Вторая ковариантная производная

Производная в дифференциальной геометрии и векторном исчислении

В математических разделах дифференциальной геометрии и векторного исчисления вторая ковариантная производная или ковариантная производная второго порядка векторного поля является производной его производной по отношению к двум другим касательным векторным полям.

Определение

Формально, для (псевдо)-риманова многообразия ( M , g ), ассоциированного с векторным расслоением E → M , пусть ∇ обозначает связность Леви-Чивиты , заданную метрикой g , и обозначает через Γ( E ) пространство гладких части общего пространства E . Обозначим через T ^* M кокасательное расслоение к M. Тогда вторую ковариантную производную можно определить как композицию двух ∇ следующим образом: ^[1]

${\displaystyle \Gamma (E){\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}\Gamma (T^{*}M\otimes E){\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}\Gamma (T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes E).}$

Например, для данных векторных полей u , v , w вторая ковариантная производная может быть записана как

${\displaystyle (\nabla _{u,v}^{2}w)^{a}=u^{c}v^{b}\nabla _{c}\nabla _{b}w^{a}}$

используя абстрактную индексную нотацию . Также несложно убедиться в том, что

${\displaystyle (\nabla _{u}\nabla _{v}w)^{a}=u^{c}\nabla _{c}v^{b}\nabla _{b}w^{a}=u^{c}v^{b}\nabla _{c}\nabla _{b}w^{a}+(u^{c}\nabla _{c}v^{b})\nabla _{b}w^{a}=(\nabla _{u,v}^{2}w)^{a}+(\nabla _{\nabla _{u}v}w)^{a}.}$

Таким образом

${\displaystyle \nabla _{u,v}^{2}w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{\nabla _{u}v}w.}$

Когда тензор кручения равен нулю, так что мы можем использовать этот факт, чтобы записать тензор кривизны Римана как ^[2] ${\displaystyle [u,v]=\nabla _{u}v-\nabla _{v}u}$

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u,v}^{2}w-\nabla _{v,u}^{2}w.}$

Точно так же можно получить вторую ковариантную производную функции f как

${\displaystyle \nabla _{u,v}^{2}f=u^{c}v^{b}\nabla _{c}\nabla _{b}f=\nabla _{u}\nabla _{v}f-\nabla _{\nabla _{u}v}f.}$

Опять же, для связности Леви-Чивита без кручения и для любых векторных полей u и v , когда мы подаем функцию f в обе части

${\displaystyle \nabla _{u}v-\nabla _{v}u=[u,v]}$

мы нашли

${\displaystyle (\nabla _{u}v-\nabla _{v}u)(f)=[u,v](f)=u(v(f))-v(u(f)).}$.

Это можно переписать как

${\displaystyle \nabla _{\nabla _{u}v}f-\nabla _{\nabla _{v}u}f=\nabla _{u}\nabla _{v}f-\nabla _{v}\nabla _{u}f,}$

так что у нас есть

${\displaystyle \nabla _{u,v}^{2}f=\nabla _{v,u}^{2}f.}$

То есть значение второй ковариантной производной функции не зависит от порядка взятия производных.

Примечания

1. Паркер, Томас Х. «Букварь по геометрии» (PDF) . Проверено 2 января 2015 г., стр. 7
2. Жан Галье и Дэн Гуральник. «Глава 13: Кривизна в римановых многообразиях» (PDF) . Проверено 2 января 2015 г.