вселенная Гротендика

Теоретико-множественная концепция

В математике вселенная Гротендика — это множество U со следующими свойствами:

1. Если x является элементом U и если y является элементом x , то y также является элементом U. ( U является транзитивным множеством .)
2. Если x и y являются элементами U , то является элементом U. ${\displaystyle \{x,y\}}$
3. Если x является элементом U , то P ( x ), множество элементов x , также является элементом U.
4. Если — семейство элементов U , а I — элемент U , то объединение — элемент U. ${\displaystyle \{x_{\alpha }\}_{\alpha \in I}}$ ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}x_{\alpha }}$

Вселенная Гротендика призвана предоставить множество, в котором может быть выполнена вся математика. (На самом деле, несчетные вселенные Гротендика предоставляют модели теории множеств с естественным ∈-отношением, естественной операцией powerset и т. д.). Элементы вселенной Гротендика иногда называют малыми множествами . Идея вселенных принадлежит Александру Гротендику , который использовал их как способ избежать надлежащих классов в алгебраической геометрии .

Существование нетривиальной вселенной Гротендика выходит за рамки обычных аксиом теории множеств Цермело–Френкеля ; в частности, это подразумевало бы существование строго недоступных кардиналов . Теория множеств Тарского–Гротендика — это аксиоматическая трактовка теории множеств, используемая в некоторых системах автоматического доказательства, в которых каждое множество принадлежит вселенной Гротендика. Понятие вселенной Гротендика также может быть определено в топосе . ^[1]

Характеристики

В качестве примера докажем простое утверждение.

Предложение . Если и , то . ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle y\subseteq x}$ ${\displaystyle y\in U}$

Доказательство. потому что . потому что , поэтому . ${\displaystyle y\in P(x)}$ ${\displaystyle y\subseteq x}$ ${\displaystyle P(x)\in U}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle y\in U}$

Аналогично легко доказать, что любая вселенная Гротендика U содержит:

• Все синглтоны каждого из его элементов,
• Все произведения всех семейств элементов U, индексированные элементом U ,
• Все непересекающиеся объединения всех семейств элементов U, индексированные элементом U ,
• Все пересечения всех семейств элементов U, индексированные элементом U ,
• Все функции между любыми двумя элементами U и
• Все подмножества U , кардинал которых является элементом U.

В частности, из последней аксиомы следует, что если U непусто, то оно должно содержать все свои конечные подмножества и подмножество каждой конечной мощности. Из определений также можно немедленно доказать, что пересечение любого класса вселенных является вселенной.

Вселенные Гротендика и недоступные кардиналы

Вот два простых примера вселенных Гротендика:

• Пустое множество и
• Множество всех наследственно конечных множеств . ${\displaystyle V_{\omega }}$

Другие примеры построить сложнее. Грубо говоря, это потому, что вселенные Гротендика эквивалентны строго недоступным кардиналам . Более формально, следующие две аксиомы эквивалентны:

(U) Для каждого множества x существует универсум Гротендика U такой, что x ∈ U.

(C) Для каждого кардинала κ существует строго недостижимый кардинал λ, который строго больше κ.

Для доказательства этого факта введем функцию c ( U ). Определим:

${\displaystyle \mathbf {c} (U)=\sup _{x\in U}|x|}$

где под | x | мы подразумеваем мощность x . Тогда для любого универсума U , c ( U ) либо равен нулю, либо сильно недоступен. Предполагая, что он не равен нулю, он является сильным предельным кардиналом, поскольку множество мощности любого элемента U является элементом U , а каждый элемент U является подмножеством U . Чтобы увидеть, что он регулярен, предположим, что c _λ является набором кардиналов, индексированных I , где мощность I и каждого c _λ меньше c ( U ). Тогда, по определению c ( U ), I и каждый c _λ можно заменить элементом U . Объединение элементов U , индексированных элементом U , является элементом U , поэтому сумма c _λ имеет мощность элемента U , следовательно, меньше c ( U ). Применяя аксиому основания, что никакое множество не содержится само в себе, можно показать, что c ( U ) равно | U |; когда аксиома основания не предполагается, существуют контрпримеры (например, мы можем взять U как множество всех конечных множеств конечных множеств и т. д. множеств x _α , где индекс α — любое действительное число, и x _α = { x _α } для каждого α . Тогда U имеет мощность континуума, но все его члены имеют конечную мощность и т. д.  ; см. статью Бурбаки для получения более подробной информации). ${\displaystyle \mathbf {c} (U)=\aleph _{0}}$

Пусть κ — строго недостижимый кардинал. Скажем, что множество S имеет строгий тип κ , если для любой последовательности s _n ∈ ... ∈ s ₀ ∈ S , | s _n | < κ . ( Само S соответствует пустой последовательности.) Тогда множество u ( κ ) всех множеств строго типа κ является универсумом Гротендика мощности κ . Доказательство этого факта длинное, поэтому за подробностями мы снова отсылаем к статье Бурбаки, указанной в списке литературы.

Чтобы показать, что аксиома большого кардинала (C) влечет аксиому универсума (U), выберите множество x . Пусть x ₀ = x , и для каждого n пусть будет объединением элементов x _n . Пусть y = . Согласно (C), существует строго недостижимый кардинал κ такой, что |y| < κ . Пусть u ( κ ) будет универсумом предыдущего абзаца. x имеет строго тип κ, поэтому x ∈ u ( κ ) . Чтобы показать, что аксиома универсума (U) влечет аксиому большого кардинала (C), выберите кардинал κ . κ — это множество, поэтому оно является элементом универсума Гротендика U. Мощность U строго недостижима и строго больше, чем у κ . ${\displaystyle x_{n+1}=\bigcup x_{n}}$ ${\displaystyle \bigcup _{n}x_{n}}$

Фактически, любая вселенная Гротендика имеет вид u ( κ ) для некоторого κ . Это дает другую форму эквивалентности между вселенными Гротендика и строго недоступными кардиналами:

Для любого универсума Гротендика U , | U | является либо нулем , либо сильно недостижимым кардиналом. И если κ является нулем, либо сильно недостижимым кардиналом, то существует универсум Гротендика ⁠ ⁠ . Более того, u (| U |) = U , и | u ( κ )| = κ . ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle u(\kappa )}$

Поскольку существование строго недостижимых кардиналов не может быть доказано из аксиом теории множеств Цермело–Френкеля (ZFC), существование вселенных, отличных от пустого множества и , также не может быть доказано из ZFC. Однако строго недостижимые кардиналы находятся в нижней части списка больших кардиналов ; таким образом, большинство теорий множеств, которые используют большие кардиналы (такие как «ZFC плюс есть измеримый кардинал », «ZFC плюс есть бесконечно много кардиналов Вудина »), докажут, что вселенные Гротендика существуют. ${\displaystyle V_{\omega }}$

Смотрите также

• Конструируемая вселенная
• Вселенная (математика)
• Вселенная фон Неймана

Примечания

1. Штрейхер, Томас (2006). «Вселенные в топосах» (PDF) . От множеств и типов к топологии и анализу: к практическим основам конструктивной математики . Clarendon Press. стр. 78–90. ISBN 9780198566519.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1972). «Универс». В Майкле Артине ; Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Конспекты лекций по математике 269 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 185–217. Архивировано из оригинала 9 августа 2016 г. Проверено 6 декабря 2010 г.