Обратный откат (дифференциальная геометрия)

Математическая операция

Пусть будет гладким отображением между гладкими многообразиями и . Тогда существует связанное линейное отображение из пространства 1-форм на ( линейное пространство сечений кокасательного расслоения ) в пространство 1-форм на . Это линейное отображение известно как обратный путь (через ), и часто обозначается как . В более общем смысле, любое ковариантное тензорное поле – в частности, любая дифференциальная форма – на может быть обратно протянута с помощью . ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$

Когда отображение является диффеоморфизмом , то обратный откат вместе с прямым откатом можно использовать для преобразования любого тензорного поля из в или наоборот. В частности, если является диффеоморфизмом между открытыми подмножествами и , рассматриваемым как изменение координат (возможно, между различными картами на многообразии ), то обратный откат и прямой откат описывают свойства преобразования ковариантных и контравариантных тензоров, используемых в более традиционных (зависящих от координат) подходах к предмету. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$

Идея, лежащая в основе pullback, по сути, представляет собой понятие предварительной композиции одной функции с другой. Однако, комбинируя эту идею в нескольких различных контекстах, можно построить довольно сложные операции pullback. Эта статья начинается с простейших операций, а затем использует их для построения более сложных. Грубо говоря, механизм pullback (использующий предварительную композицию) превращает несколько конструкций в дифференциальной геометрии в контравариантные функторы .

Обратный отсчет гладких функций и гладких отображений

Пусть будет гладким отображением между (гладкими) многообразиями и , и предположим, что является гладкой функцией на . Тогда обратный путь от по является гладкой функцией на , определенной по . Аналогично, если является гладкая функция на открытом множестве в , то та же формула определяет гладкую функцию на открытом множестве . (На языке пучков обратный путь определяет морфизм из пучка гладких функций на в прямой образ по пучка гладких функций на .) ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:N\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$

В более общем случае, если — гладкое отображение из в любое другое многообразие , то — гладкое отображение из в . ${\displaystyle f:N\to A}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$

Откат пучков и секций

Если — векторное расслоение (или любое расслоение волокон ) над и — гладкое отображение, то расслоение обратного протягивания — это векторное расслоение (или расслоение волокон ) над , волокно над которым задаётся как . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\phi ^{*}E)_{x}=E_{\phi (x)}}$

В этой ситуации предварительная композиция определяет операцию обратного вытягивания для разделов : если это раздел из более , то раздел обратного вытягивания является разделом из более . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}s=s\circ \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ ${\displaystyle M}$

Вытягивание многолинейных форм

Пусть Φ: V → W — линейное отображение между векторными пространствами V и W (т. е. Φ — элемент L ( V , W ) , также обозначаемый Hom( V , W ) ), и пусть

$${\displaystyle F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbf {R} }$$

быть полилинейной формой на W (также известной как тензор — не путать с тензорным полем — ранга (0, s ) , где s — число множителей W в произведении). Тогда пулбэк Φ ^∗ F для F на Φ является полилинейной формой на V , определяемой предкомпозицией F с Φ. Точнее, если заданы векторы v ₁ , v ₂ , ..., v _s в V , Φ ^∗ F определяется формулой

$${\displaystyle (\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),}$$

которая является полилинейной формой на V . Следовательно, Φ ^∗ является (линейным) оператором из полилинейных форм на W в полилинейные формы на V . В качестве особого случая отметим, что если F является линейной формой (или (0,1)-тензором) на W , так что F является элементом W ^∗ , двойственного пространства W , то Φ ^∗ F является элементом V ^{∗ , и поэтому} обратный путь с помощью Φ определяет линейное отображение между двойственными пространствами, которое действует в противоположном направлении к самому линейному отображению Φ:

$${\displaystyle \Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.}$$

С тензорной точки зрения естественно попытаться расширить понятие обратного хода на тензоры произвольного ранга, т. е. на полилинейные отображения на W, принимающие значения в тензорном произведении r копий W , т. е. W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. Однако элементы такого тензорного произведения не возвращаются естественным образом: вместо этого существует операция прямого хода из V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V в W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W , заданная как

$${\displaystyle \Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).}$$

Тем не менее, из этого следует, что если Φ обратим, то pullback можно определить с помощью pushforward по обратной функции Φ ⁻¹ . Объединение этих двух конструкций дает операцию pushforward вдоль обратимого линейного отображения для тензоров любого ранга ( r , s ) .

Обратный путь котангенсивных векторов и 1-форм

Пусть будет гладким отображением между гладкими многообразиями . Тогда дифференциал , записанный , , или , является морфизмом векторного расслоения (над ) из касательного расслоения в расслоение -образ . Транспонирование , таким образом, является отображением расслоения из в , кокасательное расслоение . ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{*}}$ ${\displaystyle d\phi }$ ${\displaystyle D\phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$ ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle M}$

Теперь предположим, что это раздел ( 1-форма на ) , и предварительно составим с , чтобы получить раздел обратного вытягивания . Применение приведенной выше карты расслоения (поточечно) к этому разделу дает обратное вытягивание , которое является 1-формой на , определенной для в и в . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T^{*}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}\alpha }$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X))}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

Обратный путь (ковариантных) тензорных полей

Конструкция предыдущего раздела немедленно обобщается на тензорные расслоения ранга для любого натурального числа : тензорное поле на многообразии является сечением тензорного расслоения, на слое которого в является пространством полилинейных -форм Приравнивая (поточечному) дифференциалу гладкого отображения из в , обратный образ полилинейных форм можно объединить с обратным образом сечений, чтобы получить тензорное поле обратного образа на . Точнее, если является -тензорным полем на , то обратный образ по является -тензорным полем на , определяемым для в и в . ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle F:T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .}$$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle \phi ^{*}S}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle (\phi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{s}))}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

Вытягивание дифференциальных форм

Частным важным случаем обратного образа ковариантных тензорных полей является обратный образ дифференциальных форм . Если — дифференциальная -форма, т.е. сечение внешнего расслоения (послойных) чередующихся -форм на , то обратный образ — это дифференциальная -форма на , определяемая той же формулой, что и в предыдущем разделе: для в и в . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(T^{*}N)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle TN}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{k}))}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

Обратный путь дифференциальных форм имеет два свойства, которые делают его чрезвычайно полезным.

1. Он совместим с произведением клина в том смысле, что для дифференциальных форм и на , ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\phi ^{*}\alpha \wedge \phi ^{*}\beta .}$$
2. Он совместим с внешней производной : если — дифференциальная форма, то ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \phi ^{*}(d\alpha )=d(\phi ^{*}\alpha ).}$$

Обратный путь с помощью диффеоморфизмов

Когда отображение между многообразиями является диффеоморфизмом , то есть имеет гладкое обратное, то пулбэк может быть определен как для векторных полей , так и для 1-форм, и, таким образом, по расширению, для произвольного смешанного тензорного поля на многообразии. Линейное отображение ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \Phi =d\phi _{x}\in \operatorname {GL} \left(T_{x}M,T_{\phi (x)}N\right)}$$

можно перевернуть, чтобы получить $${\displaystyle \Phi ^{-1}=\left({d\phi _{x}}\right)^{-1}\in \operatorname {GL} \left(T_{\phi (x)}N,T_{x}M\right).}$$

Общее смешанное тензорное поле преобразуется с использованием и в соответствии с разложением тензорного произведения тензорного расслоения на копии и . Когда , то обратный и прямой перенос описывают свойства преобразования тензора на многообразии . В традиционных терминах обратный перенос описывает свойства преобразования ковариантных индексов тензора ; напротив, преобразование контравариантных индексов задается прямым переносом . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ ${\displaystyle TN}$ ${\displaystyle T^{*}N}$ ${\displaystyle M=N}$ ${\displaystyle M}$

Обратный путь с помощью автоморфизмов

Конструкция предыдущего раздела имеет теоретико-представительную интерпретацию, когда является диффеоморфизмом многообразия в себя. В этом случае производная является сечением . Это индуцирует действие обратного протягивания на сечениях любого расслоения, связанного с расслоением фрейма посредством представления общей линейной группы (где ). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d\phi }$ ${\displaystyle \operatorname {GM} (TM,\phi ^{*}TM)}$ ${\displaystyle \operatorname {GM} (m)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {GM} (m)}$ ${\displaystyle m=\dim M}$

Обратный отвод и производная Ли

См. производная Ли . Применяя предыдущие идеи к локальной 1-параметрической группе диффеоморфизмов, определяемой векторным полем на , и дифференцируя по параметру, получаем понятие производной Ли на любом ассоциированном расслоении. ${\displaystyle M}$

Обратные связи (ковариантные производные)

Если — связность (или ковариантная производная ) на векторном расслоении над и — гладкое отображение из в , то существует связность обратного протягивания на над , определяемая однозначно условием, что ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}\nabla }$ ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \left(\phi ^{*}\nabla \right)_{X}\left(\phi ^{*}s\right)=\phi ^{*}\left(\nabla _{d\phi (X)}s\right).}$$

Смотрите также

• Pushforward (дифференциал)
• Вытягивание пучка
• Обратный откат (теория категорий)

Ссылки

• Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. См. разделы 1.5 и 1.6 .
• Абрахам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. См. разделы 1.7 и 2.3 .