Вторая теорема Нётер

Физическая теорема о симметрии действия

В математике и теоретической физике вторая теорема Нётер связывает симметрии функционала действия с системой дифференциальных уравнений . ^[1] Теорема названа в честь её первооткрывателя, Эмми Нётер .

Действие S физической системы является интегралом так называемой функции Лагранжа L , из которой поведение системы может быть определено с помощью принципа наименьшего действия . В частности, теорема утверждает, что если действие имеет бесконечномерную алгебру Ли бесконечно малых симметрий, линейно параметризованную k произвольными функциями и их производными до порядка m , то функциональные производные L удовлетворяют системе из k дифференциальных уравнений.

Вторая теорема Нётер иногда используется в калибровочной теории . Калибровочные теории являются основными элементами всех современных полевых теорий физики, таких как преобладающая Стандартная модель .

Математическая формулировка

Формула первой вариации

Предположим, что у нас есть динамическая система, заданная в терминах независимых переменных , зависимых переменных и функции Лагранжа некоторого конечного порядка . Вот набор всех частных производных th порядка зависимых переменных. Как правило, латинские индексы из середины алфавита принимают значения , греческие индексы принимают значения , и к ним применяется соглашение о суммировании . Мультииндексная нотация для латинских индексов также вводится следующим образом. Мультииндекс длины представляет собой упорядоченный список обычных индексов . Длина обозначается как . Соглашение о суммировании не применяется напрямую к мультииндексам, поскольку суммирование по длинам должно быть отображено явно, например, Изменение лагранжиана относительно произвольного изменения зависимых переменных равно и применяя правило обратного произведения дифференциации, мы получаем где являются выражениями Эйлера-Лагранжа для лагранжиана, а коэффициенты (импульсы Лагранжа) задаются как ${\textstyle m}$ ${\textstyle x=(x^{1},\dots ,x^{m})}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle u=(u^{1},\dots ,u^{n})}$ ${\textstyle L(x,u,u_{(1)}\dots ,u_{(r)})}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle u_{(k)}=(u_{i_{1}...i_{k}}^{\sigma })=(d_{i_{1}}\dots d_{i_{k}}u^{\sigma })}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle i,j,k,\dots }$ ${\textstyle 1,\dots ,m}$ ${\textstyle 1,\dots ,n}$ ${\textstyle I}$ ${\textstyle k}$ ${\displaystyle I=(i_{1},\dots ,i_{k})}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle \left|I\right|=k}$ $${\displaystyle \sum _{|I|=0}^{r}f_{I}g^{I}=fg+f_{i}g^{i}+f_{ij}g^{ij}+\dots +f_{i_{1}...i_{r}}g^{i_{1}...i_{r}}.}$$ ${\textstyle \delta u^{\sigma }}$ $${\displaystyle \delta L={\frac {\partial L}{\partial u^{\sigma }}}\delta u^{\sigma }+{\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\sigma }}}\delta u_{i}^{\sigma }+\dots +{\frac {\partial L}{\partial u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }}}\delta u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }=\sum _{|I|=0}^{r}{\frac {\partial L}{\partial u_{I}^{\sigma }}}\delta u_{I}^{\sigma },}$$ $${\displaystyle \delta L=E_{\sigma }\delta u^{\sigma }+d_{i}\left(\sum _{|I|=0}^{r-1}P_{\sigma }^{iI}\delta u_{I}^{\sigma }\right)}$$ $${\displaystyle E_{\sigma }={\frac {\partial L}{\partial u^{\sigma }}}-d_{i}{\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\sigma }}}+\dots +(-1)^{r}d_{i_{1}}\dots d_{i_{r}}{\frac {\partial L}{\partial u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }}}=\sum _{|I|=0}^{r}(-1)^{|I|}d_{I}{\frac {\partial L}{\partial u_{I}^{\sigma }}}}$$ ${\textstyle P_{\sigma }^{I}}$ $${\displaystyle P_{\sigma }^{I}=\sum _{|J|=0}^{r-|I|}(-1)^{|J|}d_{J}{\frac {\partial L}{\partial u_{IJ}^{\sigma }}}}$$

Вариационные симметрии

Вариация — это бесконечно малая симметрия лагранжиана , если при этой вариации. Это бесконечно малая квазисимметрия , если существует ток такой, что . ${\textstyle \delta u^{\sigma }=X^{\sigma }(x,u,u_{(1)},\dots )}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle \delta L=0}$ ${\textstyle K^{i}=K^{i}(x,u,\dots )}$ ${\textstyle \delta L=d_{i}K^{i}}$

Следует отметить, что можно расширить бесконечно малые (квази-)симметрии, включив также вариации с , т.е. независимые переменные также изменяются. Однако такие симметрии всегда можно переписать так, чтобы они действовали только на зависимые переменные. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся так называемыми вертикальными вариациями , где . ${\displaystyle \delta x^{i}\neq 0}$ ${\displaystyle \delta x^{i}=0}$

Для второй теоремы Нётер мы рассматриваем те вариационные симметрии (называемые калибровочными симметриями ), которые линейно параметризуются набором произвольных функций и их производных. Эти вариации имеют общую форму , где коэффициенты могут зависеть от независимых и зависимых переменных, а также от производных последних до некоторого конечного порядка, являются произвольно определяемыми функциями независимых переменных, а латинские индексы принимают значения , где — некоторое положительное целое число. $${\displaystyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }=R_{a}^{\sigma }\lambda ^{a}+R_{a}^{\sigma ,i}\lambda _{i}^{a}+\dots +R_{a}^{\sigma ,i_{1}...i_{s}}\lambda _{i_{1}...i_{s}}^{a}=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},}$$ ${\displaystyle R_{a}^{\sigma ,I}}$ ${\displaystyle \lambda ^{a}=\lambda ^{a}(x)}$ ${\displaystyle a,b,\dots }$ ${\displaystyle 1,\dots ,q}$ ${\displaystyle q}$

Для того чтобы эти вариации были (точными, т.е. не квази-) калибровочными симметриями лагранжиана, необходимо, чтобы для всех возможных выборов функций . Если вариации являются квазисимметриями, то необходимо, чтобы ток также линейно и дифференциально зависел от произвольных функций, т.е. тогда , где Для простоты мы будем предполагать, что все калибровочные симметрии являются точными симметриями, но общий случай рассматривается аналогично. ${\displaystyle \delta _{\lambda }L=0}$ ${\displaystyle \lambda ^{a}(x)}$ ${\displaystyle \delta _{\lambda }L=d_{i}K_{\lambda }^{i}}$ $${\displaystyle K_{\lambda }^{i}=K_{a}^{i}\lambda ^{a}+K_{a}^{i,j}\lambda _{j}^{a}+K_{a}^{i,j_{1}j_{2}}\lambda _{j_{1}j_{2}}^{a}\dots }$$

Вторая теорема Нётер

Утверждение второй теоремы Нётер состоит в том, что всякий раз, когда задан лагранжиан , как указано выше, который допускает калибровочные симметрии, параметризованные линейно произвольными функциями и их производными, то существуют линейные дифференциальные соотношения между уравнениями Эйлера-Лагранжа . ${\textstyle L}$ ${\displaystyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\textstyle L}$

Объединяя первую формулу вариации с тем фактом, что вариации являются симметриями, мы получаем , где на первом члене, пропорциональном выражениям Эйлера-Лагранжа, дальнейшие интегрирования по частям могут быть выполнены как , где в частности для , Следовательно, мы имеем соотношение вне оболочки , где с . Это соотношение справедливо для любого выбора калибровочных параметров . Выбирая их компактными и интегрируя соотношение по многообразию независимых переменных, интегральные члены полной дивергенции исчезают из-за теоремы Стокса . Затем из фундаментальной леммы вариационного исчисления , мы получаем , что идентично соотношениям вне оболочки (на самом деле, поскольку линейны в выражениях Эйлера-Лагранжа, они обязательно исчезают на оболочке). Подставляя это обратно в исходное уравнение, мы также получаем закон сохранения вне оболочки . ${\textstyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$ $${\displaystyle 0=E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }+d_{i}W_{\lambda }^{i},\quad W_{\lambda }^{i}=\sum _{|I|=0}^{r}P_{\sigma }^{iI}\delta _{\lambda }u^{\sigma },}$$ $${\displaystyle E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }=\sum _{|I|=0}^{s}E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a}=Q_{a}\lambda ^{a}+d_{i}\left(\sum _{|I|=0}^{s-1}Q_{a}^{iI}\lambda _{I}^{a}\right),}$$ $${\displaystyle Q_{a}^{I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}(-1)^{|J|}d_{J}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,IJ}\right),}$$ ${\textstyle |I|=0}$ $${\displaystyle Q_{a}=E_{\sigma }R_{a}^{\sigma }-d_{i}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,i}\right)+\dots +(-1)^{s}d_{i_{1}}\dots d_{i_{s}}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,i_{1}...i_{s}}\right)=\sum _{|I|=0}^{s}(-1)^{|I|}d_{I}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\right).}$$ $${\displaystyle 0=Q_{a}\lambda ^{a}+d_{i}S_{\lambda }^{i},}$$ ${\textstyle S_{\lambda }^{i}=H_{\lambda }^{i}+W_{\lambda }^{i},}$ ${\textstyle H_{\lambda }^{i}=\sum _{|I|=0}^{s-1}Q_{a}^{iI}\lambda _{I}^{a}}$ ${\textstyle \lambda ^{a}(x)}$ ${\displaystyle Q_{a}\equiv 0}$ ${\displaystyle Q_{a}}$ ${\displaystyle d_{i}S_{\lambda }^{i}=0}$

Выражения являются дифференциальными в уравнениях Эйлера-Лагранжа, в частности, мы имеем где Следовательно, уравнения являются дифференциальными соотношениями, которым подчиняются выражения Эйлера-Лагранжа, и, следовательно, уравнения Эйлера-Лагранжа системы не являются независимыми. ${\displaystyle Q_{a}}$ $${\displaystyle Q_{a}={\mathcal {D}}_{a}[E]=\sum _{|I|=0}^{s}(-1)^{|I|}d_{I}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\right)=\sum _{|I|=0}^{s}F_{a}^{\sigma ,I}d_{I}E_{\sigma },}$$ $${\displaystyle F_{a}^{\sigma ,I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}{\binom {|I|+|J|}{|I|}}(-1)^{|I|+|J|}d_{J}R_{a}^{\sigma ,IJ}.}$$ $${\displaystyle 0={\mathcal {D}}_{a}[E]}$$ ${\textstyle q}$

Обратный результат

Обратное выражение второго уравнения Нётера также может быть установлено. В частности, предположим, что выражения Эйлера-Лагранжа системы подчиняются дифференциальным соотношениям Пусть будет произвольным -кортежем функций, формальный сопряженный оператор действует на эти функции посредством формулы , которая определяет сопряженный оператор однозначно. Коэффициенты сопряженного оператора получаются путем интегрирования по частям, как и прежде, в частности, где Тогда определение сопряженного оператора вместе с соотношениями утверждает, что для каждого -кортежа функций значение сопряженного оператора на функциях при свертке с выражениями Эйлера-Лагранжа является полной дивергенцией, а именно, поэтому, если мы определяем вариации, вариация лагранжиана является полной дивергенцией, следовательно, вариации являются квазисимметриями для каждого значения функций . ${\displaystyle E_{\sigma }}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle 0={\mathcal {D}}_{a}[E]=\sum _{|I|=0}^{s}F_{a}^{\sigma ,I}d_{I}E_{\sigma }.}$$ ${\textstyle \lambda =(\lambda ^{1},\dots ,\lambda ^{q})}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle {\mathcal {D}}_{a}}$ $${\displaystyle E_{\sigma }({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]-\lambda ^{a}{\mathcal {D}}_{a}[E]=d_{i}B_{\lambda }^{i},}$$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }}$ $${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},}$$ $${\displaystyle R_{a}^{\sigma ,I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}(-1)^{|I|+|J|}{\binom {|I|+|J|}{|I|}}d_{J}F_{a}^{\sigma ,IJ}.}$$ ${\displaystyle 0={\mathcal {D}}_{a}[E]}$ ${\textstyle q}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle E_{\sigma }({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=d_{i}B_{\lambda }^{i},}$ $${\displaystyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }:=({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},}$$ $${\displaystyle \delta _{\lambda }L=E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }+d_{i}W_{\lambda }^{i}=d_{i}\left(B_{\lambda }^{i}+W_{\lambda }^{i}\right)}$$ ${\textstyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$ ${\displaystyle \lambda ^{a}}$

Смотрите также

• Первая теорема Нётер
• тождества Нётер
• Калибровочная симметрия (математика)

Примечания

1. Нётер, Эмми (1918), «Проблема инвариантных вариаций», Nachr. Д. Кениг. Гезельш. Д. Висс. Цу Геттинген, математик-физ. Класс , 1918 : 235–257.

   Перевод в Noether, Emmy (1971). "Инвариантные вариационные задачи". Теория переноса и статистическая физика . 1 (3): 186–207. arXiv : physics/0503066 . Bibcode :1971TTSP....1..186N. doi :10.1080/00411457108231446. S2CID  119019843.

Ссылки

• Косманн-Шварцбах, Иветт (2010). Теоремы Нётер: Инвариантность и законы сохранения в двадцатом веке . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-87867-6.
• Olver, Peter (1993). Applications of Lie groups to Differential Labs . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 107 (2nd ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-95000-1.
• Сарданашвили, Г. (2016). Теоремы Нётер. Приложения в механике и теории поля . Springer-Verlag . ISBN 978-94-6239-171-0.

Дальнейшее чтение

• Нётер, Эмми (1971). «Инвариантные вариационные задачи». Теория переноса и статистическая физика . 1 (3): 186–207. arXiv : physics/0503066 . Bibcode :1971TTSP....1..186N. doi :10.1080/00411457108231446. S2CID  119019843.
• Фулп, Рон; Лада, Том; Сташефф, Джим (2002). «Вариационная теорема Нётер II и формализм БВ». arXiv : math/0204079 .
• Башкиров, Д.; Джиакетта, Г.; Манджиаротти, Л.; Сарданашвили, Г (2008). «Комплекс KT-BRST вырожденной лагранжевой системы». Письма в математическую физику . 83 (3): 237–252. arXiv : math-ph/0702097 . Bibcode :2008LMaPh..83..237B. doi :10.1007/s11005-008-0226-y. S2CID  119716996.
• Montesinos, Merced; Gonzalez, Diego; Celada, Mariano; Diaz, Bogar (2017). «Переформулирование симметрий общей теории относительности первого порядка». Classical and Quantum Gravity . 34 (20): 205002. arXiv : 1704.04248 . Bibcode : 2017CQGra..34t5002M. doi : 10.1088/1361-6382/aa89f3. S2CID  119268222.
• Montesinos, Merced; Gonzalez, Diego; Celada, Mariano (2018). "Калибровочные симметрии общей теории относительности первого порядка с полями материи". Classical and Quantum Gravity . 35 (20): 205005. arXiv : 1809.10729 . Bibcode :2018CQGra..35t5005M. doi :10.1088/1361-6382/aae10d. S2CID  53531742.