Минор (линейная алгебра)

Определитель части квадратной матрицы

В линейной алгебре минор матрицы A — это определитель некоторой меньшей квадратной матрицы , вырезанной из A путем удаления одной или нескольких ее строк и столбцов . Миноры, полученные удалением всего одной строки и одного столбца из квадратных матриц ( первые миноры ), необходимы для вычисления сомножителей матрицы , которые, в свою очередь, полезны для вычисления как определителя, так и обратного значения квадратных матриц. Требование, чтобы квадратная матрица была меньше исходной, в определении часто опускается.

Определение и иллюстрация

Первые несовершеннолетние

Если A — квадратная матрица, то минор записи в i  -й строке и j  -м столбце (также называемый минором ( i , j ) или первым минором ^[1] ) является определителем подматрицы, образованной удалением i -  я строка и j-  й столбец. Это число часто обозначается Mi _,j . Кофактор ( i , j ) получается путем умножения минора на . ${\displaystyle (-1)^{i+j}}$

Чтобы проиллюстрировать эти определения, рассмотрим следующую матрицу 3 на 3:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}}$

Чтобы вычислить минор M _2,3 и кофактор C _2,3 , мы находим определитель приведенной выше матрицы с удаленными строкой 2 и столбцом 3.

${\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13}$

Таким образом, кофактор записи (2,3) равен

${\displaystyle \ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}$

Общее определение

Пусть A — матрица размера m  ×  n , а k — целое число с 0 < k ≤ m и k ≤ n . A k  ×  k минор A , также называемый младшим определителем порядка k A или , если m = n , ( n - k ) -м минорным определителем A ( слово «определитель» часто опускается, а слово «степень » иногда используется вместо «порядок») — это определитель матрицы размера k  ×  k , полученной из A удалением m − k строк и n — k столбцов. Иногда этот термин используется для обозначения матрицы k  ×  k , полученной из A , как указано выше (путем удаления m - k строк и n - k столбцов), но эту матрицу следует называть (квадратной) подматрицей A , оставляя термин «второстепенный» относится к определителю этой матрицы. Для матрицы A , как указано выше, существует всего миноров размера k  ×  k . Минор нулевого порядка часто определяется как 1. Для квадратной матрицы нулевой минор является просто определителем матрицы. ^{[2] [3]} ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$

Пусть и — упорядоченные последовательности (в естественном порядке, как всегда предполагается, когда речь идет о минорах, если не указано иное) индексов, назовем их I и J соответственно. Минор , соответствующий этому выбору индексов, обозначается или или или или или (где обозначает последовательность индексов I и т.д.), в зависимости от источника. Также в литературе используются два типа обозначений: под минором, связанным с упорядоченными последовательностями индексов I и J , некоторые авторы ^[4] понимают определитель матрицы, формируемый, как указано выше, путем взятия элементов исходного матрица из строк, индексы которых находятся в I, и столбцов, индексы которых находятся в J , тогда как некоторые другие авторы подразумевают под минором, связанным с I и J , определитель матрицы, сформированной из исходной матрицы путем удаления строк в I и столбцов в J . ^[2] Какие обозначения используются, всегда следует проверять по соответствующему источнику. В этой статье мы используем инклюзивное определение выбора элементов из строк I и столбцов J . Исключительным случаем является случай первого минора или ( i , j )-минор, описанный выше; в этом случае исключительное значение является стандартным во всей литературе и используется и в данной статье. ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m}$ ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}$ ${\textstyle \det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$ ${\displaystyle \det _{I,J}A}$ ${\displaystyle \det A_{I,J}}$ ${\displaystyle [A]_{I,J}}$ ${\displaystyle M_{I,J}}$ ${\displaystyle M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}}$ ${\displaystyle M_{(i),(j)}}$ ${\displaystyle (i)}$ ${\textstyle M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)}$

Дополнить

Дополнение B _{ijk...,pqr...} минора M _{ijk...,pqr...} квадратной матрицы A формируется определителем матрицы A , из которого все строки ( ijk... ) и столбцы ( pqr... ), связанные с M _{ijk...,pqr...,} были удалены. Дополнением первого минора элемента a _ij является просто этот элемент. ^[5]

Применение миноров и кофакторов

Кофакторное разложение определителя

Кофакторы занимают видное место в формуле Лапласа для разложения определителей, которая представляет собой метод вычисления больших определителей через меньшие. Учитывая матрицу размера n  ×  n , определитель A , обозначаемый det( A ), может быть записан как сумма сомножителей любой строки или столбца матрицы, умноженная на элементы, которые их породили. Другими словами, определение затем разложения кофактора по j-му  столбцу дает: ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ ${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$

${\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}}$

Разложение кофактора по i-  й строке дает:

${\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}}$

Обратная матрица

Можно записать обратную обратимую матрицу , вычислив ее сомножители с помощью правила Крамера следующим образом. Матрица, образованная всеми сомножителями квадратной матрицы A , называется матрицей сомножителей (также называемой матрицей сомножителей или, иногда, коматрицей ):

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$

Тогда инверсия A представляет собой транспонирование матрицы-сомножителя, умноженное на обратную величину определителя A :

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$

Транспонирование матрицы-сомножителя называется сопряженной матрицей (также называемой классическим сопряженным ) матрицы A.

Приведенную выше формулу можно обобщить следующим образом: Пусть и — упорядоченные последовательности (в естественном порядке) индексов (здесь A — матрица размера n  ×  n ). Тогда ^[6] ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},}$

где I' , J' обозначают упорядоченные последовательности индексов (индексы имеют естественный порядок величины, как указано выше), дополнительные к I , J , так что каждый индекс 1,..., n появляется ровно один раз либо в I , либо в I. ′ , но не в обоих случаях (аналогично для J и J′ ) и обозначает определитель подматрицы A , образованной путем выбора строк набора индексов I и столбцов набора индексов J . Также, . Простое доказательство можно дать, используя произведение клина. Действительно, ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}}$ ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},}$

где базисные векторы. Действуя по А с обеих сторон, получим ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).}$

Знак можно определить как , поэтому знак определяется суммами элементов в I и J . ${\displaystyle (-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}}$

Другие приложения

Учитывая матрицу размера m  ×  n с вещественными элементами (или элементами из любого другого поля ) и рангом r , тогда существует хотя бы один ненулевой минор размера r  ×  r , в то время как все старшие миноры равны нулю.

Мы будем использовать следующие обозначения для миноров: если A — матрица размера m  ×  n , I — подмножество {1,..., m } с k элементами, а J — подмножество {1,..., n } с k элементами, то мы пишем [ A ] _{I , J} для минора k  ×  k A , который соответствует строкам с индексом в I и столбцам с индексом в J .

• Если I = J , то [ A ] _{I , J} называется главным минором .
• Если матрица, соответствующая главной минорной матрице, представляет собой квадратную верхнюю левую подматрицу большей матрицы (т. е. она состоит из матричных элементов в строках и столбцах от 1 до k , также называемых ведущей главной подматрицей), то главная минорная матрица называется ведущим главным минором (порядка k) или угловым (главным) минором (порядка k) . ^[3] Для квадратной матрицы размера n  ×  n существует n старших главных миноров.
• Базовый минор матрицы — это определитель квадратной подматрицы максимального размера с ненулевым определителем. ^[3]
• Для эрмитовых матриц ведущие главные миноры могут использоваться для проверки положительной определенности , а главные миноры могут использоваться для проверки положительной полуопределенности . Подробнее см . в критерии Сильвестра .

И формула обычного умножения матриц , и формула Коши–Бине для определителя произведения двух матриц являются частными случаями следующего общего утверждения о минорах произведения двух матриц. Предположим, что A — матрица размера m  ×  n , B — матрица размера n  ×  p , I — подмножество {1,..., m } с k элементами, а J — подмножество {1,..., p }. с k элементами. Затем

${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$

где сумма распространяется на все подмножества K из {1,..., n } с k элементами. Эта формула является прямым расширением формулы Коши – Бине.

Подход полилинейной алгебры

Более систематическая алгебраическая трактовка миноров дается в полилинейной алгебре с использованием клинового произведения : k -миноры матрицы являются элементами k- го внешнего степенного отображения.

Если столбцы матрицы соединяются вместе k одновременно, миноры k  ×  k появляются как компоненты результирующих k -векторов. Например, миноры 2 × 2 матрицы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}}$

равны -13 (из первых двух строк), -7 (из первой и последней строки) и 5 ​​(из последних двух строк). Теперь рассмотрим клиновое произведение

${\displaystyle (\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})}$

где два выражения соответствуют двум столбцам нашей матрицы. Используя свойства клинового произведения, а именно его билинейность и знакопеременность ,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,}$

и антисимметричный ,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},}$

мы можем упростить это выражение до

${\displaystyle -13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$

где коэффициенты согласуются с минорами, вычисленными ранее.

Замечание о других обозначениях

В некоторых книгах вместо кофактора используется термин адъюнкт . ^[7] Более того, он обозначается как Aij и определяется так же, как и кофактор _:

${\displaystyle \mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}}$

Используя эти обозначения, обратная матрица записывается следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}}$

Имейте в виду, что дополнение не является сопряженным или присоединенным . В современной терминологии под «сопряженным» матрицей чаще всего понимается соответствующий сопряженный оператор .

Смотрите также

• Подматрица
• Сложная матрица

Рекомендации

1. Бернсайд, Уильям Сноу и Пантон, Артур Уильям (1886) Теория уравнений: с введением в теорию двоичных алгебраических форм .
2. Элементарная матричная алгебра (третье издание), Франц Э. Хон, The Macmillan Company, 1973, ISBN  978-0-02-355950-1
3. "Минор". Энциклопедия математики.
4. Линейная алгебра и геометрия, Игорь Р. Шафаревич, Алексей О. Ремизов, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9 
5. Берта Джеффрис, Методы математической физики, стр. 135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0 . 
6. Виктор Васильевич Прасолов (13 июня 1994 г.). Проблемы и теоремы линейной алгебры. Американское математическое соц. стр. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.
7. Феликс Гантмахер , Теория матриц (1-е изд., язык оригинала русский), Москва: Государственное издательство технической и теоретической литературы, 1953, с.491,

Внешние ссылки

• Лекция по линейной алгебре Массачусетского технологического института о кофакторах в Google Video, от MIT OpenCourseWare
• Запись кофакторов PlanetMath
• Статья в математической энциклопедии Springer для несовершеннолетних