Восьмиугольное число

Восьмиугольное число — это фигурное число , которое дает количество точек в определенном восьмиугольном расположении. Восьмиугольное число для n определяется формулой 3 n ² − 2 n , где n > 0. Первые несколько восьмиугольных чисел — это

1 , 8 , 21 , 40 , 65 , 96 , 133 , 176 , 225, 280 , 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936 (последовательность A000567 в OEIS )

Восьмиугольное число для n также можно вычислить, прибавив квадрат n к удвоенному ( n − 1)-му проническому числу .

Восьмиугольные числа последовательно чередуют четность .

Восьмиугольные числа иногда называют « звездными числами », хотя этот термин чаще используется для обозначения центрированных двенадцатиугольных чисел. ^[1]

Приложения в комбинаторике

Восьмиугольное число - это число разбиений на 1, 2 или 3. ^[2] Например, существуют такие разбиения для , а именно ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 6n-5}$ ${\displaystyle x_{2}=8}$ ${\displaystyle 2\cdot 6-5=7}$

[1,1,1,1,1,1,1], [1,1,1,1,1,2], [1,1,1,1,3], [1,1,1,2,2], [1,1,2,3], [1,2,2,2], [1,3,3] и [2,2,3].

Сумма обратных величин

Формула для суммы обратных величин восьмиугольных чисел имеет вид ^[3] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(3n-2)}}={\frac {9\ln(3)+{\sqrt {3}}\pi }{12}}.}$$

Тест на восьмиугольные числа

Решение формулы для n -го восьмиугольного числа, для n дает Произвольное число x можно проверить на восьмиугольность, подставив его в это уравнение. Если n — целое число, то x — n -е восьмиугольное число. Если n — не целое число, то x не является восьмиугольным. ${\displaystyle x_{n},}$ $${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {3x_{n}+1}}+1}{3}}.}$$

Смотрите также

• Центрированное восьмиугольное число

Ссылки

1. Деза, Елена ; Деза, Мишель (2012), Фигурные числа, World Scientific, стр. 57, ISBN 9789814355483.
2. (последовательность A000567 в OEIS )
3. "Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2013-05-29 . Получено 2020-04-12 .