996); ^[4] ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$
• Альтернатива Титса справедлива в : каждая подгруппа либо виртуально разрешима , либо содержит свободную группу ранга 2 (Бествина, Фейн, Гендель, 2000); ^[5] ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$
• Каждая разрешимая подгруппа группы имеет конечно порождённую свободную абелеву подгруппу конечного индекса (Бествина, Фейн, Гендель, 2004); ^[6] ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$
• Для , все, за исключением конечного числа, морфизмы гомологии th-й степени , индуцированные последовательностью, являются изоморфизмами (Хэтчер и Фогтманн, 2004); ^[7] ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle \ldots \rightarrow \mathrm {Out} (F_{n-1})\rightarrow \mathrm {Out} (F_{n})\rightarrow \mathrm {Out} (F_{n+1})\rightarrow \ldots }$$
• Для имеет свойство Каждана (T) (Калуба, Новак, Озава, 2019 для ; Калуба, Киелак , Новак, 2021 для ); ^[8] ${\displaystyle n\geq 5}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$ ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle n\geq 6}$
• Действия на гиперболических комплексах, удовлетворяющие условиям ацикличности , были построены по аналогии с комплексами, подобными комплексу кривых для отображения групп классов. ^[9]

Космическое пространство

Out( F _n ) действует геометрически на клеточный комплекс, известный как внешнее пространство Каллера – Фогтмана , которое можно рассматривать как пространство Фрике-Тейхмюллера для букета окружностей .

Определение

Точка внешнего пространства по сути является -графом X, гомотопически эквивалентным букету из n окружностей вместе с определенным выбором свободного гомотопического класса гомотопической эквивалентности из X в букет из n окружностей. -граф - это просто взвешенный граф с весами в . Сумма всех весов должна быть 1, и все веса должны быть положительными. Чтобы избежать неоднозначности (и получить конечномерное пространство), требуется, чтобы валентность каждой вершины была не менее 3. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Более наглядный вид, избегающий гомотопической эквивалентности f , следующий. Мы можем зафиксировать отождествление фундаментальной группы букета из n окружностей со свободной группой в n переменных. Кроме того, мы можем выбрать максимальное дерево в X и выбрать для каждого оставшегося ребра направление. Теперь мы назначим каждому оставшемуся ребру e слово в следующим образом. Рассмотрим замкнутый путь, начинающийся с e и затем возвращающийся к началу координат e в максимальном дереве. Составляя этот путь с f, мы получаем замкнутый путь в букете из n окружностей и, следовательно, элемент в его фундаментальной группе . Этот элемент не является хорошо определенным; если мы заменим f свободной гомотопией, мы получим другой элемент. Оказывается, что эти два элемента сопряжены друг с другом, и, следовательно, мы можем выбрать единственный циклически приведенный элемент в этом классе сопряженности. Из этих данных можно восстановить свободный гомотопический тип f . Преимущество этого представления в том, что оно позволяет избежать дополнительного выбора f , а недостаток в том, что возникает дополнительная неоднозначность, поскольку необходимо выбрать максимальное дерево и ориентацию оставшихся ребер. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

Операция Out( F _n ) на внешнем пространстве определяется следующим образом. Каждый автоморфизм g из индуцирует самогомотопическую эквивалентность g′ букета из n окружностей. Композиция f с g′ дает желаемое действие. А в другой модели это просто применение g и придание полученному слову циклически сокращенного вида. ${\displaystyle F_{n}}$

Связь с функциями длины

Каждая точка во внешнем пространстве определяет уникальную функцию длины . Слово в определяет посредством выбранной гомотопической эквивалентности замкнутый путь в X . Длина слова тогда является минимальной длиной пути в свободном гомотопическом классе этого замкнутого пути. Такая функция длины постоянна на каждом классе сопряженности. Назначение определяет вложение внешнего пространства в некоторое бесконечномерное проективное пространство. ${\displaystyle l_{X}\colon F_{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle X\mapsto l_{X}}$

Симплициальная структура в космическом пространстве

Во второй модели открытый симплекс задается всеми теми -графами, которые имеют комбинаторно тот же базовый граф и те же ребра, помеченные теми же словами (только длина ребер может отличаться). Граничные симплексы такого симплекса состоят из всех графов, которые возникают из этого графа путем схлопывания ребра. Если это ребро является петлей, его нельзя схлопнуть, не изменив гомотопический тип графа. Следовательно, граничного симплекса нет. Поэтому можно рассматривать внешнее пространство как симплициальный комплекс с некоторыми удаленными симплексами. Легко проверить, что действие симплициально и имеет конечные группы изотропии. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$

Смотрите также

• Карта железнодорожных путей
• Группа автоморфизмов свободной группы
• Космическое пространство

Ссылки

1. Любоцкий, Александр (2011-12-15), Динамика действий Aut(Fn) в групповых презентациях и представлениях , arXiv : 1109.0155
2. Бествина, Младен; Гендель, Михаэль (1992). «Железнодорожные пути и автоморфизмы свободных групп». Annals of Mathematics . 135 (1): 1–51. doi :10.2307/2946562. ISSN  0003-486X. JSTOR  2946562.
3. Форманек, Эдвард; Прочези, Клаудио (1992-07-01). «Группа автоморфизмов свободной группы не линейна». Журнал алгебры . 149 (2): 494–499. doi :10.1016/0021-8693(92)90029-L. ISSN  0021-8693.
4. Хэтчер, Аллен; Фогтманн, Карен (1996-04-01). «Изопериметрические неравенства для групп автоморфизмов свободных групп». Pacific Journal of Mathematics . 173 (2): 425–441. ISSN  0030-8730.
5. Бествина, Младен; Фейн, Марк; Гендель, Майкл (2000). «Альтернатива Титса для out(Fn) I: Динамика экспоненциально растущих автоморфизмов». Annals of Mathematics . 151 (2): 517–623. arXiv : math/9712217 . doi :10.2307/121043. ISSN  0003-486X. JSTOR  121043.
6. Бествина, Младен; Фейн, Марк; Гендель, Михаэль (2004-03-01). «Разрешимые подгруппы Out(Fn) являются виртуально абелевыми». Geometriae Dedicata . 104 (1): 71–96. doi :10.1023/B:GEOM.0000022864.30278.34. ISSN  1572-9168.
7. Хэтчер, Аллен; Фогтманн, Карен (24.12.2004). «Устойчивость гомологии для групп внешних автоморфизмов свободных групп». Алгебраическая и геометрическая топология . 4 (2): 1253–1272. arXiv : math/0406377 . doi :10.2140/agt.2004.4.1253. ISSN  1472-2739.
8. Калуба, Марек; Киелак, Давид; Новак, Петр В. (2021-01-20), О свойстве (T) для $\operatorname{Aut}(F_n)$ и $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$, arXiv : 1812.03456 , получено 2024-10-13
9. Бествина, Младен (15.12.2023). «Группы, действующие на гиперболических пространствах — обзор». ems.press . Получено 13.10.2024 .

• Каллер, Марк ; Фогтманн, Карен (1986). «Модули графов и автоморфизмы свободных групп» (PDF) . Inventiones Mathematicae . 84 (1): 91–119. doi :10.1007/BF01388734. MR  0830040.
• Фогтманн, Карен (2002). «Автоморфизмы свободных групп и внешнего пространства» (PDF) . Geometriae Dedicata . 94 : 1–31. doi :10.1023/A:1020973910646. MR  1950871.
• Фогтманн, Карен (2008), «Что такое ... космическое пространство?» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 55 (7): 784–786, MR  2436509