Откат (дифференциальная геометрия)

Математическая операция

Пусть – гладкое отображение между гладкими многообразиями и . Тогда существует ассоциированное линейное отображение пространства 1-форм на ( линейное пространство сечений кокасательного расслоения ) в пространство 1-форм на . Эта линейная карта известна как обратный ход (по ) и часто обозначается . В более общем смысле, любое ковариантное тензорное поле – в частности, любая дифференциальная форма – может быть возвращено к использованию . ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$

Когда карта является диффеоморфизмом , то обратный ход вместе с прямым продвижением можно использовать для преобразования любого тензорного поля из в или наоборот. В частности, если это диффеоморфизм между открытыми подмножествами и , рассматриваемый как изменение координат (возможно, между различными картами на многообразии ), то обратный и прямой переход описывают свойства преобразования ковариантных и контравариантных тензоров, используемых в более традиционных (координатно-зависимых ) подходы к предмету. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$

Идея, лежащая в основе отката, по сути, заключается в идее предварительного соединения одной функции с другой. Однако, объединив эту идею в нескольких различных контекстах, можно построить довольно сложные операции возврата. Эта статья начинается с простейших операций, а затем используется для построения более сложных операций. Грубо говоря, механизм обратного хода (с использованием предкомпозиции) превращает несколько конструкций дифференциальной геометрии в контравариантные функторы .

Откат гладких функций и гладких отображений

Пусть – гладкое отображение между (гладкими) многообразиями и , и предположим, что – гладкая функция на . Тогда обратный откат by является гладкой функцией , определяемой . Аналогично, если - гладкая функция на открытом множестве в , то та же самая формула определяет гладкую функцию на открытом множестве в . (На языке пучков обратный образ определяет морфизм пучка гладких функций на прямой образ пучка гладких функций на .) ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:N\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$

В более общем смысле, если является гладким отображением из в любое другое многообразие , то является гладким отображением из в . ${\displaystyle f:N\to A}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$

Откат жгутов и секций

Если - векторное расслоение (или любое расслоение ) над и является гладким отображением, то расслоение обратного образа - это векторное расслоение (или расслоение ), над которым слой над in задается выражением . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\phi ^{*}E)_{x}=E_{\phi (x)}}$

В этой ситуации предварительная композиция определяет операцию возврата на разделах : если это раздел over , то раздел возврата является разделом over . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}s=s\circ \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ ${\displaystyle M}$

Откат полилинейных форм

Пусть Φ: V → W — линейное отображение между векторными пространствами V и W (т. е. Φ — элемент L ( V , W ) , также обозначаемый Hom( V , W ) ), и пусть

$${\displaystyle F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbf {R} }$$

быть полилинейной формой на W (также известной как тензор – не путать с тензорным полем – ранга (0, s ) , где s — количество множителей W в произведении). Тогда обратный образ Φ ^∗ F формы F с помощью Φ является полилинейной формой на V , определенной предкомпозицией F с Φ. Точнее, заданные векторы v ₁ , v ₂ , ..., v _s в V , Φ ^∗ F определяются по формуле

$${\displaystyle (\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),}$$

которая является полилинейной формой на V . Следовательно, Φ ^∗ — (линейный) оператор перехода от полилинейных форм на W к полилинейным формам на V . В качестве частного случая отметим, что если F — линейная форма (или (0,1)-тензор) на W , так что F — элемент W ^∗ , двойственного к W пространства , то Φ ^∗ F является элементом V ^∗ , и поэтому обратный путь по Φ определяет линейное отображение между двойственными пространствами, которое действует в направлении, противоположном самому линейному отображению Φ:

$${\displaystyle \Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.}$$

С тензорной точки зрения естественно попытаться распространить понятие обратного образа на тензоры произвольного ранга, т. е. на полилинейные отображения на W , принимающие значения в тензорном произведении r копий W , т. е. W ⊗ W ⊗ ⋅ ⋅⋅ ⊗ Вт . Однако элементы такого тензорного произведения не возвращаются естественным путем: вместо этого существует операция продвижения вперед от V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V к W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W , заданная формулой

$${\displaystyle \Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).}$$

Тем не менее, из этого следует, что если Φ обратима, обратный ход можно определить с помощью обратной функции Φ ⁻¹ . Объединение этих двух конструкций дает операцию продвижения вперед по обратимому линейному отображению для тензоров любого ранга ( r , s ) .

Обращение котангенс векторов и 1-форм

Пусть – гладкое отображение гладких многообразий . Тогда дифференциал , записанный , или , является морфизмом векторного расслоения (над ) из касательного расслоения в расслоение обратного образа . Таким образом , транспонирование является отображением расслоения из в , кокасательное расслоение . ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{*}}$ ${\displaystyle d\phi }$ ${\displaystyle D\phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$ ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle M}$

Теперь предположим, что это часть ( 1 -формы на ), и предварительная композиция с для получения секции обратного преобразования . Применение приведенной выше карты расслоения (поточечно) к этому разделу дает обратный откат by , который является 1-формой на определенной ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T^{*}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}\alpha }$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X))}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

Обращение (ковариантных) тензорных полей

Конструкция предыдущего параграфа немедленно обобщается на тензорные расслоения ранга любого натурального числа : тензорное поле на многообразии — это сечение тензорного расслоения, на слое которого в in есть пространство полилинейных -форм. ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle F:T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .}$$

обратный откат ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle \phi ^{*}S}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle (\phi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{s}))}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

Откат дифференциальных форм

Частным важным случаем возврата ковариантных тензорных полей является возврат дифференциальных форм . Если - дифференциальная -форма, т. е. сечение внешнего расслоения (послойно) чередующихся -форм на , то обратный образ - это дифференциальная -форма на, определяемая той же формулой, что и в предыдущем разделе: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(T^{*}N)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle TN}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{k}))}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

Обращение дифференциальных форм имеет два свойства, которые делают его чрезвычайно полезным.

1. Оно совместимо с клиновым произведением в том смысле, что для дифференциальных форм и на , ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle N}$
   $${\displaystyle \phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\phi ^{*}\alpha \wedge \phi ^{*}\beta .}$$
2. Он совместим с внешней производной : если является дифференциальной формой, то ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle N}$
   $${\displaystyle \phi ^{*}(d\alpha )=d(\phi ^{*}\alpha ).}$$

Обратный ход с помощью диффеоморфизмов

Когда отображение между многообразиями является диффеоморфизмом , то есть имеет гладкое обратное, тогда обратный образ может быть определен как для векторных полей , так и для 1-форм и, следовательно, для произвольного смешанного тензорного поля на многообразии. . Линейная карта ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \Phi =d\phi _{x}\in \operatorname {GL} \left(T_{x}M,T_{\phi (x)}N\right)}$$

можно перевернуть, чтобы дать

$${\displaystyle \Phi ^{-1}=\left({d\phi _{x}}\right)^{-1}\in \operatorname {GL} \left(T_{\phi (x)}N,T_{x}M\right).}$$

Общее смешанное тензорное поле затем преобразуется с помощью и в соответствии с разложением тензорного произведения тензорного расслоения в копии и . Когда , то возврат и движение вперед описывают свойства преобразования тензора на многообразии . Традиционно, обратный образ описывает свойства преобразования ковариантных индексов тензора ; напротив, преобразование контравариантных индексов задается сдвигом вперед . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ ${\displaystyle TN}$ ${\displaystyle T^{*}N}$ ${\displaystyle M=N}$ ${\displaystyle M}$

Обратный ход с помощью автоморфизмов

Конструкция предыдущего раздела имеет теоретико-представительную интерпретацию, когда – диффеоморфизм многообразия в себя. В этом случае производная является частью . Это вызывает обратное действие на сечениях любого расслоения, связанного с расслоением фреймов представлением полной линейной группы (где ). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d\phi }$ ${\displaystyle \operatorname {GM} (TM,\phi ^{*}TM)}$ ${\displaystyle \operatorname {GM} (m)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {GM} (m)}$ ${\displaystyle m=\dim M}$

Откат и производная Лия

См. производную Лия . Применяя предыдущие идеи к локальной 1-параметрической группе диффеоморфизмов, определенных векторным полем на , и дифференцируя по параметру, получается понятие производной Ли на любом ассоциированном расслоении. ${\displaystyle M}$

Обратные связи (ковариантные производные)

Если является связностью (или ковариантной производной ) на векторном расслоении над и является гладким отображением из в , то существует обратная связь на над , однозначно определяемая условием, что ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}\nabla }$ ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \left(\phi ^{*}\nabla \right)_{X}\left(\phi ^{*}s\right)=\phi ^{*}\left(\nabla _{d\phi (X)}s\right).}$$

Смотрите также

• Толчок вперед (дифференциал)
• Пакет откатов
• Откат (теория категорий)

Рекомендации

• Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. См. разделы 1.5 и 1.6 .
• Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN 0-8053-0102-Х. См. разделы 1.7 и 2.3 .