Бицентрический четырехугольник

Выпуклая, 4-сторонняя форма с вписанной и описанной окружностями.

Поризм Понселе для вписанно-описанных четырехугольников ABCD и EFGH

В евклидовой геометрии бицентрический четырехугольник — это выпуклый четырехугольник , имеющий как вписанную , так и описанную окружность . Радиусы и центры этих окружностей называются вписанным и описанным радиусом , а также вписанным и описанным центром соответственно. Из определения следует, что бицентрические четырехугольники обладают всеми свойствами как касательных, так и вписанных четырехугольников . Другие названия этих четырехугольников — четырехугольник, касающийся хорды ^[1], и вписанный и описанный четырехугольник . Его также редко называют четырехугольником с двойной окружностью ^[2] и четырехугольником с двойной вписанной окружностью ^[3] .

Если две окружности, одна внутри другой, являются вписанной и описанной окружностями вписанно-описанного четырёхугольника, то каждая точка описанной окружности является вершиной вписанно-описанного четырёхугольника, имеющего те же вписанную и описанную окружности. ^[4] Это частный случай поризма Понселе , который был доказан французским математиком Жаном-Виктором Понселе (1788–1867).

Особые случаи

Правильный воздушный змей

Примерами вписанно-описанных четырёхугольников являются квадраты , прямоугольные змеи и равнобедренные касательные трапеции .

Характеристика

Вписанно-описанная четырехугольник ABCD и ее контактный четырехугольник WXYZ

Выпуклый четырехугольник ABCD со сторонами a, b, c, d является бицентрическим тогда и только тогда, когда противоположные стороны удовлетворяют теореме Пито для касательных четырехугольников и свойству вписанного четырехугольника, что противолежащие углы являются дополнительными ; то есть,

${\displaystyle {\begin{cases}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{cases}}}$

Три других характеристики касаются точек, где вписанная окружность в тангенциальном четырехугольнике касается сторон. Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках W, X, Y, Z соответственно, то тангенциальный четырехугольник ABCD также является вписанным, если и только если выполняется одно из следующих трех условий: ^[5]

• WY перпендикулярна XZ​​
• ${\displaystyle {\frac {\overline {AW}}{\overline {WB}}}={\frac {\overline {DY}}{\overline {YC}}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\overline {AC}}{\overline {BD}}}={\frac {{\overline {AW}}+{\overline {CY}}}{{\overline {BX}}+{\overline {DZ}}}}}$

Первое из этих трех означает, что контактный четырехугольник WXYZ является ортодиагональным четырехугольником .

Если E, F, G, H являются серединами WX, XY, YZ, ZW соответственно, то описанный четырехугольник ABCD также является вписанным тогда и только тогда, когда четырехугольник EFGH является прямоугольником . ^[5]

Согласно другой характеристике, если I является центром вписанной окружности в касательном четырехугольнике , где продолжения противоположных сторон пересекаются в точках J и K , то четырехугольник также является вписанным тогда и только тогда, когда ∠ JIK является прямым углом . ^[5]

Еще одним необходимым и достаточным условием является то, что касательный четырехугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда его линия Ньютона перпендикулярна линии Ньютона его контактного четырехугольника WXYZ . (Линия Ньютона четырехугольника — это линия, определяемая серединами его диагоналей.) ^[5]

Строительство

Вписанно-описанная четырехугольник ABCD с контактным четырехугольником WXYZ . Анимация здесь

Существует простой метод построения вписанно-описанного четырехугольника:

Он начинается с вписанной окружности C _r вокруг центра I с радиусом r , а затем рисует две друг к другу перпендикулярные хорды WY и XZ во вписанной окружности C _r . В конечных точках хорд рисует касательные a, b, c, d к вписанной окружности. Они пересекаются в четырех точках A, B, C, D , которые являются вершинами вписанного четырехугольника. ^[6] Чтобы нарисовать описанную окружность, рисует два перпендикуляра p ₁ , p _{2 на} сторонах вписанного четырехугольника a соответственно b . Перпендикуляры p ₁ , p ₂ пересекаются в центре O _{описанной} окружности CR на расстоянии x от центра I вписанной окружности CR . Описанную окружность можно нарисовать вокруг центра O .

Обоснованность этой конструкции обусловлена ​​тем, что в описанном четырехугольнике ABCD контактный четырехугольник WXYZ имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда описанный четырехугольник также является вписанным .

Область

Формулы через четыре величины

Площадь K вписанно-описанного четырехугольника может быть выражена через четыре величины четырехугольника несколькими различными способами. Если стороны a , b, c, d , то площадь определяется как ^{[7] [8] [9] [10] [11]}

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$

Это частный случай формулы Брахмагупты . Ее также можно вывести непосредственно из тригонометрической формулы для площади касательного четырехугольника . Обратите внимание, что обратное утверждение неверно: некоторые четырехугольники, не являющиеся бицентрическими, также имеют площадь ^[12] Одним из примеров такого четырехугольника является неквадратный прямоугольник . ${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$

Площадь также может быть выражена через длины касательных e, f, g, h как ^{[8] : стр.128}

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

Формула для площади вписанно-описанного четырехугольника ABCD с центром вписанной окружности I имеет вид ^[9]

${\displaystyle K={\overline {AI}}\cdot {\overline {CI}}+{\overline {BI}}\cdot {\overline {DI}}.}$

Если вписанно-описанного четырехугольника касательные хорды k, l и диагонали p, q , то он имеет площадь ^{[8] : стр.129}

${\displaystyle K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.}$

Если k, l — касательные хорды, а m, n — бимедианы четырехугольника, то площадь можно вычислить по формуле ^[9]

${\displaystyle K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl}$

Эту формулу нельзя использовать, если четырехугольник — прямой змей , так как в этом случае знаменатель равен нулю.

Если M, N — середины диагоналей, а E, F — точки пересечения продолжений противоположных сторон, то площадь вписанно-описанного четырехугольника определяется по формуле

${\displaystyle K={\frac {2{\overline {MN}}\cdot {\overline {EI}}\cdot {\overline {FI}}}{\overline {EF}}}}$

где I — центр вписанной окружности. ^[9]

Формулы через три величины

Площадь вписанно-описанного четырехугольника можно выразить через две противоположные стороны и угол θ между диагоналями согласно ^[9]

${\displaystyle K=ac\tan {\frac {\theta }{2}}=bd\cot {\frac {\theta }{2}}.}$

В терминах двух смежных углов и радиуса r вписанной окружности площадь определяется по формуле ^[9]

${\displaystyle K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).}$

Площадь определяется через радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r как

${\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta }$

где θ — угол между диагоналями. ^[13]

Если M, N — середины диагоналей, а E, F — точки пересечения продолжений противоположных сторон, то площадь также можно выразить как

${\displaystyle K=2{\overline {MN}}{\sqrt {{\overline {EQ}}\cdot {\overline {FQ}}}}}$

где Q — основание перпендикуляра к линии EF, проходящей через центр вписанной окружности. ^[9]

Неравенства

Если r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно, то площадь K удовлетворяет неравенствам ^[14]

${\displaystyle \displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}.}$

Равенство обеих сторон имеет место только в том случае, если четырехугольник является квадратом .

Другое неравенство для площади: ^{[15] : стр.39, №1203}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$

где r и R — радиус вписанной и описанной окружности соответственно.

Аналогичное неравенство, дающее более точную верхнюю границу для площади, чем предыдущее, имеет вид ^[13]

${\displaystyle K\leq r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})}$

причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда четырехугольник является прямоугольным воздушным змеем .

Кроме того, со сторонами a, b, c, d и полупериметром s :

${\displaystyle 2{\sqrt {K}}\leq s\leq r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$^{[15] : стр.39, №1203}

${\displaystyle 6K\leq ab+ac+ad+bc+bd+cd\leq 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$^{[15] : стр.39, №1203}

${\displaystyle 4Kr^{2}\leq abcd\leq {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).}$^{[15] : стр.39, №1203}

Формулы угла

Если a, b, c, d — длины сторон AB, BC, CD, DA соответственно вписанно-описанного четырехугольника ABCD , то его углы при вершинах можно вычислить с помощью функции тангенса : ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\cot {\frac {C}{2}},\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}}$

Используя те же обозначения, для функций синуса и косинуса справедливы следующие формулы: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},\\\cos {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},\\\sin {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},\\\cos {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}}$

Угол θ между диагоналями можно рассчитать из ^[10]

${\displaystyle \displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.}$

Входящий и описанный радиусы

Радиус вписанной окружности r вписанного четырехугольника определяется сторонами a, b, c, d согласно ^[7]

${\displaystyle \displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.}$

Радиус описанной окружности R дан как частный случай формулы Парамешвары . Он равен ^[7]

${\displaystyle \displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.}$

Радиус вписанной окружности также может быть выражен через последовательные длины касательных e, f, g, h согласно ^{[17] : стр. 41}

${\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {eg}}={\sqrt {fh}}.}$

Эти две формулы фактически являются необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы описанный четырехугольник с радиусом вписанной окружности r был вписанным .

Четыре стороны a, b, c, d вписанно-описанного четырехугольника являются четырьмя решениями уравнения четвертой степени

${\displaystyle y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})y^{2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0}$

где s — полупериметр, а r и R — радиусы вписанной и описанной окружности соответственно. ^{[18] : стр. 754}

Если существует вписанно-описанная четырехугольник с радиусом вписанной окружности r, длины касательных которой равны e, f, g, h , то существует вписанно-описанная четырехугольник с радиусом вписанной окружности r ^v , длины касательных которой равны ⁠ ⁠, ${\displaystyle e^{v},f^{v},g^{v},h^{v},}$ где v может быть любым действительным числом . ^{[19] : стр. 9–10}

Вписанно-описанная окружность имеет больший радиус вписанной окружности, чем любая другая тангенциальная окружность, имеющая ту же последовательность длин сторон. ^{[20] : стр.392–393}

Неравенства

Радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r удовлетворяют неравенству

${\displaystyle R\geq {\sqrt {2}}r}$

что было доказано Л. Фейешем Тотом в 1948 году. ^[19] Оно выполняется с равенством только тогда, когда две окружности концентричны (имеют один и тот же центр); тогда четырехугольник является квадратом . Неравенство можно доказать несколькими различными способами, один из которых использует двойное неравенство для площади выше.

Расширение предыдущего неравенства: ^{[2] [21] : стр. 141}

${\displaystyle {\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leq {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leq 1}$

где есть равенство с обеих сторон тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом . [ ^{16] : стр. 81}

Полупериметр s вписанно-описанного четырехугольника удовлетворяет [ 19 ^{] : стр.13}

${\displaystyle {\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}-r\right)}}\leq s\leq {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r}$

где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.

Более того, ^{[15] : стр.39, №1203}

${\displaystyle 2sr^{2}\leq abc+abd+acd+bcd\leq 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}})^{2}}$

и

${\displaystyle abc+abd+acd+bcd\leq 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).}$ ^{[15] : стр.62, №1599}

Расстояние между инцентром и центром описанной окружности

Вписанно-описанная окружность четырехугольника ABCD с центром вписанной окружности I и центром описанной окружности O.

Теорема Фусса

Теорема Фусса дает соотношение между вписанным радиусом r , описанным радиусом R и расстоянием x между вписанным центром I и описанным центром O для любого вписанно-описанного четырехугольника. Соотношение следующее ^{[1] [11] [22]}

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

или эквивалентно

${\displaystyle \displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.}$

Он был выведен Николаусом Фуссом (1755–1826) в 1792 году. Решение относительно x дает

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}$

Теорема Фусса, которая является аналогом теоремы Эйлера для треугольников для вписанно-описанных четырехугольников, гласит, что если четырехугольник является вписанно-описанным, то две его соответствующие окружности связаны в соответствии с приведенными выше уравнениями. Фактически, обратное также верно: если даны две окружности (одна внутри другой) с радиусами R и r и расстоянием x между их центрами, удовлетворяющими условию в теореме Фусса, существует выпуклый четырехугольник, вписанный в одну из них и касающийся другой ^[23] (и тогда по теореме Понселе о замыкании их существует бесконечно много).

Применение к выражению теоремы Фуса для x через r и R является другим способом получения вышеупомянутого неравенства. Обобщение: ^{[19] : с.5} ${\displaystyle x^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle R\geq {\sqrt {2}}r.}$

${\displaystyle 2r^{2}+x^{2}\leq R^{2}\leq 2r^{2}+x^{2}+2rx.}$

Личность Карлица

Другая формула для расстояния x между центрами вписанной и описанной окружностей принадлежит американскому математику Леонарду Карлицу (1907–1999). Она гласит, что ^[24]

${\displaystyle \displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu }$

где r и R — радиус вписанной и описанной окружности соответственно, и

${\displaystyle \displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}}$

где a, b, c, d — стороны вписанно-описанного четырехугольника.

Неравенства для длин касательных и сторон

Для длин касательных e, f, g, h справедливы следующие неравенства: ^{[19] : с.3}

${\displaystyle 4r\leq e+f+g+h\leq 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

и

${\displaystyle 4r^{2}\leq e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leq 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})}$

где r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, а x — расстояние между вписанным и описанным центрами. Стороны a, b, c, d удовлетворяют неравенствам ^{[19] : стр.5}

${\displaystyle 8r\leq a+b+c+d\leq 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

и

${\displaystyle 4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 4(3R^{2}-2r^{2}).}$

Другие свойства инцентра

Центр описанной окружности , центр вписанной окружности и пересечение диагоналей вписанно -описанного четырехугольника лежат на одной прямой . ^[25]

Имеет место следующее равенство, связывающее четыре расстояния между центром вписанной окружности I и вершинами вписанно-описанного четырехугольника ABCD : ^[26]

${\displaystyle {\frac {1}{{\overline {AI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {CI}}^{2}}}={\frac {1}{{\overline {BI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {DI}}^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$

где r — радиус вписанной окружности.

Если P — пересечение диагоналей вписанно-описанного четырехугольника ABCD с центром вписанной окружности I , то ^[27]

${\displaystyle {\frac {\overline {AP}}{\overline {CP}}}={\frac {{\overline {AI}}^{2}}{{\overline {CI}}^{2}}}.}$

Свойства диагоналей

Длины диагоналей вписанно-описанного четырехугольника можно выразить через стороны или длины касательных , которые являются формулами, справедливыми для вписанного четырехугольника и описанного четырехугольника соответственно.

В бицентрическом четырехугольнике с диагоналями p, q справедливо следующее тождество: ^[11]

${\displaystyle \displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1}$

где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Это равенство можно переписать как ^[13]

${\displaystyle r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}}$

или, решая его как квадратное уравнение для произведения диагоналей, в виде

${\displaystyle pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\right).}$

Неравенство для произведения диагоналей p, q вписанно-описанного четырехугольника имеет вид ^[14]

${\displaystyle \displaystyle 8pq\leq (a+b+c+d)^{2}}$

где a, b, c, d — стороны. Это доказал Мюррей С. Кламкин в 1967 году.

Четыре инцентры лежат на окружности

Пусть ABCD — вписанно-описанная окружность, а O — центр описанной окружности. Тогда инцентры четырех треугольников △ OAB , △ OBC , △ OCD , △ ODA лежат на одной окружности. ^[28]

Смотрите также

• Бицентрический многоугольник
• Экс-тангенциальный четырехугольник

Ссылки

1. Dörrie, Heinrich (1965). 100 великих проблем элементарной математики: их история и решения . Нью-Йорк: Довер. С. 188–193. ISBN 978-0-486-61348-2.
2. Yun, Zhang, "Euler's Inequality Revisited", Mathematical Spectrum , Volume 40, Number 3 (May 2008), pp. 119-121. Первая страница доступна по адресу [1] Архивировано 4 марта 2016 г. на Wayback Machine .
3. Ленг, Гансонг (2016). Геометрические неравенства: на математических олимпиадах и соревнованиях . Шанхай: East China Normal University Press. стр. 22. ISBN 978-981-4704-13-7.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Понселе Поперечный». Из MathWorld – веб-ресурса Wolfram, [2]
5. Йозефссон, Мартин (2010), «Характеристики бицентрических четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 165–173.
6. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2011). Иконы математики. Исследование двадцати ключевых изображений . Математическая ассоциация Америки. С. 125–126. ISBN 978-0-88385-352-8.
7. Weisstein, Eric, Bicentric Quadrilateral в MathWorld , [3], дата обращения 13 августа 2011 г.
8. Josefsson, Martin (2010), «Вычисления, касающиеся длин касательных и хорд касательных касательного четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 119–130.
9. Йозефссон, Мартин (2011), «Площадь бицентрического четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 155–164.
10. Durell, CV и Robson, A., Advanced Trigonometry , Dover, 2003, стр. 28, 30.
11. Yiu, Paul, Евклидова геометрия , [4], 1998, стр. 158-164.
12. Лорд, Ник, «Четырехугольники с формулой площади », Mathematical Gazette 96, июль 2012 г., 345-347. ${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$
13. Josefsson, Martin (2012), «Максимальная площадь бицентрического четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 237–241.
14. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009). Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств . Математическая ассоциация Америки. стр. 64–66. ISBN 978-0-88385-342-9.
15. Неравенства, предложенные в Crux Mathematicorum , 2007. [5]
16. Josefsson, Martin (2012), «Новое доказательство неравенства Юня для бицентрических четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 79–82.
17. М. Радич, З. Калиман и В. Кадум, «Условие того, что тангенциальный четырехугольник является также хордовым», Mathematical Communications , 12 (2007) 33–52.
18. Поп, Овидиу Т., «Тождества и неравенства в четырехугольнике», Octogon Mathematical Magazine , том 17, № 2, октябрь 2009 г., стр. 754-763.
19. Радич, Мирко, «Некоторые неравенства, касающиеся бицентрических четырехугольников, шестиугольников и восьмиугольников», Журнал неравенств в чистой и прикладной математике , том 6, выпуск 1, 2005, [6]
20. Гесс, Альбрехт (2014), «Об окружности, содержащей инцентры касательных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 14 : 389–396.
21. Шаттак, Марк, «Геометрическое неравенство для вписанных четырехугольников», Forum Geometricorum 18, 2018, 141–154. [7] В этой статье также приводятся различные неравенства в терминах длин дуг, охватываемых сторонами вписанного четырехугольника.
22. Салазар, Хуан Карлос (2006), «Теорема Фусса», Mathematical Gazette , 90 (июль): 306–307.
23. Байерли, У. Э. (1909), «Вписанный и описанный четырехугольник», Анналы математики , 10 : 123–128, doi : 10.2307/1967103.
24. Калин, Овидиу, Евклидова и неевклидова геометрия: метрический подход , [8], стр. 153–158.
25. Богомольный, Алекс, Коллинеарность в бицентрических четырехугольниках [9], 2004.
26. Л.В. Нагараджан, Бицентрические многоугольники , 2014, [10].
27. Crux Mathematicorum 34 (2008) № 4, стр. 242.
28. Алексей А. Заславский, Одно свойство бицентральных четырехугольников, 2019, [11]