Внутренняя энергия

Энергия, содержащаяся в системе

Внутренняя энергия термодинамической системы — это энергия , содержащаяся в ней, измеряемая как количество энергии, необходимое для того, чтобы привести систему из ее стандартного внутреннего состояния в нынешнее интересующее внутреннее состояние, с учетом прироста и потери энергии из-за изменений в его внутреннее состояние, включая такую ​​величину, как намагниченность . ^{[1] [2]} Он исключает кинетическую энергию движения системы в целом и потенциальную энергию положения системы в целом по отношению к ее окружению и внешним силовым полям. Она включает в себя тепловую энергию, т. е . кинетические энергии движения составляющих частиц относительно движения системы в целом. Внутренняя энергия изолированной системы не может измениться, как это выражено в законе сохранения энергии , являющемся основой первого закона термодинамики .

Внутреннюю энергию невозможно измерить абсолютно. Термодинамика касается изменений внутренней энергии, а не ее абсолютного значения. Процессы, которые изменяют внутреннюю энергию, представляют собой перенос в систему или из нее материи или энергии в виде тепла или термодинамической работы . ^[3] Эти процессы измеряются изменениями свойств системы, таких как температура, энтропия , объем, электрическая поляризация и молярный состав . Внутренняя энергия зависит только от внутреннего состояния системы, а не от конкретного выбора из многих возможных процессов, посредством которых энергия может переходить в систему или выходить из нее. Это переменная состояния , термодинамический потенциал и обширное свойство .

Термодинамика определяет внутреннюю энергию макроскопически для тела в целом. В статистической механике внутренняя энергия тела может быть проанализирована микроскопически с точки зрения кинетических энергий микроскопического движения частиц системы в результате поступаний , вращений и вибраций , а также потенциальных энергий, связанных с микроскопическими силами, включая химические связи .

Единицей энергии в Международной системе единиц (СИ) является джоуль (Дж). Внутренняя энергия относительно массы с единицей Дж/кг – это удельная внутренняя энергия . Соответствующей величиной относительно количества вещества с единицей Дж/ моль является молярная внутренняя энергия . ^[4]

Кардинальные функции

Внутренняя энергия системы зависит от ее энтропии S, объема V и числа массивных частиц: U ( S , V ,{ N _j }) . Он выражает термодинамику системы в энергетическом представлении . Как функция состояния , его аргументы являются исключительно экстенсивными переменными состояния. Наряду с внутренней энергией, другой кардинальной функцией состояния термодинамической системы является ее энтропия как функция S ( U , V ,{ N _j }) того же списка обширных переменных состояния, за исключением того, что энтропия, S заменяется в списке внутренней энергией U . Оно выражает представление энтропии . ^{[5] [6] [7]}

Каждая кардинальная функция является монотонной функцией каждой из своих натуральных или канонических переменных. Каждый из них предоставляет свое характеристическое или фундаментальное уравнение, например U = U ( S , V ,{ Nj }) , которое само по _себе содержит всю термодинамическую информацию о системе. Фундаментальные уравнения для двух кардинальных функций в принципе можно преобразовать друг в друга, решив, например, U = U ( S , V , { N _j }) для S , чтобы получить S = S ( U , V , { N _j }) .

Напротив, преобразования Лежандра необходимы для вывода фундаментальных уравнений для других термодинамических потенциалов и функций Массье . Энтропия как функция только обширных переменных состояния является единственной кардинальной функцией состояния для генерации функций Масье. Сама по себе она обычно не обозначается как «функция Масье», хотя рационально ее можно рассматривать как таковую, соответствующую термину «термодинамический потенциал», который включает внутреннюю энергию. ^{[6] [8] [9]}

Для реальных и практических систем почти всегда недоступны явные выражения основных уравнений, но функциональные соотношения в принципе существуют. Формальные в принципе манипуляции с ними ценны для понимания термодинамики.

Описание и определение

Внутренняя энергия данного состояния системы определяется относительно энергии стандартного состояния системы путем сложения макроскопических передач энергии, сопровождающих изменение состояния от исходного состояния к заданному: ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Delta U=\sum _{i}E_{i},}$

где обозначает разность внутренней энергии данного состояния и энергии исходного состояния, а – различные энергии, передаваемые системе на этапах от опорного состояния к данному состоянию. Это энергия, необходимая для создания данного состояния системы из исходного состояния. С нерелятивистской микроскопической точки зрения ее можно разделить на микроскопическую потенциальную энергию и микроскопическую кинетическую энергию, компоненты: ${\displaystyle \Delta U}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle U_{\text{micro,pot}}}$ ${\displaystyle U_{\text{micro,kin}}}$

${\displaystyle U=U_{\text{micro,pot}}+U_{\text{micro,kin}}.}$

Микроскопическая кинетическая энергия системы возникает как сумма движений всех частиц системы относительно системы центра масс, будь то движение атомов, молекул, атомных ядер, электронов или других частиц. Алгебраические суммарные компоненты микроскопической потенциальной энергии - это компоненты связей химических и ядерных частиц, а также полей физических сил внутри системы, например, из-за внутреннего индуцированного электрического или магнитного дипольного момента , а также энергии деформации твердых тел ( напряжение - напряжение ). Обычно разделение на микроскопическую кинетическую и потенциальную энергии выходит за рамки макроскопической термодинамики.

Внутренняя энергия не включает энергию, обусловленную движением или расположением системы в целом. Другими словами, он исключает любую кинетическую или потенциальную энергию, которую тело может иметь из-за своего движения или расположения во внешних гравитационных , электростатических или электромагнитных полях . Однако сюда входит вклад такого поля в энергию из-за связи внутренних степеней свободы объекта с полем. В таком случае поле включается в термодинамическое описание объекта в виде дополнительного внешнего параметра.

Для практических соображений в термодинамике или технике редко бывает необходимо, удобно и даже невозможно учитывать все энергии, принадлежащие полной внутренней энергии системы образца, например, энергию, определяемую эквивалентностью массы. Обычно описания включают только компоненты, относящиеся к исследуемой системе. Действительно, в большинстве рассматриваемых систем, особенно с помощью термодинамики, невозможно вычислить полную внутреннюю энергию. ^[10] Следовательно, для внутренней энергии можно выбрать удобную нулевую точку отсчета.

Внутренняя энергия — обширное свойство : она зависит от размера системы или от количества содержащегося в ней вещества .

При любой температуре выше абсолютного нуля микроскопическая потенциальная энергия и кинетическая энергия постоянно переходят друг в друга, но в изолированной системе их сумма остается постоянной (см. таблицу). В классической картине термодинамики кинетическая энергия исчезает при нулевой температуре, а внутренняя энергия представляет собой чисто потенциальную энергию. Однако квантовая механика продемонстрировала, что даже при нулевой температуре частицы сохраняют остаточную энергию движения, энергию нулевой точки . Система при абсолютном нуле находится просто в своем квантовомеханическом основном состоянии, состоянии с самой низкой доступной энергией. При абсолютном нуле система данного состава достигла минимально достижимой энтропии .

Часть внутренней энергии микроскопической кинетической энергии приводит к повышению температуры системы. Статистическая механика связывает псевдослучайную кинетическую энергию отдельных частиц со средней кинетической энергией всего ансамбля частиц, составляющих систему. Более того, он связывает среднюю микроскопическую кинетическую энергию с макроскопически наблюдаемым эмпирическим свойством, которое выражается как температура системы. Хотя температура является интенсивной мерой, эта энергия выражает концепцию как обширное свойство системы, часто называемое тепловой энергией , ^{[11] [12]} Свойством масштабирования между температурой и тепловой энергией является изменение энтропии системы.

Статистическая механика считает, что любая система статистически распределена по ансамблю микросостояний . В системе, находящейся в термодинамическом контактном равновесии с тепловым резервуаром, каждое микросостояние обладает энергией и связано с вероятностью . Внутренняя энергия представляет собой среднее значение полной энергии системы, т. е. сумму всех энергий микросостояний, каждое из которых взвешено по вероятности возникновения: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle U=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\,E_{i}.}$

Это статистическое выражение закона сохранения энергии .

Изменения внутренней энергии

Термодинамика в основном занимается изменениями внутренней энергии . ${\displaystyle \Delta U}$

Для закрытой системы, в которой исключен перенос вещества, изменения внутренней энергии происходят за счет теплопередачи и термодинамической работы , совершаемой системой над окружающей средой. ^{[примечание 1]} Соответственно, изменение внутренней энергии процесса можно записать ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \Delta U}$

$${\displaystyle \Delta U=Q-W\quad {\text{(closed system, no transfer of matter)}}.}$$

Когда закрытая система получает энергию в виде тепла, эта энергия увеличивает внутреннюю энергию. Она распределяется между микроскопическими кинетическими и микроскопическими потенциальными энергиями. В общем термодинамика не прослеживает такого распределения. В идеальном газе вся дополнительная энергия приводит к повышению температуры, поскольку она сохраняется исключительно в виде микроскопической кинетической энергии; такое нагревание считается разумным .

Второй вид механизма изменения внутренней энергии замкнутой системы заключается в совершении ею работы над окружающей средой. Такая работа может быть просто механической, например, когда система расширяется, приводя в движение поршень, или, например, когда система меняет свою электрическую поляризацию, чтобы вызвать изменение электрического поля в окружающей среде.

Если система не замкнута, то третьим механизмом увеличения внутренней энергии является перенос вещества в систему. Это увеличение не может быть разделено на теплоту и работу. ^[3] Если система физически устроена так, что передача тепла и работа, которую она совершает, осуществляются путями, отдельными и независимыми от переноса материи, то передача энергии добавляется к изменению внутренней энергии: ${\displaystyle \Delta U_{\mathrm {matter} }}$

$${\displaystyle \Delta U=Q-W+\Delta U_{\text{matter}}\quad {\text{(matter transfer pathway separate from heat and work transfer pathways)}}.}$$

Если система при нагревании претерпевает определенные фазовые превращения, такие как плавление и испарение, можно наблюдать, что температура системы не меняется до тех пор, пока весь образец не завершит превращение. Энергия, вносимая в систему при неизменной температуре, называется скрытой энергией или скрытой теплотой , в отличие от явного тепла, которое связано с изменением температуры.

Внутренняя энергия идеального газа

Термодинамика часто использует концепцию идеального газа в учебных целях и в качестве приближения для рабочих систем. Идеальный газ состоит из частиц, рассматриваемых как точечные объекты, которые взаимодействуют только посредством упругих столкновений и заполняют такой объем, что их длина свободного пробега между столкновениями намного превышает их диаметр. Такие системы приближаются к одноатомным газам, таким как гелий и другие благородные газы . Для идеального газа кинетическая энергия состоит только из энергии поступательного движения отдельных атомов. Одноатомные частицы не обладают вращательными или колебательными степенями свободы и не возбуждаются электронным способом до более высоких энергий, за исключением очень высоких температур .

Следовательно, внутренняя энергия идеального газа зависит исключительно от его температуры (и количества частиц газа): . Он не зависит от других термодинамических величин, таких как давление или плотность. ${\displaystyle U=U(N,T)}$

Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна его массе (числу молей) и температуре. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle U=c_{V}NT,}$

где – изохорная (при постоянном объеме) молярная теплоемкость газа; постоянна для идеального газа. Внутреннюю энергию любого газа (идеального или нет) можно записать как функцию трех обширных свойств , , (энтропии, объема, массы ). В случае идеального газа это происходит следующим образом ^[13] ${\displaystyle c_{V}}$ ${\displaystyle c_{V}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle U(S,V,N)=\mathrm {const} \cdot e^{\frac {S}{c_{V}N}}V^{\frac {-R}{c_{V}}}N^{\frac {R+c_{V}}{c_{V}}},}$

где – произвольная положительная константа и где – универсальная газовая постоянная . Легко видеть, что — линейно однородная функция трех переменных (т. е. она обширна по этим переменным) и слабо выпукла . Зная, что температура и давление являются производными, закон идеального газа сразу же следует следующим образом: ${\displaystyle \mathrm {const} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T={\frac {\partial U}{\partial S}},}$ ${\displaystyle P=-{\frac {\partial U}{\partial V}},}$ ${\displaystyle PV=NRT}$

${\displaystyle T={\frac {\partial U}{\partial S}}={\frac {U}{c_{V}N}}}$

${\displaystyle P=-{\frac {\partial U}{\partial V}}=U{\frac {R}{c_{V}V}}}$

${\displaystyle {\frac {P}{T}}={\frac {\frac {UR}{c_{V}V}}{\frac {U}{c_{V}N}}}={\frac {NR}{V}}}$

${\displaystyle PV=NRT}$

Внутренняя энергия замкнутой термодинамической системы

Приведенное выше суммирование всех компонентов изменения внутренней энергии предполагает, что положительная энергия обозначает тепло, добавленное к системе, или отрицательную работу, совершаемую системой с ее окружением. ^{[примечание 1]}

Это соотношение может быть выражено в бесконечно малых величинах с использованием дифференциалов каждого члена, хотя точным дифференциалом является только внутренняя энергия . ^{[14] : 33} Для закрытой системы, в которой передаются только тепло и работа, изменение внутренней энергии равно

${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q-\delta W,}$

выражающее первый закон термодинамики . Это может быть выражено через другие термодинамические параметры. Каждый термин состоит из интенсивной переменной (обобщенной силы) и сопряженной с ней бесконечно малой экстенсивной переменной (обобщенного смещения).

Например, механическая работа, совершаемая системой, может быть связана с изменением давления и объема . Давление представляет собой интенсивную обобщенную силу, тогда как изменение объема представляет собой обширное обобщенное смещение: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathrm {d} V}$

${\displaystyle \delta W=P\,\mathrm {d} V.}$

Это определяет направление работы, то есть передачу энергии от рабочей системы в окружающую среду, обозначенную положительным членом. ^{[примечание 1]} Если принять направление теплопередачи в рабочую жидкость и предположить обратимый процесс , то тепло будет ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \delta Q=T\mathrm {d} S,}$

где обозначает температуру , а обозначает энтропию . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

Изменение внутренней энергии становится

${\displaystyle \mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-P\,\mathrm {d} V.}$

Изменения из-за температуры и объема

Выражение, связывающее изменение внутренней энергии с изменениями температуры и объема, имеет вид

Это полезно, если известно уравнение состояния .

В случае идеального газа мы можем вывести это , т.е. внутреннюю энергию идеального газа можно записать как функцию, зависящую только от температуры. ${\displaystyle dU=C_{V}\,dT}$

Доказательство независимости идеального газа от давления.

Выражение, связывающее изменение внутренней энергии с изменениями температуры и объема, имеет вид

${\displaystyle \mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T+\left[T\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}-P\right]\mathrm {d} V.}$

Уравнение состояния – это закон идеального газа.

${\displaystyle PV=nRT.}$

Найдите давление:

${\displaystyle P={\frac {nRT}{V}}.}$

Подставим в выражение внутренней энергии:

${\displaystyle dU=C_{V}\mathrm {d} T+\left[T\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {nRT}{V}}\right]\mathrm {d} V.}$

Возьмем производную давления по температуре:

${\displaystyle \left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {nR}{V}}.}$

Заменять:

${\displaystyle dU=C_{V}\,\mathrm {d} T+\left[{\frac {nRT}{V}}-{\frac {nRT}{V}}\right]\mathrm {d} V.}$

И упростим:

${\displaystyle \mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T.}$

Вывод d U через d T и d V

Чтобы выразить через и , термин ${\displaystyle \mathrm {d} U}$ ${\displaystyle \mathrm {d} T}$ ${\displaystyle \mathrm {d} V}$

${\displaystyle \mathrm {d} S=\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}\mathrm {d} T+\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}\mathrm {d} V}$

подставляется в фундаментальное термодинамическое соотношение

${\displaystyle \mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-P\,\mathrm {d} V.}$

Это дает

${\displaystyle dU=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}\,dT+\left[T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-P\right]dV.}$

Этот термин представляет собой теплоемкость при постоянном объеме. ${\displaystyle T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}}$ ${\displaystyle C_{V}.}$

Частную производную по можно вычислить, если известно уравнение состояния. Из фундаментального термодинамического соотношения следует, что дифференциал свободной энергии Гельмгольца определяется выражением ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle dA=-S\,dT-P\,dV.}$

Симметрия вторых производных относительно и дает соотношение Максвелла : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}.}$

Это дает выражение выше.

Изменения из-за температуры и давления

При рассмотрении жидкостей или твердых тел обычно более полезно выражение через температуру и давление:

${\displaystyle dU=\left(C_{P}-\alpha PV\right)\,dT+\left(\beta _{T}P-\alpha T\right)V\,dP,}$

где предполагается, что теплоемкость при постоянном давлении связана с теплоемкостью при постоянном объеме по формуле

${\displaystyle C_{P}=C_{V}+VT{\frac {\alpha ^{2}}{\beta _{T}}}.}$

Вывод d U через d T и d P

Частную производную давления по температуре при постоянном объеме можно выразить через коэффициент теплового расширения.

${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}}$

и изотермическая сжимаемость

${\displaystyle \beta _{T}\equiv -{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}$

написав

и приравнивая d V к нулю и находя соотношение d P /d T . Это дает

Подстановка ( 2 ) и ( 3 ) в ( 1 ) дает приведенное выше выражение.

Изменения из-за объема при постоянной температуре

Внутреннее давление определяется как частная производная внутренней энергии по объему при постоянной температуре:

${\displaystyle \pi _{T}=\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}.}$

Внутренняя энергия многокомпонентных систем

Помимо включения энтропии и объема во внутреннюю энергию, система часто описывается также с точки зрения количества содержащихся в ней частиц или химических веществ: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle U=U(S,V,N_{1},\ldots ,N_{n}),}$

где – мольные количества компонентов данного типа в системе. Внутренняя энергия является экстенсивной функцией экстенсивных переменных , и величин , внутреннюю энергию можно записать как линейно однородную функцию первой степени: ^[15] ${\displaystyle N_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N_{j}}$

${\displaystyle U(\alpha S,\alpha V,\alpha N_{1},\alpha N_{2},\ldots )=\alpha U(S,V,N_{1},N_{2},\ldots ),}$

где – коэффициент, описывающий рост системы. Дифференциальную внутреннюю энергию можно записать как ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \mathrm {d} U={\frac {\partial U}{\partial S}}\mathrm {d} S+{\frac {\partial U}{\partial V}}\mathrm {d} V+\sum _{i}\ {\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\mathrm {d} N_{i}\ =T\,\mathrm {d} S-P\,\mathrm {d} V+\sum _{i}\mu _{i}\mathrm {d} N_{i},}$

который показывает (или определяет), что температура является частной производной по энтропии, а давление является отрицательным значением аналогичной производной по объему , ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle T={\frac {\partial U}{\partial S}},}$

${\displaystyle P=-{\frac {\partial U}{\partial V}},}$

и где коэффициенты представляют собой химические потенциалы для компонентов определенного типа в системе. Химические потенциалы определяются как частные производные внутренней энергии с учетом изменений состава: ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mu _{i}=\left({\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right)_{S,V,N_{j\neq i}}.}$

Как сопряженные переменные состава , химические потенциалы представляют собой интенсивные свойства , внутренне характерные для качественной природы системы и не пропорциональные ее протяженности. В условиях постоянного и из-за обширного характера и его независимых переменных, используя теорему Эйлера об однородной функции , дифференциал может быть проинтегрирован и дает выражение для внутренней энергии: ${\displaystyle \lbrace N_{j}\rbrace }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {d} U}$

${\displaystyle U=TS-PV+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}.}$

Сумма по составу системы представляет собой свободную энергию Гиббса :

${\displaystyle G=\sum _{i}\mu _{i}N_{i}}$

возникающее в результате изменения состава системы при постоянных температуре и давлении. Для однокомпонентной системы химический потенциал равен энергии Гиббса, приходящейся на количество вещества, т.е. частиц или молей согласно первоначальному определению единицы измерения . ${\displaystyle \lbrace N_{j}\rbrace }$

Внутренняя энергия в упругой среде

Для упругой среды механическая энергия внутренней энергии выражается через напряжение и деформацию , участвующие в упругих процессах. В обозначениях Эйнштейна для тензоров с суммированием по повторяющимся индексам для единицы объема утверждение о бесконечно малой величине имеет вид ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$

${\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S+\sigma _{ij}\mathrm {d} \varepsilon _{ij}.}$

Теорема Эйлера для внутренней энергии дает: ^[16]

${\displaystyle U=TS+{\frac {1}{2}}\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}.}$

Для линейно упругого материала напряжение связано с деформацией соотношением

${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\varepsilon _{kl},}$

где – компоненты тензора упругих постоянных среды четвертого ранга. ${\displaystyle C_{ijkl}}$

Упругие деформации, такие как звук , проходящий через тело, или другие формы макроскопического внутреннего возбуждения или турбулентного движения создают состояния, когда система не находится в термодинамическом равновесии. Пока такие энергии движения продолжаются, они вносят свой вклад в общую энергию системы; термодинамическая внутренняя энергия имеет место только тогда, когда такие движения прекратились.

История

Джеймс Джоуль изучал взаимосвязь между теплом, работой и температурой. Он заметил, что трение в жидкости, например, вызванное ее перемешиванием при работе лопастного колеса, вызывает повышение ее температуры, которое он описал как выделение определенного количества тепла . Выраженный в современных единицах, он обнаружил, что c. Для повышения температуры одного килограмма воды на один градус Цельсия понадобилось 4186 джоулей энергии. ^[17]

Примечания

1. В этой статье используется соглашение о знаках механической работы, которое часто определяют в технике, которое отличается от соглашения, используемого в физике и химии; в технике работа, совершаемая системой против окружающей среды, например расширение системы, считается положительной, а в физике и химии — отрицательной.

Смотрите также

• Калориметрия
• Энтальпия
• Эксергия
• Термодинамические уравнения
• Термодинамические потенциалы
• Свободная энергия Гиббса
• Свободная энергия Гельмгольца

Рекомендации

1. Кроуфорд, FH (1963), стр. 106–107.
2. Хаазе, Р. (1971), стр. 24–28.
3. Борн, М. (1949), Приложение 8, стр. 146–149.
4. Международный союз теоретической и прикладной химии. Отделение физической и биофизической химии (2007). Количества, единицы и символы в физической химии (PDF) (3-е изд.). Кембридж, Великобритания: RSC Pub. ISBN 978-1-84755-788-9. ОКЛК  232639283.
5. Tschoegl, NW (2000), стр. 17.
6. Каллен, HB (1960/1985), Глава 5.
7. Мюнстер, А. (1970), с. 6.
8. Мюнстер, А. (1970), Глава 3.
9. Бэйлин, М. (1994), стр. 206–209.
10. И. Клотц, Р. Розенберг, Химическая термодинамика - основные концепции и методы , 7-е изд., Wiley (2008), стр.39
11. Леланд, Т.В. младший, Мансури, Джорджия, стр. 15, 16.
12. Тепловая энергия - Гиперфизика.
13. ван Гул, В.; Брюггинк, JJC, ред. (1985). Энергия и время в экономических и физических науках . Северная Голландия. стр. 41–56. ISBN 978-0444877482.
14. Адкинс, CJ (Клемент Джон) (1983). Равновесная термодинамика (3-е изд.). Кембридж [Кембриджшир]: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-25445-0. ОСЛК  9132054.
15. Ландау, Лев Давидович; Лифшиц Евгений Михайлович; Питаевский Лев Петрович; Сайкс, Джон Брэдбери; Кирсли, MJ (1980). Статистическая физика . Оксфорд. п. 70. ИСБН 0-08-023039-3. ОСЛК  3932994.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
16. Ландау и Лифшиц 1986, с. 8.
17. Джоуль, JP (1850). «О механическом эквиваленте тепла». Философские труды Королевского общества . 140 : 61–82. дои : 10.1098/rstl.1850.0004. S2CID  186209447.

Библиография цитируемых ссылок

• Адкинс, CJ (1968/1975). Равновесная термодинамика , второе издание, McGraw-Hill, Лондон, ISBN 0-07-084057-1 . 
• Бейлин, М. (1994). Обзор термодинамики , Американский институт физики, Нью-Йорк, ISBN 0-88318-797-3 . 
• Борн, М. (1949). Естественная философия причины и шанса, Издательство Оксфордского университета, Лондон.
• Каллен, Х.Б. (1960/1985), Термодинамика и введение в термостатистику (первое издание 1960 г.), второе издание 1985 г., John Wiley & Sons, Нью-Йорк, ISBN 0-471-86256-8 . 
• Кроуфорд, ФРГ (1963). Тепло, термодинамика и статистическая физика , Руперт Харт-Дэвис, Лондон, Harcourt, Brace & World, Inc.
• Хаазе, Р. (1971). Обзор фундаментальных законов, глава 1 «Термодинамики» , страницы 1–97 тома 1, изд. В. Йост, физическая химия. Продвинутый трактат , изд. Х. Айринг, Д. Хендерсон, В. Йост, Academic Press, Нью-Йорк, lcn 73–117081.
• Томас В. Леланд младший, Г. А. Мансури (редактор), Основные принципы классической и статистической термодинамики (PDF).
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1986). Теория упругости (Курс теоретической физики том 7) . (Перевод с русского Дж. Б. Сайкса и У. Х. Рида) (Третье изд.). Бостон, Массачусетс: Баттерворт Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-2633-0.
• Мюнстер, А. (1970), Классическая термодинамика, перевод Э.С. Хальберштадта, Wiley – Interscience, Лондон, ISBN 0-471-62430-6 . 
• Планк, М. (1923/1927). Трактат по термодинамике , перевод А. Огга, третье английское издание, Longmans, Green and Co. , Лондон.
• Чогль, Северо-Запад (2000). Основы равновесной и стационарной термодинамики, Elsevier, Амстердам, ISBN 0-444-50426-5 . 

Библиография

• Альберти, РА (2001). «Использование преобразований Лежандра в химической термодинамике» (PDF) . Чистое приложение. Хим . 73 (8): 1349–1380. дои : 10.1351/pac200173081349. S2CID  98264934.
• Льюис, Гилберт Ньютон; Рэндалл, Мерл: отредактировано Питцером, Кеннетом С. и Брюэром, Лео (1961). Термодинамика (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: ISBN McGraw-Hill Book Co. 978-0-07-113809-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)