Вращение

Движение объекта вокруг оси

Шар, вращающийся вокруг оси.

Вращение или вращательное движение — это круговое движение объекта вокруг центральной линии, известной как ось вращения . Плоская фигура может вращаться как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки вокруг перпендикулярной оси, пересекающейся в любом месте внутри или снаружи фигуры в центре вращения . Твердая фигура имеет бесконечное число возможных осей и углов вращения , включая хаотическое вращение (между произвольными ориентациями ), в отличие от вращения вокруг фиксированной оси .

Частный случай вращения с внутренней осью, проходящей через собственный центр масс тела , известен как спин (или авторотация ). ^[1] В этом случае поверхность пересечения внутренней оси вращения можно назвать полюсом ; например, вращение Земли определяет географические полюса . Вращение вокруг оси, полностью внешней по отношению к движущемуся телу, называется вращением (или орбитой ), например, орбита Земли вокруг Солнца . Концы внешней оси вращения можно назвать орбитальными полюсами . ^[1]

Каждый тип вращения связан с соответствующим типом угловой скорости (спиновой угловой скорости и орбитальной угловой скорости) и углового момента (спинового углового момента и орбитального углового момента).

Математика

Вращение ( угловое перемещение ) плоской фигуры вокруг точки

Вращательная орбита v спин

Соотношения между осью вращения, плоскостью орбиты и наклоном оси (для Земли)

Математически вращение — это движение твердого тела , которое, в отличие от трансляции , сохраняет по крайней мере одну точку неподвижной. Это определение применимо к вращениям в двух измерениях (на плоскости), в которых ровно одна точка остается неподвижной; а также в трех измерениях (в пространстве), в которых дополнительные точки могут оставаться неподвижными (как при вращении вокруг неподвижной оси, как бесконечная линия).

Все движения твердого тела представляют собой вращения, поступательные перемещения или их комбинации.

Вращение — это просто прогрессивная радиальная ориентация к общей точке. Эта общая точка лежит внутри оси этого движения. Ось перпендикулярна плоскости движения.

Если за вращением вокруг точки или оси следует второе вращение вокруг той же точки/оси, получается третье вращение. Обратное ( инверсное ) вращение также является вращением. Таким образом, вращения вокруг точки/оси образуют группу . Однако вращение вокруг точки или оси и вращение вокруг другой точки/оси могут привести к чему-то иному, чем вращение, например, к трансляции.

Вращения вокруг осей x , y и z называются главными вращениями . Вращение вокруг любой оси может быть выполнено путем вращения вокруг оси x , за которым следует вращение вокруг оси y , а затем вращение вокруг оси z . То есть любое пространственное вращение можно разложить на комбинацию главных вращений.

Фиксированная ось против фиксированной точки

Комбинация любой последовательности вращений объекта в трех измерениях вокруг фиксированной точки всегда эквивалентна вращению вокруг оси (которое можно считать вращением в плоскости, перпендикулярной этой оси). Аналогично, скорость вращения объекта в трех измерениях в любой момент времени равна некоторой оси, хотя эта ось может меняться с течением времени.

В других измерениях, кроме трех, не имеет смысла описывать вращение как вращение вокруг оси, поскольку более одной оси, проходящей через объект, могут быть зафиксированы; вместо этого простые вращения описываются как происходящие в плоскости. В четырех или более измерениях комбинация двух или более вращений вокруг плоскости в общем случае не является вращением в одной плоскости.

Ось двумерного вращения

Двумерные вращения, в отличие от трехмерных, не имеют оси вращения, а только точку, вокруг которой происходит вращение. Это эквивалентно для линейных преобразований утверждению, что нет направления в плоскости, которое не изменилось бы при двумерном вращении, за исключением, конечно, тождества.

Вопрос о существовании такого направления — это вопрос о существовании собственного вектора для матрицы A, представляющей вращение. Каждое двумерное вращение вокруг начала координат на угол против часовой стрелки может быть довольно просто представлено следующей матрицей : ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$

Стандартное определение собственного значения приводит к характеристическому уравнению

${\displaystyle \lambda ^{2}-2\lambda \cos \theta +1=0,}$

который имеет

${\displaystyle \cos \theta \pm i\sin \theta }$

как его собственные значения. Следовательно, нет никакого действительного собственного значения, когда , что означает, что никакой действительный вектор в плоскости не остается неизменным при A . ${\displaystyle \cos \theta \neq \pm 1}$

Угол поворота и ось в 3-х измерениях

Зная, что след является инвариантом, угол поворота для правильной ортогональной матрицы поворота 3×3 находится по формуле ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \alpha =\cos ^{-1}\left({\frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}}\right)}$

Используя главный арккосинус, эта формула дает угол поворота, удовлетворяющий . Соответствующая ось поворота должна быть определена так, чтобы указывать в направлении, которое ограничивает угол поворота, не превышая 180 градусов. (Это всегда можно сделать, поскольку любой поворот более чем на 180 градусов вокруг оси всегда можно записать как поворот, имеющий , если ось заменить на .) ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 180^{\circ }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 180^{\circ }}$ ${\displaystyle n=-m}$

Каждое собственное вращение в трехмерном пространстве имеет ось вращения, которая определяется таким образом, что любой вектор , выровненный с осью вращения, не будет затронут вращением. Соответственно, , и ось вращения, следовательно, соответствует собственному вектору матрицы вращения, связанной с собственным значением 1. Пока угол вращения не равен нулю (т. е. вращение не является единичным тензором), существует одно и только одно такое направление. Поскольку A имеет только действительные компоненты, существует по крайней мере одно действительное собственное значение, а оставшиеся два собственных значения должны быть комплексно сопряженными друг другу (см. Собственные значения и собственные векторы# Собственные значения и характеристический многочлен ). Зная, что 1 является собственным значением, следует, что оставшиеся два собственных значения являются комплексно сопряженными друг другу, но это не означает, что они являются комплексными — они могут быть действительными с двойной кратностью. В вырожденном случае угла поворота оставшиеся два собственных значения оба равны −1. В вырожденном случае нулевого угла поворота матрица поворота является тождеством, и все три собственных значения равны 1 (это единственный случай, когда ось поворота произвольна). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Av=v}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =180^{\circ }}$

Спектральный анализ не требуется для нахождения оси вращения. Если обозначает единичный собственный вектор, выровненный с осью вращения, а если обозначает угол поворота, то можно показать, что . Следовательно, затрат на анализ собственных значений можно избежать, просто нормализуя этот вектор, если он имеет ненулевую величину. С другой стороны, если этот вектор имеет нулевую величину, это означает, что . Другими словами, этот вектор будет равен нулю тогда и только тогда, когда угол поворота равен 0 или 180 градусам, и ось вращения может быть назначена в этом случае путем нормализации любого столбца, имеющего ненулевую величину. ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 2\sin(\alpha )n=\{A_{32}-A_{23},A_{13}-A_{31},A_{21}-A_{12}\}}$ ${\displaystyle \sin(\alpha )=0}$ ${\displaystyle A+I}$

Это обсуждение применимо к правильному вращению, и, следовательно , . Любая неправильная ортогональная матрица 3x3 может быть записана как , в которой является правильной ортогональностью. То есть, любая неправильная ортогональная матрица 3x3 может быть разложена как правильное вращение (из которого ось вращения может быть найдена, как описано выше), за которым следует инверсия (умножение на −1). Из этого следует, что ось вращения также является собственным вектором , соответствующим собственному значению −1. ${\displaystyle \det A=1}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B=-A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Плоскость вращения

Поскольку каждое трехмерное вращение имеет ось вращения, каждое трехмерное вращение имеет плоскость, перпендикулярную оси вращения, которая остается инвариантной вращением. Вращение, ограниченное этой плоскостью, является обычным двумерным вращением.

Доказательство проводится аналогично обсуждению выше. Во-первых, предположим, что все собственные значения трехмерной матрицы вращения A действительны. Это означает, что существует ортогональный базис, образованный соответствующими собственными векторами (которые обязательно ортогональны), над которым эффект матрицы вращения просто растягивает его. Если мы запишем A в этом базисе, он будет диагональным; но диагональная ортогональная матрица состоит только из +1 и −1 в диагональных элементах. Следовательно, у нас нет собственного вращения, а есть либо тождество, либо результат последовательности отражений.

Из этого следует, что правильное вращение имеет некоторое комплексное собственное значение. Пусть v — соответствующий собственный вектор. Тогда, как мы показали в предыдущей теме, — также собственный вектор, а и таковы, что их скалярное произведение равно нулю: ${\displaystyle {\bar {v}}}$ ${\displaystyle v+{\bar {v}}}$ ${\displaystyle i(v-{\bar {v}})}$

${\displaystyle i(v^{\text{T}}+{\bar {v}}^{\text{T}})(v-{\bar {v}})=i(v^{\text{T}}v-{\bar {v}}^{\text{T}}{\bar {v}}+{\bar {v}}^{\text{T}}v-v^{\text{T}}{\bar {v}})=0}$

поскольку является действительным числом, оно равно своему комплексно сопряженному числу , а и являются представлениями одного и того же скалярного произведения между и . ${\displaystyle {\bar {v}}^{\text{T}}{\bar {v}}}$ ${\displaystyle v^{\text{T}}v}$ ${\displaystyle {\bar {v}}^{\text{T}}v}$ ${\displaystyle v^{\text{T}}{\bar {v}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\bar {v}}}$

Это означает, что и являются ортогональными векторами. Кроме того, они оба являются действительными векторами по построению. Эти векторы охватывают то же подпространство, что и , которое является инвариантным подпространством относительно применения A . Следовательно, они охватывают инвариантную плоскость. ${\displaystyle v+{\bar {v}}}$ ${\displaystyle i(v-{\bar {v}})}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\bar {v}}}$

Эта плоскость ортогональна инвариантной оси, которая соответствует оставшемуся собственному вектору A с собственным значением 1 из-за ортогональности собственных векторов A.

Вращение векторов

Вектор называется вращающимся, если он меняет свою ориентацию. Этот эффект обычно сопровождается только тогда, когда его вектор скорости изменения имеет ненулевую перпендикулярную составляющую к исходному вектору. Это можно показать, рассмотрев вектор, параметризованный некоторой переменной , для которой: ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\textstyle t}$

${\displaystyle {d|{\vec {A}}|^{2} \over dt}={d({\vec {A}}\cdot {\vec {A}}) \over dt}\Rightarrow {d|{\vec {A}}| \over dt}={d{\vec {A}} \over dt}\cdot {\hat {A}}}$

Что также дает отношение скорости изменения единичного вектора, принимая , в качестве такого вектора: показывая, что вектор перпендикулярен вектору . [ ^3] ${\displaystyle {\vec {A}}}$ $${\displaystyle {d{\hat {A}} \over dt}\cdot {\hat {A}}=0}$$ ${\textstyle {d{\hat {A}} \over dt}}$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$

От:

${\displaystyle {d{\vec {A}} \over dt}={d(|{\vec {A}}|{\hat {A}}) \over dt}={d|{\vec {A}}| \over dt}{\hat {A}}+|{\vec {A}}|\left({d{\hat {A}} \over dt}\right)}$,

Поскольку первый член параллелен , а второй перпендикулярен ему, мы можем заключить в общем случае, что параллельная и перпендикулярная компоненты скорости изменения вектора независимо влияют только на величину или ориентацию вектора соответственно. Следовательно, вращающийся вектор всегда имеет ненулевую перпендикулярную компоненту своего вектора скорости изменения по отношению к самому вектору. ${\displaystyle {\vec {A}}}$

В более высоких измерениях

С увеличением размеров увеличивается число векторов вращения . Вдоль четырехмерного пространства ( гиперобъема ) вращения происходят вдоль осей x, y, z и w. Объект, вращаемый по оси aw, пересекается через различные объемы , где каждое пересечение равно замкнутому объему под углом. Это дает путь к новой оси вращения в 4d гиперобъеме, где 3d объект может вращаться перпендикулярно оси z. ^{[4] [5]}

Физика

Скорость вращения определяется угловой частотой (рад/с) или частотой ( оборотов за время), или периодом (секунды, дни и т. д.). Скорость изменения угловой частоты во времени — это угловое ускорение (рад/с ² ), вызванное крутящим моментом . Отношение крутящего момента к угловому ускорению определяется моментом инерции .

Вектор угловой скорости ( аксиальный вектор ) также описывает направление оси вращения. Аналогично, крутящий момент является аксиальным вектором.

Физика вращения вокруг фиксированной оси математически описывается с помощью представления вращения ось-угол . Согласно правилу правой руки , направление от наблюдателя связано с вращением по часовой стрелке, а направление к наблюдателю — с вращением против часовой стрелки, как у винта .

Круговое движение

Движение слева, пример криволинейного перемещения, нельзя рассматривать как вращение, поскольку не происходит изменения ориентации, тогда как движение справа можно рассматривать как вращение.

Объекты могут иметь периодические круговые траектории без изменения своей ориентации . Эти типы движения рассматриваются как круговое движение вместо вращения, а точнее как криволинейный перенос. Поскольку перенос подразумевает перемещение твердых тел с сохранением ориентации тела, в случае криволинейного переноса все точки имеют одинаковую мгновенную скорость, тогда как относительное движение можно наблюдать только в движениях, включающих вращение. ^[6]

При вращении ориентация объекта изменяется, и изменение ориентации не зависит от наблюдателей, чьи системы отсчета имеют постоянную относительную ориентацию с течением времени. По теореме Эйлера любое изменение ориентации можно описать вращением вокруг оси, проходящей через выбранную точку отсчета. ^[6] Следовательно, различие между вращением и круговым движением можно провести, потребовав мгновенную ось для вращения, линию, проходящую через мгновенный центр окружности и перпендикулярную плоскости движения . В примере, изображающем криволинейный перенос, центр окружности для движения лежит на прямой линии, но она параллельна плоскости движения и, следовательно, не разрешается в ось вращения. Напротив, вращающееся тело всегда будет иметь мгновенную ось нулевой скорости, перпендикулярную плоскости движения. ^[7]

В более общем смысле, благодаря теореме Шаля , любое движение твердых тел можно рассматривать как композицию вращения и поступательного движения , называемую общим плоским движением. ^[6] Простой пример чистого вращения рассматривается при вращении вокруг фиксированной оси .

Космологический принцип

В настоящее время считается, что законы физики инвариантны при любом фиксированном вращении . (Хотя они, по-видимому, изменяются, если смотреть с вращающейся точки зрения: см. вращающаяся система отсчета .)

В современной физической космологии космологический принцип — это представление о том, что распределение материи во Вселенной однородно и изотропно , если рассматривать его в достаточно большом масштабе, поскольку ожидается, что силы будут действовать равномерно по всей Вселенной и не будут иметь выделенного направления, и, следовательно, не должны вызывать никаких наблюдаемых нарушений в крупномасштабной структуре в ходе эволюции поля материи, изначально заложенного Большим взрывом.

В частности, для системы, которая ведет себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве, ее лагранжиан инвариантен относительно вращения . Согласно теореме Нётер , если действие ( интеграл по времени от ее лагранжиана) физической системы инвариантно относительно вращения, то момент импульса сохраняется .

Повороты Эйлера

Эйлеровы вращения Земли. Внутреннее (зеленый), прецессия (синий) и нутация (красный)

Вращения Эйлера предоставляют альтернативное описание вращения. Это композиция из трех вращений, определяемых как движение, полученное путем изменения одного из углов Эйлера при сохранении двух других постоянными. Вращения Эйлера никогда не выражаются в терминах внешней системы отсчета или в терминах сопутствующей вращающейся системы отсчета тела, а в смеси. Они представляют собой смешанную систему осей вращения, где первый угол перемещает линию узлов вокруг внешней оси z , второй вращается вокруг линии узлов , а третий является внутренним вращением вокруг оси, закрепленной в движущемся теле.

Эти вращения называются прецессией , нутацией и собственным вращением .

Астрономия

Следы звезд , вызванные вращением Земли во время длительной экспозиции камеры ^[8]

В астрономии вращение — часто наблюдаемое явление; оно включает в себя как вращение (автовращение), так и орбитальное вращение.

Вращаться

Звезды , планеты и подобные тела могут вращаться вокруг своих осей. Скорость вращения планет в Солнечной системе была впервые измерена путем отслеживания визуальных особенностей. Вращение звезд измеряется с помощью доплеровского сдвига или путем отслеживания активных особенностей поверхности. Примером являются солнечные пятна , которые вращаются вокруг Солнца с той же скоростью, что и внешние газы, из которых состоит Солнце.

При некоторых обстоятельствах вращающиеся по орбите тела могут блокировать свое вращение спина с орбитальным вращением вокруг более крупного тела. Этот эффект называется приливным замком ; Луна приливно заблокирована по отношению к Земле.

Это вращение вызывает центробежное ускорение в системе отсчета Земли, которое слегка противодействует эффекту гравитации , чем ближе она находится к экватору . Гравитация Земли объединяет оба эффекта массы, так что объект весит немного меньше на экваторе, чем на полюсах. Другое заключается в том, что со временем Земля слегка деформируется в сплющенный сфероид ; аналогичная экваториальная выпуклость развивается и у других планет.

Другим следствием вращения планеты являются явления прецессии и нутации . Подобно гироскопу , общий эффект представляет собой небольшое «колебание» в движении оси планеты. В настоящее время наклон оси Земли к ее орбитальной плоскости ( наклон эклиптики ) составляет 23,44 градуса, но этот угол медленно меняется (в течение тысяч лет). (См. также Прецессия равноденствий и Полярная звезда .)

Революция

Хотя вращение часто используется как синоним вращения , во многих областях, особенно в астрономии и смежных областях, вращение , часто называемое для ясности орбитальным вращением , используется, когда одно тело движется вокруг другого, в то время как вращение используется для обозначения движения вокруг оси. Луны вращаются вокруг своих планет, планеты вращаются вокруг своих звезд (например, Земля вокруг Солнца); а звезды медленно вращаются вокруг своих галактических центров . Движение компонентов галактик сложное, но обычно оно включает компонент вращения.

Ретроградное вращение

Большинство планет Солнечной системы , включая Землю , вращаются в том же направлении, в котором они вращаются вокруг Солнца . Исключениями являются Венера и Уран . Венеру можно считать медленно вращающейся назад (или «перевернутой»). Уран вращается почти на боку относительно своей орбиты. Текущее предположение заключается в том, что Уран начал с типичной прямой ориентации и был сбит на бок сильным ударом в начале своей истории. Карликовая планета Плутон (ранее считавшаяся планетой) аномальна в нескольких отношениях, включая то, что она также вращается на боку.

Динамика полета

Главные оси вращения в пространстве

В динамике полета основные вращения, описанные выше с помощью углов Эйлера, известны как тангаж , крен и рыскание . Термин вращение также используется в авиации для обозначения восходящего тангажа (нос движется вверх) самолета, особенно при начале набора высоты после взлета.

Главные вращения имеют преимущество моделирования ряда физических систем, таких как карданные подвесы и джойстики , поэтому их легко визуализировать, и они являются очень компактным способом хранения вращения. Но их трудно использовать в расчетах, поскольку даже простые операции, такие как комбинирование вращений, требуют больших затрат и страдают от формы карданного замка , когда углы не могут быть однозначно рассчитаны для определенных вращений.

Аттракционы

Многие аттракционы обеспечивают вращение. Колесо обозрения имеет горизонтальную центральную ось и параллельные оси для каждой гондолы, где вращение противоположно, под действием силы тяжести или механически. В результате в любой момент времени ориентация гондолы вертикальная (не повернута), просто переносится. Кончик вектора переноса описывает окружность. Карусель обеспечивает вращение вокруг вертикальной оси. Многие аттракционы обеспечивают комбинацию вращений вокруг нескольких осей. В Chair-O-Planes вращение вокруг вертикальной оси обеспечивается механически, в то время как вращение вокруг горизонтальной оси происходит за счет центростремительной силы . В инверсиях американских горок вращение вокруг горизонтальной оси составляет один или несколько полных циклов, где инерция удерживает людей на своих местах.

Спорт

Вращение мяча или другого объекта, обычно называемое спином , играет роль во многих видах спорта, включая топспин и бэкспин в теннисе , английский , фолл и дрейф в бильярде и пуле , крученые мячи в бейсболе , спин-боулинг в крикете , виды спорта с летающим диском и т. д. Ракетки для настольного тенниса изготавливаются с различными характеристиками поверхности, что позволяет игроку придавать мячу большее или меньшее вращение.

Вращение игрока один или несколько раз вокруг вертикальной оси может называться вращением в фигурном катании , вращением (палочки или исполнителя) при вращении палочки или на 360 , 540 , 720 и т. д. в сноуборде и т. д. Вращение игрока или исполнителя один или несколько раз вокруг горизонтальной оси может называться сальто , кувырком , кувырком , хели и т. д. в гимнастике , воднолыжном спорте или многих других видах спорта, или полутораоборотным , двухс половинойоборотным , гейнером (старт лицом от воды) и т. д. в прыжках в воду и т. д. Сочетание вертикального и горизонтального вращения (сальто назад на 360°) называется мёбиусом в воднолыжном фристайле .

Вращение игрока вокруг вертикальной оси, как правило, между 180 и 360 градусами, может называться спин-ходом и используется как обманный или уклончивый маневр, или в попытке сыграть, передать или получить мяч или шайбу и т. д., или предоставить игроку вид на ворота или других игроков. Это часто можно увидеть в хоккее , баскетболе , футболе различных кодов, теннисе и т. д.

Смотрите также

• Абсолютное вращение  – вращение, не зависящее от какой-либо внешней точки отсчета
• Круговое движение
• Циклон – крупномасштабная вращающаяся воздушная масса.
• Мгновенный центр вращения – мгновенно зафиксированная точка на произвольно движущемся твердом теле.
• Принцип Маха – спекулятивная гипотеза о том, что физический закон связывает движение далеких звезд с местной инерциальной системой отсчета.
• Ориентация (геометрия)
• Точечное отражение
• Качение – движение двух тел, соприкасающихся друг с другом, без скольжения.
• Вращение (количество) – безразмерная скалярная величина, представляющая количество вращений.
• Вращение вокруг фиксированной оси
• Формализмы вращения в трех измерениях
• Вращательное движение в живых системах
• Верх – крутящаяся игрушка

Ссылки

1. Wormeli, R. (2009). Метафоры и аналогии: мощные инструменты для преподавания любого предмета. Stenhouse Publishers. стр. 28. ISBN 978-1-57110-758-9. Получено 27.07.2023 .
2. Брэннон, Р.М., «Вращение, отражение и смена кадра», 2018 г.
3. Кумар, Н.; Кумар, Навин (2004). Обобщенное движение твердого тела . Пангборн, Великобритания: Alpha Science International Ltd. стр. 5. ISBN 978-1-84265-160-5.
4. Янь, Сяоци; Фу, Чи-Винг; Хансон, Эндрю Дж. (29 сентября 2012 г.). «Мультиприкосновение четвертого измерения». Computer . 45 (9): 80–88. doi :10.1109/MC.2012.77 – через Semantic Scholar.
5. Кагеяма, Акира (1 августа 2016 г.). «Метод визуализации четырехмерных многогранников с помощью овального отображения параллельных гиперплоских срезов». Журнал визуализации . 19 (3): 417–422. arXiv : 1607.01102 . doi :10.1007/s12650-015-0319-5 – через Springer Link.
6. Харрисон, Х.; Неттлтон, Т. (1997-08-01). "Движение твердого тела в трех измерениях". Advanced Engineering Dynamics. Butterworth-Heinemann. стр. 55. ISBN 978-0-08-052335-4.
7. Хиббелер, RC (2007). "Плоская кинематика твердого тела: мгновенный центр нулевой скорости". Инженерная механика: Статика и динамика. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-221509-1.
8. "Оазис или тайное логово?". ESO Picture of the Week . Архивировано из оригинала 11 октября 2013 года . Получено 8 октября 2013 года .

Внешние ссылки

• «Вращение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Продукт Вращений в cut-the-knot . cut-the-knot.org
• Когда треугольник равносторонний в cut-the-knot. cut-the-knot.org
• Поворот точек с использованием полярных координат, howtoproperly.com
• Вращение в двух измерениях Серхио Ганнибала Мехии по мотивам работ Роджера Гермундссона и Понимание вращения в 3D Роджера Гермундссона, Проект демонстраций Wolfram . demonstrations.wolfram.com
• Вращение, отражение и смена системы отсчета: ортогональные тензоры в вычислительной инженерной механике, IOP Publishing