Среднее время пребывания (иногда среднее время ожидания ) объекта в системе — это количество времени, которое объект, как ожидается, проведет в системе, прежде чем покинет ее навсегда.
Представьте, что вы стоите в очереди, чтобы купить билет у стойки. Если через минуту вы увидите количество клиентов, которые стоят за вами, это можно рассматривать как (грубую) оценку количества клиентов, входящих в систему (здесь, очередь ожидания) за единицу времени (здесь, минуту). Если вы затем разделите количество клиентов перед вами на этот «поток» клиентов, вы просто оцените время ожидания, которое вам следует ожидать; т. е. время, которое вам потребуется, чтобы дойти до стойки, и это действительно грубая оценка.
Чтобы формализовать это как-то, рассмотрим очередь ожидания как систему S, в которую есть поток частиц (клиентов) и где процесс «купить билет» означает, что частица покидает систему. Время ожидания, которое мы рассмотрели выше, обычно называют временем транзита, а теорему, которую мы применили, иногда называют теоремой Литтла, которую можно сформулировать так: ожидаемое стационарное число частиц в системе S равно потоку частиц в S, умноженному на среднее время транзита. Похожие теоремы были обнаружены в других областях, и в физиологии она ранее была известна как одно из уравнений Стюарта-Гамильтона (например, используемое для оценки объема крови органов).
Этот принцип (или теорема) можно обобщить. Итак, рассмотрим систему S в виде замкнутой области конечного объема в евклидовом пространстве . И далее рассмотрим ситуацию, когда в S есть поток «эквивалентных» частиц (число частиц в единицу времени), где каждая частица сохраняет свою идентичность, находясь в S, и в конечном итоге — через конечное время — необратимо покидает систему (т.е. для этих частиц система «открыта»). Рисунок
изображает историю движения мысли одной такой частицы, которая таким образом входит и выходит из подсистемы s три раза, каждый из которых приводит к транзитному времени, а именно времени, проведенному в подсистеме между входом и выходом. Сумма этих транзитных времен является временем пребывания s для этой конкретной частицы. Если движения частиц рассматриваются как реализации одного и того же стохастического процесса, имеет смысл говорить о среднем значении этого времени пребывания. То есть среднее время пребывания подсистемы является общим временем, которое частица, как ожидается, проведет в подсистеме s, прежде чем навсегда покинет систему S.
Чтобы увидеть практическое значение этой величины, давайте примем в качестве закона физики, что если поток частиц в S постоянен и все другие соответствующие факторы остаются неизменными, S в конечном итоге достигнет устойчивого состояния (т.е. число и распределение частиц постоянны всюду в S). Тогда можно продемонстрировать, что устойчивое число частиц в подсистеме s равно потоку частиц в систему S, умноженному на среднее время пребывания подсистемы. Таким образом, это более общая форма того, что выше называлось теоремой Литтла, и ее можно назвать эквивалентностью массы и времени :
который иногда назывался принципом занятости (то, что здесь называется средним временем пребывания, тогда именуется занятостью; возможно, не совсем удачный термин, поскольку он предполагает наличие определенного числа «мест» в системе S). Эта эквивалентность массы и времени нашла применение, скажем, в медицине для изучения метаболизма отдельных органов.
Опять же, здесь мы имеем дело с обобщением того, что в теории массового обслуживания иногда называют теоремой Литтла, которая, и это важно, применима только ко всей системе S (а не к произвольной подсистеме, как в эквивалентности массы и времени); среднее время пребывания в теореме Литтла можно интерпретировать как среднее время прохождения.
Как должно быть очевидно из обсуждения рисунка выше, существует фундаментальное различие между значением двух величин время пребывания и транзитное время: общность эквивалентности массы и времени во многом обусловлена особым значением понятия время пребывания. Когда рассматривается вся система (как в законе Литтла ), верно ли, что время пребывания всегда равно транзитному времени.