Время удара

При изучении стохастических процессов в математике время попадания (или время первого попадания ) — это первый момент времени, когда данный процесс «попадает» в данное подмножество пространства состояний . Времена выхода и возврата также являются примерами времен попадания.

Определения

Пусть $T$ — упорядоченный набор индексов , такой как натуральные числа , ⁠ ⁠ $\mathbb {N} ,$ неотрицательные действительные числа , $[0, +\infty)$ или их подмножество; элементы ⁠ ⁠ $t\in T$ можно рассматривать как «времена». Учитывая вероятностное пространство $(Ω, Σ, Pr)$ и измеримое пространство состояний $S$ , пусть будет стохастическим процессом , и пусть $A$ — измеримое подмножество пространства состояний $S.$ Тогда время первого попадания — это случайная величина, определяемая как $X:\Omega \times T\to S$ $\tau _{A}:\Omega \to [0,+\infty ]$

\tau _{A}(\omega ):=\inf\{t\in T\mid X_{t}(\omega )\in A\}.

Первое время выхода (из $A$ ) определяется как первое время попадания для $S \ A$ , дополнения A в $S$ $.$ По недоразумению, это также часто обозначается как $τ$ $A$ . ^[1]

Первое время возврата определяется как время первого попадания для набора одиночных элементов ${X 0 (ω)},$ который обычно представляет собой заданный детерминированный элемент пространства состояний, например начало системы координат.

Примеры

Любое время остановки является временем попадания для правильно выбранного процесса и целевого набора. Это следует из обратной теоремы Дебюта (Фишер, 2013).
Пусть $B$ обозначает стандартное броуновское движение на вещественной прямой ⁠ ⁠, $\mathbb {R}$ начинающееся в начале координат. Тогда время попадания $τ A$ удовлетворяет требованиям измеримости, чтобы быть временем остановки для каждого измеримого по Борелю множества ⁠ ⁠ $A\subseteq \mathbb {R} .$
Для $B$ , как указано выше, пусть $τ r$ ( $r > 0$ ) обозначает время первого выхода для интервала $(- r, r)$ $,$ т.е. время первого попадания для Тогда ожидаемое значение и дисперсия τ $r$ удовлетворяют условию $(-\infty,-r]\чашка [r,+\infty).$

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\tau _{r}\right]&=r^{2},\\\operatorname {Var} \left[\tau _{r}\right]&={\tfrac {2}{3}}r^{4}.\end{aligned}}$

Для $B$ , как и выше, время попадания в одну точку (отличную от начальной точки 0) имеет распределение Леви .

Дебютная теорема

Время попадания множества $F$ также известно как дебют F. Теорема о дебюте гласит, что время попадания измеримого множества $F$ для прогрессивно измеримого процесса относительно непрерывной справа и $полной$ фильтрации является временем остановки. Прогрессивно измеримые процессы включают, в частности, все прогрессивно и левонепрерывные адаптированные процессы . Доказательство того, что дебют измерим, довольно сложно и включает свойства аналитических множеств . Теорема требует, чтобы базовое вероятностное пространство было полным или, по крайней мере, универсально полным.

Обратная теорема Дебюта утверждает, что каждое время остановки , определенное относительно фильтрации по действительному индексу времени, может быть представлено временем попадания. В частности, для по существу любого такого времени остановки существует адаптированный, невозрастающий процесс с путями càdlàg (RCLL), который принимает только значения 0 и 1, так что время попадания множества ${0}$ этим процессом является рассматриваемым временем остановки. Доказательство очень простое. ^[2]

Смотрите также

Остановка времени

Ссылки

^ Оксендаль, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: Введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.
^ Фишер, Том (2013). «О простых представлениях моментов остановки и сигма-алгебрах моментов остановки». Statistics and Probability Letters . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . doi : 10.1016/j.spl.2012.09.024.