Вывод Хассе–Шмидта

В математике вывод Хассе-Шмидта является расширением понятия вывода . Понятие было введено Шмидтом и Хассе (1937).

Определение

Для (не обязательно коммутативного или ассоциативного) кольца B и B - алгебры A вывод Хассе–Шмидта представляет собой отображение B -алгебр

${\displaystyle D:A\to A[\![t]\!]}$

принимающий значения в кольце формальных степенных рядов с коэффициентами в A. Это определение встречается в нескольких местах, например, у Гатто и Салехяна (2016, §3.4), где также содержится следующий пример: для A , являющегося кольцом бесконечно дифференцируемых функций (определенных, скажем, на R ⁿ ), и B = R , отображение

${\displaystyle f\mapsto \exp \left(t{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f+t{\frac {df}{dx}}+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots }$

является выводом Хассе–Шмидта, как следует из многократного применения правила Лейбница .

Эквивалентные характеристики

Хазевинкель (2012) показывает, что вывод Хассе–Шмидта эквивалентен действию биалгебры

${\displaystyle \operatorname {NSymm} =\mathbf {Z} \langle Z_{1},Z_{2},\ldots \rangle }$

некоммутативных симметричных функций от счетного числа переменных Z ₁ , Z ₂ , ...: часть D , которая выбирает коэффициент при , является действием неопределенности Z _i . ${\displaystyle D_{i}:A\to A}$ ${\displaystyle t^{i}}$

Приложения

Выводы Хассе–Шмидта на внешней алгебре некоторого B -модуля M изучались Гатто и Салехианом (2016, §4). Основные свойства выводов в этом контексте приводят к концептуальному доказательству теоремы Кэли–Гамильтона . См. также Гатто и Щербак (2015). ${\textstyle A=\bigwedge M}$

Ссылки

• Гатто, Леттерио; Салехян, Пархэм (2016), Выводы Хассе – Шмидта на алгебрах Грассмана , Springer, doi : 10.1007/978-3-319-31842-4, ISBN 978-3-319-31842-4, МР  3524604
• Гатто, Леттерио; Щербак, Инна (2015), Замечания о теореме Кэли-Гамильтона , arXiv : 1510.03022
• Хазевинкель, Михиль (2012), «Выводы Хассе–Шмидта и алгебра Хопфа некоммутативных симметричных функций», Аксиомы , 1 (2): 149–154, arXiv : 1110.6108 , doi : 10.3390/axioms1020149 , S2CID  15969581
• Шмидт, ФК; Хассе, Х. (1937), «Noch eine Begründung der Theorie der höheren Differentialчастоты в einem алгебраисчен Funktionenkörper einer Unbestimmten. (Nach einer Brieflichen Mitteilung von FK Schmidt в Йене)», Дж. Рейне Ангью. Математика. , 1937 (177): 215–237, doi : 10.1515/crll.1937.177.215, ISSN  0075-4102, MR  1581557, S2CID  120317012