stringtranslate.com

Вогнутый многоугольник

Пример вогнутого многоугольника.

Простой многоугольник , не являющийся выпуклым , называется вогнутым , [1] невыпуклым [2] или входящим . [3] Вогнутый многоугольник всегда будет иметь хотя бы один отражающий внутренний угол , то есть угол, размер которого находится в пределах от 180 до 360 градусов. [4]

Полигон

Некоторые линии, содержащие внутренние точки вогнутого многоугольника, пересекают его границу более чем в двух точках. [4] Некоторые диагонали вогнутого многоугольника частично или полностью лежат вне многоугольника. [4] Некоторые стороны вогнутого многоугольника не могут разделить плоскость на две полуплоскости, одна из которых целиком содержит многоугольник. Ни одно из этих трех утверждений не справедливо для выпуклого многоугольника.

Как и в случае любого простого многоугольника, сумма внутренних углов вогнутого многоугольника равна π ×( n  − 2) радиан , что эквивалентно 180 × ( n  − 2) градусов (°), где n — количество сторон.

Всегда можно разбить вогнутый многоугольник на множество выпуклых многоугольников. Алгоритм с полиномиальным временем для поиска разложения на как можно меньшее количество выпуклых многоугольников описан Chazelle & Dobkin (1985). [5]

Треугольник никогда не может быть вогнутым, но существуют вогнутые многоугольники с n сторонами для любого n > 3. Примером вогнутого четырехугольника является дротик .

Хотя бы один внутренний угол не содержит всех остальных вершин в своих ребрах и внутренней части.

Выпуклая оболочка вершин вогнутого многоугольника и его ребер содержит точки, внешние по отношению к многоугольнику.

Примечания

  1. ^ МакКоннелл, Джеффри Дж. (2006), Компьютерная графика: теория на практике, с. 130, ISBN 0-7637-2250-2.
  2. ^ Лефф, Лоуренс (2008), Давайте рассмотрим: геометрию , Хауппож, Нью-Йорк: Образовательная серия Бэррона, с. 66, ISBN 978-0-7641-4069-3
  3. ^ Мейсон, Дж.И. (1946), «Об углах многоугольника», The Mathematical Gazette , The Mathematical Association, 30 (291): 237–238, doi : 10.2307/3611229, JSTOR  3611229.
  4. ^ abc «Определение и свойства вогнутых многоугольников с интерактивной анимацией».
  5. ^ Шазель, Бернар ; Добкин, Дэвид П. (1985), «Оптимальные выпуклые разложения», в Туссен, GT (ред.), Вычислительная геометрия (PDF) , Elsevier, стр. 63–133..

Внешние ссылки