Правильное время

Прошедшее время между двумя событиями, измеренное часами, проходящими через оба события

В теории относительности собственное время (от лат. own time, что означает собственное время ) вдоль времениподобной мировой линии определяется как время , измеряемое часами , следующими по этой линии. Интервал собственного времени между двумя событиями на мировой линии — это изменение собственного времени, которое не зависит от координат и является скаляром Лоренца . ^[1] Интервал — это величина, представляющая интерес, поскольку само собственное время фиксировано только с точностью до произвольной аддитивной константы, а именно установки часов при некотором событии вдоль мировой линии.

Собственный временной интервал между двумя событиями зависит не только от событий, но и от мировой линии, соединяющей их, и, следовательно, от движения часов между событиями. Он выражается как интеграл по мировой линии (аналогично длине дуги в евклидовом пространстве ). Ускоренные часы будут измерять меньшее прошедшее время между двумя событиями, чем измеряемое неускоренными ( инерционными ) часами между теми же двумя событиями. Парадокс близнецов является примером этого эффекта. ^[2]

Темно-синяя вертикальная линия представляет собой инерциального наблюдателя, измеряющего интервал координатного времени t между событиями E ₁ и E _2. Красная кривая представляет собой часы, измеряющие свой собственный интервал времени τ между теми же двумя событиями.

По соглашению, собственное время обычно обозначается греческой буквой τ ( тау ), чтобы отличать его от координатного времени, представленного t . Координатное время — это время между двумя событиями, измеренное наблюдателем с использованием его собственного метода назначения времени событию. В особом случае инерциального наблюдателя в специальной теории относительности время измеряется с использованием часов наблюдателя и определения одновременности, данного наблюдателем.

Понятие собственного времени было введено Германом Минковским в 1908 году ^[3] и является важной особенностью диаграмм Минковского .

Математический формализм

Формальное определение собственного времени включает описание пути через пространство-время , представляющего часы, наблюдателя или тестовую частицу, и метрическую структуру этого пространства-времени. Собственное время — это псевдориманова длина дуги мировых линий в четырехмерном пространстве-времени. С математической точки зрения предполагается, что координатное время предопределено, и требуется выражение для собственного времени как функции координатного времени. С другой стороны, собственное время измеряется экспериментально, а координатное время вычисляется из собственного времени инерциальных часов.

Собственное время может быть определено только для времениподобных путей через пространство-время, которые позволяют построить сопутствующий набор физических линеек и часов. Тот же формализм для пространственноподобных путей приводит к измерению собственного расстояния, а не собственного времени. Для светоподобных путей не существует понятия собственного времени, и оно не определено, поскольку интервал пространства-времени равен нулю. Вместо этого должен быть введен произвольный и физически нерелевантный аффинный параметр, не связанный со временем. ^{[4] [5] [6] [7] [8] [9]}

В специальной теории относительности

При использовании временного соглашения для метрической сигнатуры метрика Минковского определяется как , а координаты как для произвольных систем Лоренца. $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)}$$

В любой такой системе отсчета бесконечно малый интервал, здесь предполагаемый как времяподобный, между двумя событиями выражается как

и разделяет точки на траектории частицы (подумайте о часах{?}). Тот же интервал можно выразить в координатах так, что в каждый момент частица находится в состоянии покоя . Такая система отсчета называется мгновенной системой отсчета покоя, обозначенной здесь координатами для каждого момента. Из-за инвариантности интервала (мгновенные системы отсчета покоя, взятые в разное время, связаны преобразованиями Лоренца) можно записать так как в мгновенной системе отсчета покоя частица или сама система отсчета находится в состоянии покоя, т.е. . Поскольку интервал предполагается временным (т.е. ), извлечение квадратного корня из вышеприведенного дает ^[10] или Учитывая это дифференциальное выражение для τ , собственный временной интервал определяется как ${\displaystyle (c\tau ,x_{\tau },y_{\tau },z_{\tau })}$ $${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-dx_{\tau }^{2}-dy_{\tau }^{2}-dz_{\tau }^{2}=c^{2}d\tau ^{2},}$$ ${\displaystyle dx_{\tau }=dy_{\tau }=dz_{\tau }=0}$ ${\displaystyle ds^{2}>0}$ $${\displaystyle ds=cd\tau ,}$$ $${\displaystyle d\tau ={\frac {ds}{c}}.}$$

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {ds}{c}}.}$          (2)

Здесь P — это мировая линия от некоторого начального события до некоторого конечного события, при этом порядок событий фиксирован требованием, чтобы конечное событие произошло позже по часам, чем начальное событие.

Используя (1) и снова инвариантность интервала, можно записать ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \tau &=\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}}\\&=\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-{dx^{2} \over c^{2}}-{dy^{2} \over c^{2}}-{dz^{2} \over c^{2}}}}\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}dt\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}dt\\&=\int _{a}^{b}{\frac {dt}{\gamma (t)}},\end{aligned}}}$          (3)

где — произвольная биективная параметризация мировой линии P, такая, что задает конечные точки P и a < b; v ( t ) — координатная скорость в координатное время t ; и x ( t ) , y ( t ) и z ( t ) — пространственные координаты. Первое выражение явно инвариантно относительно Лоренца. Они все инвариантны относительно Лоренца, поскольку собственное время и интервалы собственного времени по определению не зависят от координат. $${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}):[a,b]\rightarrow P}$$ $${\displaystyle (x^{0}(a),x^{1}(a),x^{2}(a),x^{3}(a))\quad {\text{and}}\quad (x^{0}(b),x^{1}(b),x^{2}(b),x^{3}(b))}$$

Если t , x , y , z параметризованы параметром λ , это можно записать как $${\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda .}$$

Если движение частицы постоянно, выражение упрощается до , где Δ означает изменение координат между начальным и конечным событиями. Определение в специальной теории относительности напрямую обобщается на общую теорию относительности следующим образом. $${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\left(\Delta t\right)^{2}-{\frac {\left(\Delta x\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta y\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta z\right)^{2}}{c^{2}}}}},}$$

В общей теории относительности

Собственное время определяется в общей теории относительности следующим образом: для псевдориманова многообразия с локальными координатами x ^μ и снабженного метрическим тензором g _μν собственный временной интервал Δ τ между двумя событиями вдоль времениподобного пути P задается линейным интегралом ^[12]

Это выражение, как и должно быть, инвариантно относительно изменений координат. Оно сводится (в соответствующих координатах) к выражению специальной теории относительности в плоском пространстве-времени .

Точно так же, как в специальной теории относительности можно выбрать координаты так, что x ¹ , x ² , x ³ = const , это можно сделать и в общей теории относительности. Тогда в этих координатах ^[13] $${\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.}$$

Это выражение обобщает определение (2) и может быть принято за определение. Тогда, используя инвариантность интервала, из него следует уравнение (4) так же, как (3) следует из (2) , за исключением того, что здесь допускаются произвольные изменения координат.

Примеры в специальной теории относительности

Пример 1: «Парадокс» близнецов

Для сценария парадокса близнецов пусть есть наблюдатель A , который движется между A -координатами (0,0,0,0) и (10 лет, 0, 0, 0) по инерции. Это означает, что A остается в течение 10 лет A -координатного времени. Собственный временной интервал для A между двумя событиями тогда равен ${\displaystyle x=y=z=0}$ $${\displaystyle \Delta \tau _{A}={\sqrt {(10{\text{ years}})^{2}}}=10{\text{ years}}.}$$

Таким образом, «состояние покоя» в системе координат специальной теории относительности означает, что собственное время и координатное время совпадают.

Пусть теперь есть другой наблюдатель B , который путешествует в направлении x из (0,0,0,0) в течение 5 лет по координате A со скоростью 0,866 c до (5 лет, 4,33 световых лет, 0, 0). Оказавшись там, B ускоряется и путешествует в другом пространственном направлении еще 5 лет по координате A до (10 лет, 0, 0, 0). Для каждого этапа путешествия собственный временной интервал может быть рассчитан с использованием координат A и определяется как $${\displaystyle \Delta \tau _{leg}={\sqrt {({\text{5 years}})^{2}-({\text{4.33 years}})^{2}}}={\sqrt {6.25\;\mathrm {years} ^{2}}}={\text{2.5 years}}.}$$

Таким образом, общее собственное время для наблюдателя B , чтобы перейти от (0,0,0,0) до (5 лет, 4,33 световых года, 0, 0), а затем до (10 лет, 0, 0, 0), равно $${\displaystyle \Delta \tau _{B}=2\Delta \tau _{leg}={\text{5 years}}.}$$

Таким образом, показано, что уравнение собственного времени включает эффект замедления времени . Фактически, для объекта в пространстве-времени SR (специальной теории относительности), движущегося со скоростью в течение времени , испытываемый интервал собственного времени равен , что является формулой замедления времени SR. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Delta T}$ $${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\Delta T^{2}-\left({\frac {v_{x}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{y}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{z}\Delta T}{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$

Пример 2: Вращающийся диск

Наблюдатель, вращающийся вокруг другого инерциального наблюдателя, находится в ускоренной системе отсчета. Для такого наблюдателя необходима инкрементальная ( ) форма уравнения собственного времени, а также параметризованное описание пройденного пути, как показано ниже. ${\displaystyle d\tau }$

Пусть есть наблюдатель C на диске, вращающемся в плоскости xy с угловой скоростью координат и который находится на расстоянии r от центра диска с центром диска в точке x = y = z = 0. Путь наблюдателя C задается выражением , где - текущее координатное время. Когда r и постоянны, и . Тогда формула приращения собственного времени становится ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (T,\,r\cos(\omega T),\,r\sin(\omega T),\,0)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dx=-r\omega \sin(\omega T)\,dT}$ ${\displaystyle dy=r\omega \cos(\omega T)\,dT}$ $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.}$$

Итак, для наблюдателя, вращающегося на постоянном расстоянии r от заданной точки пространства-времени с постоянной угловой скоростью ω между координатными временами и , собственное время, испытываемое вращающимся наблюдателем, будет равно v = rω . Этот результат такой же, как и для примера линейного движения, и показывает общее применение интегральной формы формулы собственного времени. ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ $${\displaystyle \int _{T_{1}}^{T_{2}}d\tau =(T_{2}-T_{1}){\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}$$

Примеры в общей теории относительности

Разница между СТО и общей теорией относительности (ОТО) заключается в том, что в ОТО можно использовать любую метрику, которая является решением уравнений поля Эйнштейна , а не только метрику Минковского. Поскольку инерциальное движение в искривленном пространстве-времени не имеет простого выражения, которое оно имеет в СТО, всегда должна использоваться линейная интегральная форма уравнения собственного времени.

Пример 3: Вращающийся диск (снова)

Соответствующее преобразование координат, выполненное против метрики Минковского, создает координаты, в которых объект на вращающемся диске остается в том же положении пространственной координаты. Новые координаты и $${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$ $${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\omega t.}$$

Координаты t и z остаются неизменными. В этой новой системе координат уравнение инкрементного собственного времени имеет вид $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{c^{2}}}-{\frac {r^{2}\,d\theta ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {dz^{2}}{c^{2}}}-2{\frac {r^{2}\omega \,dt\,d\theta }{c^{2}}}}}.}$$

При постоянстве r , θ и z во времени это упрощается до того же, что и в примере 2. $${\displaystyle d\tau =dt{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}},}$$

Теперь пусть есть объект вне вращающегося диска и в инерциальном покое относительно центра диска и на расстоянии R от него. Этот объект имеет координатное движение, описываемое dθ = − ω dt , которое описывает инерциально покоящийся объект противоположного вращения с точки зрения вращающегося наблюдателя. Теперь уравнение собственного времени становится $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}+2\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}}}=dt.}$$

Таким образом, для инерциального покоящегося наблюдателя снова обнаруживается, что координатное время и собственное время идут с одинаковой скоростью, как и ожидалось и требуется для внутренней самосогласованности теории относительности. ^[14]

Пример 4: Решение Шварцшильда – время на Земле

Решение Шварцшильда имеет уравнение инкрементного собственного времени, где $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\phi ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}(\phi )\,d\theta ^{2}}},}$$

• t — время, откалиброванное с помощью часов, удаленных от Земли и находящихся в инерциальном покое относительно нее,
• r — радиальная координата (которая фактически является расстоянием от центра Земли),
• ɸ — это широтная координата, угловое расстояние от северного полюса в радианах .
• θ — продольная координата, аналогичная долготе на поверхности Земли, но не зависящая от вращения Земли . Она также указывается в радианах.
• m — геометризированная масса Земли, m = GM / c ² ,
  • M — масса Земли,
  • G — гравитационная постоянная .

Для демонстрации использования соотношения собственного времени здесь будут использованы несколько подпримеров, связанных с Землей.

Для Земли M =​5,9742 × 10 ²⁴  кг , что означает, что m =4,4354 × 10 ⁻³  м . Стоя на северном полюсе, мы можем предположить(имея в виду, что мы не движемся ни вверх, ни вниз, ни вдоль поверхности Земли). В этом случае уравнение собственного времени решения Шварцшильда становится. Затем, используя полярный радиус Земли в качестве радиальной координаты (или), мы находим, что ${\displaystyle dr=d\theta =d\phi =0}$ ${\textstyle d\tau =dt\,{\sqrt {1-2m/r}}}$ ${\displaystyle r={\text{6,356,752 metres}}}$ $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)\;dt^{2}}}=\left(1-6.9540\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

На экваторе радиус Земли равен r =6 378 137  м . Кроме того, необходимо учитывать вращение Земли. Это сообщает наблюдателю угловую скорость2 π, деленную на сидерический период вращения Земли, 86162,4 секунды. Итак. Уравнение собственного времени тогда дает ${\displaystyle d\theta /dt}$ ${\displaystyle d\theta =7.2923\times 10^{-5}\,dt}$ $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)dt^{2}-2.4069\times 10^{-12}\,dt^{2}}}=\left(1-6.9660\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

С нерелятивистской точки зрения это должно было быть тем же самым, что и предыдущий результат. Этот пример демонстрирует, как используется уравнение собственного времени, даже несмотря на то, что Земля вращается и, следовательно, не является сферически симметричной, как предполагается решением Шварцшильда. Для более точного описания эффектов вращения можно использовать метрику Керра .

Смотрите также

• преобразование Лоренца
• пространство Минковского
• Правильная длина
• Правильное ускорение
• Правильная масса
• Правильная скорость
• Гипотеза часов
• метрика Переса

Сноски

1. Цвибах 2004, стр. 25
2. Хоули, Джон Ф.; Холкомб, Дж. Кэтрин А. (2005). Основы современной космологии (иллюстрированное издание). Oxford University Press. стр. 204. ISBN 978-0-19-853096-1.Выдержка из страницы 204
3. Минковский 1908, стр. 53–111.
4. Лавлок и Рунд 1989, стр. 256.
5. Вайнберг 1972, стр. 76
6. Пуассон 2004, стр. 7
7. Ландау и Лифшиц 1975, стр. 245
8. Некоторые авторы включают светоподобные интервалы в определение собственного времени, а также включают пространственноподобные собственные расстояния в качестве мнимых собственных времен, например Lawden 2012, стр. 17, 116.
9. Копейкин, Эфроимский и Каплан 2011, стр. 275
10. Цвибах 2004, стр. 25
11. Фостер и Найтингейл 1978, стр. 56
12. Фостер и Найтингейл 1978, стр. 57
13. Ландау и Лифшиц 1975, стр. 251
14. Кук 2004, стр. 214–219.

Ссылки

• Кук, Р. Дж. (2004). «Физическое время и физическое пространство в общей теории относительности». Am. J. Phys . 72 (2): 214–219. Bibcode : 2004AmJPh..72..214C. doi : 10.1119/1.1607338. ISSN  0002-9505.
• Фостер, Дж.; Найтингейл, Дж. Д. (1978). Краткий курс общей теории относительности . Эссекс: Longman Scientific and Technical . ISBN 0-582-44194-3.
• Клеппнер, Д .; Коленков, Р.Дж. (1978). Введение в механику. McGraw–Hill . ISBN 0-07-035048-5.
• Копейкин, Сергей; Эфроимский, Михаил; Каплан, Джордж (2011). Релятивистская небесная механика Солнечной системы. John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-40856-6.
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц , Э. М. (1975). Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Т. 2 (4-е изд.). Оксфорд: Butterworth–Heinemann . ISBN 0-7506-2768-9.
• Лоуден, Дерек Ф. (2012). Введение в тензорное исчисление: теория относительности и космология. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13214-3.
• Лавлок, Дэвид ; Рунд, Ханно (1989), Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 0-486-65840-6
• Минковский, Герман (1908), «Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern», Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen , Göttingen, заархивировано из оригинала 8 июля 2012 г.
• Пуассон, Эрик (2004), Инструментарий релятивиста: Математика механики черных дыр , Cambridge University Press , ISBN 978-0521537803
• Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-92567-5
• Цвибах, Бартон (2004). Первый курс теории струн (первое изд.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-83143-1.