Вторичные многочлены

В математике вторичные многочлены, связанные с последовательностью многочленов , ортогональных относительно плотности, определяются как ${\displaystyle \{q_{n}(x)\}}$ ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}}$ ${\displaystyle \rho (x)}$

${\displaystyle q_{n}(x)=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {p_{n}(t)-p_{n}(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.}$^[1]

Чтобы увидеть, что функции действительно являются полиномами, рассмотрим простой пример. Тогда, ${\displaystyle q_{n}(x)}$ ${\displaystyle p_{0}(x)=x^{3}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{0}(x)&{}=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {t^{3}-x^{3}}{t-x}}\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {(t-x)(t^{2}+tx+x^{2})}{t-x}}\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!(t^{2}+tx+x^{2})\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!t^{2}\rho (t)\,dt+x\int _{\mathbb {R} }\!t\rho (t)\,dt+x^{2}\int _{\mathbb {R} }\!\rho (t)\,dt\end{aligned}}}$

который является полиномом при условии, что три интеграла в ( моменты плотности ) сходятся. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \rho }$

Смотрите также

• Вторичная мера

Ссылки

1. Гру, Роланд (12 сентября 2007 г.). «Sur une mesure rendant Orthagonaux les Polynômes Secondaires [О мере, делающей вторичные полиномы ортогональными]» (PDF) . Comptes Rendus Mathematique (на французском языке). 345 (7): 1 – через Comptes Rendus Mathematique.