Простой многоугольник , не являющийся выпуклым , называется вогнутым , [1] невыпуклым [2] или входящим . [3] Вогнутый многоугольник всегда будет иметь хотя бы один отражающий внутренний угол , то есть угол, размер которого находится в пределах от 180 до 360 градусов. [4]
Некоторые линии, содержащие внутренние точки вогнутого многоугольника, пересекают его границу более чем в двух точках. [4] Некоторые диагонали вогнутого многоугольника частично или полностью лежат вне многоугольника. [4] Некоторые стороны вогнутого многоугольника не могут разделить плоскость на две полуплоскости, одна из которых целиком содержит многоугольник. Ни одно из этих трех утверждений не справедливо для выпуклого многоугольника.
Как и в случае любого простого многоугольника, сумма внутренних углов вогнутого многоугольника равна π ×( n − 2) радиан , что эквивалентно 180 × ( n − 2) градусов (°), где n — количество сторон.
Всегда можно разбить вогнутый многоугольник на множество выпуклых многоугольников. Алгоритм с полиномиальным временем для поиска разложения на как можно меньшее количество выпуклых многоугольников описан Chazelle & Dobkin (1985). [5]
Треугольник никогда не может быть вогнутым, но существуют вогнутые многоугольники с n сторонами для любого n > 3. Примером вогнутого четырехугольника является дротик .
Хотя бы один внутренний угол не содержит всех остальных вершин в своих ребрах и внутренней части.
Выпуклая оболочка вершин вогнутого многоугольника и его ребер содержит точки, внешние по отношению к многоугольнику.