Волновой вектор

Вектор, описывающий волну; часто направление ее распространения

В физике волновой вектор ( или волновой вектор ) — это вектор, используемый для описания волны , типичной единицей которого является цикл на метр. Он имеет величину и направление . Его величина — это волновое число волны (обратно пропорционально длине волны ), а его направление перпендикулярно фронту волны. В изотропных средах это также направление распространения волны .

Близким вектором является угловой волновой вектор (или угловой волновой вектор ), типичной единицей которого является радиан на метр. Волновой вектор и угловой волновой вектор связаны фиксированной константой пропорциональности, 2π радиан  на цикл. ^[a]

В некоторых областях физики принято называть угловой волновой вектор просто волновым вектором , в отличие, например, от кристаллографии . ^{[1] [2]} Также принято использовать символ k для обозначения того, что используется.

В контексте специальной теории относительности можно определить волновой четырехвектор, объединяющий (угловой) волновой вектор и (угловую) частоту .

Определение

Длину волны синусоидальной волны λ можно измерить между любыми двумя последовательными точками с одинаковой фазой , например, между соседними гребнями или впадинами, или соседними нулевыми переходами с одинаковым направлением прохождения, как показано на рисунке.

Термины волновой вектор и угловой волновой вектор имеют различные значения. Здесь волновой вектор обозначается как , а волновое число как . Угловой волновой вектор обозначается как k , а угловое волновое число как k = | k | . Они связаны соотношением . ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\nu }}=\left|{\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\right|}$ ${\displaystyle \mathbf {k} =2\pi {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}}$

Синусоидальная бегущая волна следует уравнению

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=A\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi ),}$

где:

• r — позиция,
• t - время,
• ψ является функцией r и t, описывающей возмущение , описывающее волну (например, для океанской волны ψ будет избыточной высотой воды, или для звуковой волны ψ будет избыточным давлением воздуха ).
• А — амплитуда волны (максимальная величина колебания),
• φ — смещение фазы ,
• ω — (временная) угловая частота волны, описывающая, сколько радиан она проходит за единицу времени, и связанная с периодом T уравнением ${\displaystyle \omega ={\tfrac {2\pi }{T}},}$
• k — угловой волновой вектор волны, описывающий, сколько радиан она проходит за единицу расстояния, и связанный с длиной волны уравнением ${\displaystyle |\mathbf {k} |={\tfrac {2\pi }{\lambda }}.}$

Эквивалентное уравнение с использованием волнового вектора и частоты имеет вид ^[3]

${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=A\cos \left(2\pi \left({\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\cdot {\mathbf {r} }-ft\right)+\varphi \right),}$

где:

• ${\displaystyle f}$это частота
• ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}}$это волновой вектор

Направление волнового вектора

Направление, в котором указывает волновой вектор, следует отличать от «направления распространения волны ». «Направление распространения волны» — это направление потока энергии волны и направление, в котором будет двигаться малый волновой пакет , т. е. направление групповой скорости . Для световых волн в вакууме это также направление вектора Пойнтинга . С другой стороны, волновой вектор указывает в направлении фазовой скорости . Другими словами, волновой вектор указывает в нормальном направлении к поверхностям постоянной фазы , также называемым волновыми фронтами .

В изотропной среде без потерь , такой как воздух, любой газ, любая жидкость, аморфные твердые тела (например, стекло ) и кубические кристаллы , направление волнового вектора совпадает с направлением распространения волны. Если среда анизотропна, волновой вектор в общем случае указывает в направлениях, отличных от направления распространения волны. Волновой вектор всегда перпендикулярен поверхностям постоянной фазы.

Например, когда волна распространяется через анизотропную среду , например, световые волны через асимметричный кристалл или звуковые волны через осадочную породу , волновой вектор может не указывать точно в направлении распространения волны. ^{[4] [5]}

В физике твердого тела

В физике твердого тела «волновой вектор» (также называемый k-вектором ) электрона или дырки в кристалле — это волновой вектор его квантово-механической волновой функции . Эти электронные волны не являются обычными синусоидальными волнами, но у них есть своего рода огибающая функция , которая является синусоидальной, и волновой вектор определяется через эту огибающую волну, обычно с использованием «физического определения». Подробнее см. теорему Блоха . ^[6]

В специальной теории относительности

Движущаяся волновая поверхность в специальной теории относительности может рассматриваться как гиперповерхность (трехмерное подпространство) в пространстве-времени, образованная всеми событиями, прошедшими через волновую поверхность. Волновой поезд (обозначаемый некоторой переменной X ) может рассматриваться как однопараметрическое семейство таких гиперповерхностей в пространстве-времени. Эта переменная X является скалярной функцией положения в пространстве-времени. Производная этого скаляра является вектором, который характеризует волну, четырехволновым вектором. ^[7]

Четырехволновой вектор — это волновой четырехвектор , который в координатах Минковского определяется как:

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,}$

где угловая частота является временной составляющей, а вектор волнового числа является пространственной составляющей. ${\displaystyle {\tfrac {\omega }{c}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$

Альтернативно, волновое число k можно записать как угловую частоту ω, деленную на фазовую скорость v _p , или через обратный период T и обратную длину волны λ .

При явном выписывании его контравариантные и ковариантные формы имеют вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\[4pt]K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}}$

В общем случае скалярная величина Лоренца волнового четырехвектора равна:

${\displaystyle K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}}$

Четырехволновой вектор равен нулю для безмассовых (фотонных) частиц, где масса покоя ${\displaystyle m_{o}=0}$

Примером нулевого четырехволнового вектора может служить пучок когерентного монохроматического света, имеющий фазовую скорость ${\displaystyle v_{p}=c}$

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,}${для светоподобного/нулевого}

который имел бы следующее соотношение между частотой и величиной пространственной части четырехволнового вектора:

${\displaystyle K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0}${для светоподобного/нулевого}

Четырехволновой вектор связан с четырехимпульсом следующим образом:

${\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}$

Четырехволновой вектор связан с четырехчастотным следующим образом:

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)\left(\nu ,\nu {\vec {n}}\right)}$

Четырехволновой вектор связан с четырехскоростью следующим образом:

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)}$

преобразование Лоренца

Принятие преобразования Лоренца четырехволнового вектора является одним из способов вывода релятивистского эффекта Доплера . Матрица Лоренца определяется как

${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &\ 0\ &\ 0\ \\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

В ситуации, когда свет испускается быстро движущимся источником и хотелось бы узнать частоту света, обнаруженную в земной (лабораторной) системе отсчета, мы бы применили преобразование Лоренца следующим образом. Обратите внимание, что источник находится в системе отсчета S ^s , а Земля находится в системе отсчета наблюдения S ^obs . Применение преобразования Лоренца к волновому вектору

${\displaystyle k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }}$

и выбор просто посмотреть на результаты компонента в ${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{s}^{0}&=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\end{aligned}}}$

где - направляющий косинус относительно ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle k^{1}}$ ${\displaystyle k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .}$

Так

Источник удаляется (красное смещение)

В качестве примера, если применить это к ситуации, когда источник движется прямо от наблюдателя ( ), то это будет выглядеть так: ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}$

Источник движется в сторону (синее смещение)

Если применить это к ситуации, когда источник движется прямо к наблюдателю ( θ = 0 ), то это будет выглядеть так:

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}}$

Источник движется по касательной (поперечный эффект Доплера)

Если применить это к ситуации, когда источник движется поперечно по отношению к наблюдателю ( θ = π /2 ), то это будет выглядеть следующим образом:

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}}$

Смотрите также

• Расширение плоской волны
• Плоскость падения

Ссылки

1. В большинстве контекстов и радиан, и цикл (или период ) рассматриваются как безразмерная величина 1, сводя эту константу к 2π.

1. Пример физики: Харрис, Бененсон, Стокер (2002). Справочник по физике. стр. 288. ISBN 978-0-387-95269-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Пример кристаллографии: Вайнштейн (1994). Современная кристаллография. С. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.
3. Вайнштейн, Борис Константинович (1994). Современная кристаллография. п. 259. ИСБН 978-3-540-56558-1.
4. Фаулз, Грант (1968). Введение в современную оптику . Холт, Райнхарт и Уинстон. стр. 177.
5. "Этот эффект был объяснен Масгрейвом (1959), который показал, что энергия упругой волны в анизотропной среде, в общем случае, не будет распространяться по тому же пути, что и нормаль к плоскому волновому фронту ...", Звуковые волны в твердых телах Полларда, 1977. ссылка
6. Дональд Х. Менцель (1960). "§10.5 Волна Блоха". Фундаментальные формулы физики, том 2 (переиздание Prentice-Hall 1955 2-е изд.). Courier-Dover. стр. 624. ISBN 978-0486605968.
7. Вольфганг Риндлер (1991). "§24 Волновое движение". Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Oxford Science Publications. стр. 60–65. ISBN 978-0-19-853952-0.

Дальнейшее чтение

• Брау, Чарльз А. (2004). Современные проблемы классической электродинамики . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-514665-3.