Вектор, описывающий волну; часто направление его распространения
В физике волновой вектор (или волновой вектор ) — это вектор , используемый для описания волны , типичной единицей измерения которого является цикл на метр. Оно имеет величину и направление . Ее величина равна волновому числу волны (обратно пропорциональна длине волны ), а ее направление перпендикулярно волновому фронту. В изотропных средах это также направление распространения волн .
Близко связанным вектором является угловой волновой вектор (или угловой волновой вектор ), типичной единицей измерения которого является радиан на метр. Волновой вектор и угловой волновой вектор связаны фиксированной константой пропорциональности, 2 π радиан за цикл. [а]
В некоторых областях физики угловой волновой вектор принято называть просто волновым вектором , в отличие, например, от кристаллографии . [1] [2] Также часто используется символ k в зависимости от того, что используется.
В контексте специальной теории относительности волновой вектор может относиться к четырехвектору , в котором объединены (угловой) волновой вектор и (угловая) частота.
Определение
Длина волны синусоидальной волны λ может быть измерена между любыми двумя последовательными точками с одинаковой фазой , например, между соседними гребнями или впадинами или соседними точками пересечения нуля с одинаковым направлением прохождения, как показано.
Термины «волновой вектор» и «угловой волновой вектор» имеют разные значения. Здесь волновой вектор обозначается, а волновое число – . Угловой волновой вектор обозначается k , а угловое волновое число - k = | к | . Они связаны .
ψ — функция от r и t , описывающая возмущение, описывающее волну (например, для океанской волны ψ будет избыточной высотой воды, или для звуковой волны ψ будет избыточным давлением воздуха ).
ω - (временная) угловая частота волны, описывающая, сколько радиан она проходит за единицу времени, и связанная с периодом T уравнением
k - угловой волновой вектор волны, описывающий, сколько радиан она проходит на единицу расстояния, и связанный с длиной волны уравнением
Эквивалентное уравнение с использованием волнового вектора и частоты: [3]
где:
это частота
волновой вектор
Направление волнового вектора
Направление, в котором указывает волновой вектор, следует отличать от «направления распространения волны ». «Направление распространения волны» — это направление потока энергии волны и направление, в котором будет двигаться небольшой волновой пакет , то есть направление групповой скорости . Для световых волн в вакууме это также направление вектора Пойнтинга . С другой стороны, волновой вектор указывает в направлении фазовой скорости . Другими словами, волновой вектор указывает в нормальном направлении на поверхности постоянной фазы , также называемые волновыми фронтами .
В изотропной среде без потерь , такой как воздух, любой газ, любая жидкость, аморфные твердые тела (например, стекло ) и кубические кристаллы , направление волнового вектора совпадает с направлением распространения волны. Если среда анизотропна, волновой вектор, как правило, указывает в направлениях, отличных от направления распространения волны. Волновой вектор всегда перпендикулярен поверхностям постоянной фазы.
В физике твердого тела «волновой вектор» (также называемый k-вектором ) электрона или дырки в кристалле является волновым вектором его квантово-механической волновой функции . Эти электронные волны не являются обычными синусоидальными волнами, но у них есть своего рода синусоидальная огибающая , и волновой вектор определяется через эту огибающую волну, обычно с использованием «физического определения». Дополнительную информацию см. в теореме Блоха . [6]
В специальной теории относительности
Движущуюся волновую поверхность в специальной теории относительности можно рассматривать как гиперповерхность (трехмерное подпространство) в пространстве-времени, образованную всеми событиями, проходящими через волновую поверхность. Волновой пакет (обозначаемый некоторой переменной X ) можно рассматривать как однопараметрическое семейство таких гиперповерхностей в пространстве-времени. Эта переменная X является скалярной функцией положения в пространстве-времени. Производная этого скаляра представляет собой вектор, характеризующий волну, четырехволновой вектор. [7]
где угловая частота — это временная составляющая, а вектор волнового числа — пространственная составляющая.
Альтернативно, волновое число k может быть записано как угловая частота ω , деленная на фазовую скорость v p , или через обратный период T и обратную длину волны λ .
В ситуации, когда свет излучается быстро движущимся источником и хотелось бы узнать частоту света, обнаруженного в земной (лабораторной) системе отсчета, мы применим преобразование Лоренца следующим образом. Обратите внимание, что источник находится в системе отсчета S s , а земля находится в системе отсчета наблюдения S obs . Применение преобразования Лоренца к волновому вектору
и выбор просто посмотреть на компонент приводит к
где - направляющий косинус относительно
Так
Источник удаляется (красное смещение)
Например, если применить это к ситуации, когда источник движется прямо от наблюдателя ( ), это будет выглядеть следующим образом:
Источник движется в сторону (синее смещение)
Если применить это к ситуации, когда источник движется прямо к наблюдателю ( θ = 0 ), это будет выглядеть так:
Источник движется по касательной (поперечный эффект Доплера)
Если применить это к ситуации, когда источник движется поперек наблюдателя ( θ = π /2 ), это будет выглядеть следующим образом:
^ В большинстве контекстов и радиан, и цикл (или период ) рассматриваются как безразмерная величина 1, уменьшая эту константу до 2π.
^ Пример физики: Харрис, Бененсон, Штекер (2002). Справочник по физике. п. 288. ИСБН 978-0-387-95269-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Пример кристаллографии: Вайнштейн (1994). Современная кристаллография. п. 259. ИСБН 978-3-540-56558-1.
^ Вайнштейн, Борис Константинович (1994). Современная кристаллография. п. 259. ИСБН978-3-540-56558-1.
^ Фаулз, Грант (1968). Введение в современную оптику . Холт, Райнхарт и Уинстон. п. 177.
^ «Этот эффект был объяснен Масгрейвом (1959), который показал, что энергия упругой волны в анизотропной среде, как правило, не движется по тому же пути, что и нормаль к плоскому волновому фронту ...», Звук Волны в твердых телах Полларда, 1977. ссылка
^ Дональд Х. Мензель (1960). «§10.5 Волна Блоха». Фундаментальные формулы физики, том 2 (переиздание Prentice-Hall, 1955, 2-е изд.). Курьер-Дувр. п. 624. ИСБН978-0486605968.
^ Вольфганг Риндлер (1991). «§24 Волновое движение». Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. стр. 60–65. ISBN978-0-19-853952-0.
дальнейшее чтение
Брау, Чарльз А. (2004). Современные проблемы классической электродинамики . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-514665-3.