Течение Тейлора-Куэтта

Настройка системы Тейлора-Куэтта

В гидродинамике течение Тейлора -Куэтта состоит из вязкой жидкости, заключенной в зазоре между двумя вращающимися цилиндрами. При низких угловых скоростях, измеряемых числом Рейнольдса Re , течение является устойчивым и чисто азимутальным . Это основное состояние известно как круговое течение Куэтта , в честь Мориса Мари Альфреда Куэтта , который использовал это экспериментальное устройство в качестве средства для измерения вязкости . Сэр Джеффри Ингрэм Тейлор исследовал устойчивость течения Куэтта в новаторской статье. ^[1] Статья Тейлора стала краеугольным камнем в развитии теории гидродинамической устойчивости и продемонстрировала, что условие отсутствия проскальзывания , которое в то время оспаривалось научным сообществом, было правильным граничным условием для вязких потоков на твердой границе.

Тейлор показал, что когда угловая скорость внутреннего цилиндра увеличивается выше определенного порога, течение Куэтта становится неустойчивым и возникает вторичное устойчивое состояние, характеризующееся осесимметричными тороидальными вихрями, известное как вихревое течение Тейлора . Впоследствии, при увеличении угловой скорости цилиндра, система претерпевает прогрессию неустойчивостей, которые приводят к состояниям с большей пространственно-временной сложностью, причем следующее состояние называется волновым вихревым течением . Если два цилиндра вращаются в противоположных направлениях, то возникает спиральное вихревое течение . За пределами определенного числа Рейнольдса возникает турбулентность .

Круговой поток Куэтта имеет широкое применение от опреснения до магнитогидродинамики , а также в вискозиметрическом анализе. Различные режимы потока были классифицированы на протяжении многих лет, включая скрученные вихри Тейлора и волнистые границы оттока. Это хорошо изученный и документированный поток в гидродинамике. ^[2]

Описание потока

Простой поток Тейлора-Куэтта — это стационарный поток, созданный между двумя вращающимися бесконечно длинными коаксиальными цилиндрами. ^[3] Поскольку длины цилиндров бесконечно велики, поток по существу однонаправлен в стационарном состоянии. Если внутренний цилиндр с радиусом вращается с постоянной угловой скоростью , а внешний цилиндр с радиусом вращается с постоянной угловой скоростью, как показано на рисунке, то азимутальная составляющая скорости определяется как ^[4] ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$

${\displaystyle v_{\theta }=Ar+{\frac {B}{r}},\quad A=\Omega _{1}{\frac {\mu -\eta ^{2}}{1-\eta ^{2}}},\quad B=\Omega _{1}R_{1}^{2}{\frac {1-\mu }{1-\eta ^{2}}}}$

где

${\displaystyle \mu ={\frac {\Omega _{2}}{\Omega _{1}}},\quad \eta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}.}$

Критерий Рэлея

Лорд Рэлей ^{[5] [6]} изучал устойчивость задачи с невязким предположением, т.е. возмущая уравнения Эйлера . Критерий утверждает, что при отсутствии вязкости необходимое и достаточное условие для того, чтобы распределение азимутальной скорости было устойчивым, равно ${\displaystyle v_{\theta }(r)}$^[7]

${\displaystyle \Phi \equiv {\frac {1}{r^{3}}}{\frac {d}{dr}}(rv_{\theta })^{2}\geq 0}$

всюду в интервале; и, кроме того, что распределение нестабильно, если должно уменьшаться где-либо в интервале. ${\displaystyle (rv_{\theta })^{2}}$ Поскольку представляет собой угловой момент на единицу массы элемента жидкости вокруг оси вращения, альтернативный способ сформулировать критерий таков: стратификация углового момента вокруг оси стабильна, если и только если она монотонно увеличивается наружу. ${\displaystyle |rv_{\theta }|}$

Применение этого критерия к течению Тейлора-Куэтта показывает, что течение устойчиво, если , т.е. для устойчивости внешний цилиндр должен вращаться (в том же направлении) с угловой скоростью, большей, чем -кратная угловая скорость внутреннего цилиндра. Критерий Рэлея нарушается ( ) во всей жидкости, когда . С другой стороны, когда цилиндры вращаются в противоположных направлениях, т.е. когда , критерий Рэлея нарушается только во внутренней области, т.е. для , где . ${\displaystyle \mu >\eta ^{2}}$ ${\displaystyle \eta ^{2}}$ ${\displaystyle \Phi <0}$ ${\displaystyle 0<\mu <\eta ^{2}}$ ${\displaystyle \mu <0}$ ${\displaystyle \Phi (r)<0}$ ${\displaystyle \eta <r/R_{2}<\eta _{0}}$ ${\displaystyle \eta _{0}=\eta [(1+|\mu |)/(\eta ^{2}+|\mu |)]^{1/2}}$

Критерий Тейлора

В своей основополагающей работе GI Taylor нашел критерий неустойчивости в присутствии вязких сил как экспериментально, так и теоретически. В общем, вязкие силы, как обнаружено, задерживают начало неустойчивости, предсказанной критерием Рэлея. Устойчивость характеризуется тремя параметрами, а именно, и числом Тейлора ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mathrm {Ta} ={\frac {4\Omega _{1}^{2}R_{1}^{4}}{\nu ^{2}}}{\frac {(1-\mu )(1-\mu /\eta ^{2})}{(1-\eta ^{2})^{2}}}.}$

Первый результат относится к тому факту, что течение устойчиво при , что соответствует критерию Рэлея. Однако существуют также устойчивые случаи в определенном параметрическом диапазоне для . ${\displaystyle \mu >\eta ^{2}}$ ${\displaystyle \mu <\eta ^{2}}$

Тейлор получил явный критерий для узкого зазора, в котором кольцевой зазор мал по сравнению со средним радиусом , или, другими словами, . Более точное определение числа Тейлора в приближении тонкого зазора: ${\displaystyle R_{2}-R_{1}}$ ${\displaystyle (R_{1}+R_{2})/2}$ ${\displaystyle 1-\eta \ll (1+\eta )/2\approx 1}$

${\displaystyle \mathrm {Ta} =-{\frac {2A\Omega _{1}R_{2}^{4}}{\nu ^{2}}}(1-\eta )^{4}(1+\mu ).}$

В терминах этого числа Тейлора было обнаружено, что критическое условие для вращения в одном направлении равно

${\displaystyle \mathrm {Ta} _{c}=1708,\quad 0\leq \mu \leq 1.}$

Так как , критическое число Тейлора определяется выражением ${\displaystyle \mu \rightarrow 1}$

${\displaystyle \mathrm {Ta} _{c}=1707.76\left[1-0.00761\left({\frac {1-\mu }{1+\mu }}\right)^{2}\right].}$

Вихрь Тейлора

Линии тока, показывающие вихри Тейлора-Куэтта в радиально-вертикальной плоскости при Re = 950

Вихри Тейлора (также названные в честь сэра Джеффри Ингрэма Тейлора ) — это вихри, образующиеся во вращающемся потоке Тейлора-Куэтта, когда число Тейлора ( ) потока превышает критическое значение . ${\displaystyle \mathrm {Ta} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} }$

Для потока, в котором

${\displaystyle \mathrm {Ta} <\mathrm {Ta_{c}} ,}$

неустойчивости в потоке отсутствуют, т. е. возмущения потока гасятся вязкими силами, и поток становится устойчивым. Но, поскольку превышает , появляются осесимметричные неустойчивости. Природа этих неустойчивостей заключается в обмене устойчивостями (а не в сверхустойчивости), и результатом является не турбулентность, а скорее устойчивая вторичная структура течения, которая возникает, в которой в потоке образуются большие тороидальные вихри, наложенные друг на друга. Это вихри Тейлора. В то время как механика жидкости исходного потока является неустойчивой, когда , новый поток, называемый потоком Тейлора–Куэтта , с присутствующими вихрями Тейлора, фактически устойчив, пока поток не достигнет большого числа Рейнольдса , в этой точке поток переходит в неустойчивый «волнистый вихревой» поток, предположительно, указывая на наличие неосесимметричных неустойчивостей. ${\displaystyle \mathrm {Ta} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ta} >\mathrm {Ta_{c}} }$

Идеализированная математическая задача ставится путем выбора конкретного значения , и . Как и снизу, критическое число Тейлора равно ^{[4] [8] [9] [10] [11]} ⁠⁠ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \mathrm {Ta} }$ ${\displaystyle \eta \rightarrow 1}$ ${\displaystyle \mu \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} \simeq 1708}$

Круговой эксперимент Куэтта Голлуба–Суинни

В 1975 году JP Gollub и HL Swinney опубликовали статью о возникновении турбулентности во вращающейся жидкости. В системе потока Тейлора-Куэтта они наблюдали, что по мере увеличения скорости вращения жидкость расслаивается в кучу «жидких пончиков». При дальнейшем увеличении скорости вращения пончики колеблются и закручиваются и, наконец, становятся турбулентными. ^[12] Их исследование помогло установить сценарий Рюэлля-Такенса в турбулентности, ^[13] который является важным вкладом Флориса Такенса и Дэвида Рюэлля в понимание того, как гидродинамические системы переходят от устойчивых режимов течения к турбулентным. Хотя основным, определяющим фактором для этого перехода является число Рейнольдса , существуют и другие важные влияющие факторы: является ли поток открытым (то есть есть боковой восходящий и нисходящий поток) или закрытым (поток ограничен сбоку; например, вращающийся), и ограниченным (находящимся под влиянием эффектов стенок) или неограниченным (не зависящим от эффектов стенок). Согласно этой классификации течение Тейлора–Куэтта является примером течения, формирующегося в замкнутой ограниченной системе течения.

Ссылки

1. Тейлор, Джеффри И. (1923). «Устойчивость вязкой жидкости, заключенной между двумя вращающимися цилиндрами». Philosophical Transactions of the Royal Society of London . Серия A, содержащая статьи математического или физического характера. 223 (605–615): 289–343. Bibcode : 1923RSPTA.223..289T. doi : 10.1098/rsta.1923.0008 . JSTOR  91148.
2. Andereck, CD; Liu, SS; Swinney, HL (1986). «Режимы течения в круговой системе Куэтта с независимо вращающимися цилиндрами». Journal of Fluid Mechanics . 164 : 155–183. Bibcode : 1986JFM...164..155A. doi : 10.1017/S0022112086002513. S2CID  122768769.
3. Дразин, Филип Г .; Рид, Уильям Хилл (2004). Гидродинамическая устойчивость . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-52541-1.
4. Davey (1962). «Рост вихрей Тейлора в потоке между вращающимися цилиндрами». Журнал механики жидкости . 14 (3): 336–368. doi :10.1017/S0022112062001287. S2CID  122884625.
5. Рэлей, Лорд. «Об устойчивости или неустойчивости некоторых движений жидкости. Научные труды, 3». (1880): 594-596.
6. Рэлей, Лорд. «О динамике вращающихся жидкостей». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера 93.648 (1917): 148-154.
7. Чандрасекар, Субраманьян. Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость. Courier Corporation, 2013.
8. Weisberg, AY; Kevrekidis, IG ; Smits, AJ (1997). «Задержка перехода в течении Тейлора–Куэтта с осевым движением внутреннего цилиндра». Журнал механики жидкости . 348 : 141–151. doi :10.1017/S0022112097006630. S2CID  49329964.
9. Takeda, Y. (1999). «Квазипериодическое состояние и переход к турбулентности во вращающейся системе Куэтта». Журнал механики жидкости . 389 (1): 81–99. Bibcode : 1999JFM...389...81T. doi : 10.1017/S0022112099005091. S2CID  4842053.
10. Wereley, ST; Lueptow, RM (1999). "Поле скоростей для течения Тейлора–Куэтта с осевым потоком". Physics of Fluids . 11 (12): 3637–3649. Bibcode :1999PhFl...11.3637W. doi :10.1063/1.870228.
11. Marques, F.; Lopez, JM; Shen, J. (2001). «Периодически вынужденный поток, демонстрирующий нарушение симметрии посредством бифуркации склеивания трех торов и резонансов двух торов». Physica D: Nonlinear Phenomena . 156 (1–2): 81–97. Bibcode :2001PhyD..156...81M. CiteSeerX 10.1.1.23.8712 . doi :10.1016/S0167-2789(01)00261-5. 
12. Gollub, JP; Swinney, HL (1975). «Начало турбулентности во вращающейся жидкости». Physical Review Letters . 35 (14): 927–930. Bibcode : 1975PhRvL..35..927G. doi : 10.1103/PhysRevLett.35.927.
13. Гукенхаймер, Джон (1983). «Странные аттракторы в динамике жидкостей». Динамическая система и хаос . Конспект лекций по физике. Том 179. Springer Berlin. С. 149–156. doi :10.1007/3-540-12276-1_10. ISBN 978-3-540-12276-0.

Дальнейшее чтение

• Chossat, P.; Iooss, G. (1992). Проблема Куэтта–Тейлора . Прикладные математические науки. Том 102. Springer. doi :10.1007/978-1-4612-4300-7. ISBN 978-0387941547.
• Koschmieder, EL (1993). Ячейки Бенара и вихри Тейлора . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40204-0.