Выпуклое метрическое пространство

Иллюстрация выпуклого метрического пространства.

В математике выпуклые метрические пространства интуитивно представляют собой метрические пространства, обладающие тем свойством, что любой «отрезок», соединяющий две точки в этом пространстве , имеет в себе и другие точки, помимо конечных точек.

Формально рассмотрим метрическое пространство ( X ,  d ) и пусть x и y — две точки в X. Говорят, что точка z в X находится между x и y , если все три точки различны, и

${\displaystyle d(x,z)+d(z,y)=d(x,y),\,}$

то есть неравенство треугольника становится равенством. Выпуклое метрическое пространство — это метрическое пространство ( X ,  d ), такое что для любых двух различных точек x и y в X существует третья точка z в X , лежащая между x и y .

Метрическая выпуклость:

• не подразумевает выпуклости в обычном смысле для подмножеств евклидова пространства (см. пример рациональных чисел)
• и это не подразумевает путевую связанность (см. пример рациональных чисел)
• и это не подразумевает геодезической выпуклости для римановых многообразий (рассмотрим, например, евклидову плоскость с удаленным замкнутым диском).

Примеры

• Евклидовы пространства, то есть обычное трехмерное пространство и его аналоги для других измерений, являются выпуклыми метрическими пространствами. Если заданы любые две различные точки и в таком пространстве, множество всех точек, удовлетворяющих указанному выше «равенству треугольника», образует отрезок прямой между и , который всегда имеет другие точки, кроме и фактически имеет континуум точек. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$

Окружность как выпуклое метрическое пространство.

• Любое выпуклое множество в евклидовом пространстве является выпуклым метрическим пространством с индуцированной евклидовой нормой. Для замкнутых множеств верно и обратное : если замкнутое подмножество евклидова пространства вместе с индуцированным расстоянием является выпуклым метрическим пространством, то оно является выпуклым множеством (это частный случай более общего утверждения, которое будет обсуждаться ниже).
• Окружность является выпуклым метрическим пространством, если расстояние между двумя точками определяется как длина кратчайшей дуги на окружности, их соединяющей .

Метрические сегменты

Пусть — метрическое пространство (не обязательно выпуклое). Подмножество называется метрическим отрезком между двумя различными точками и в , если существует замкнутый интервал на действительной прямой и изометрия ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X,\,}$

таким образом, что и ${\displaystyle \gamma ([a,b])=S,}$ ${\displaystyle \gamma (a)=x}$ ${\displaystyle \gamma (b)=y.}$

Ясно, что любая точка в таком метрическом сегменте, за исключением «конечных точек» и , находится между и Таким образом, если метрическое пространство допускает метрические сегменты между любыми двумя различными точками в пространстве, то оно является выпуклым метрическим пространством. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle (X,d)}$

Обратное , в общем случае, неверно. Рациональные числа образуют выпуклое метрическое пространство с обычным расстоянием, однако не существует отрезка, соединяющего два рациональных числа, который состоял бы только из рациональных чисел. Однако, если является выпуклым метрическим пространством, и, кроме того, оно является полным , можно доказать, что для любых двух точек в существует метрический отрезок, соединяющий их (который не обязательно единственный). ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle X}$

Выпуклые метрические пространства и выпуклые множества

Как упоминалось в разделе примеров, замкнутые подмножества евклидовых пространств являются выпуклыми метрическими пространствами тогда и только тогда, когда они являются выпуклыми множествами. Тогда естественно думать о выпуклых метрических пространствах как об обобщении понятия выпуклости за пределами евклидовых пространств, с заменой обычных линейных сегментов на метрические сегменты.

Однако важно отметить, что метрическая выпуклость, определенная таким образом, не обладает одним из важнейших свойств евклидовых выпуклых множеств, а именно тем, что пересечение двух выпуклых множеств является выпуклым. Действительно, как упоминалось в разделе примеров, окружность, в которой расстояние между двумя точками измеряется вдоль кратчайшей дуги, соединяющей их, является ( полным ) выпуклым метрическим пространством. Тем не менее, если и являются двумя точками на окружности, диаметрально противоположными друг другу, существуют два метрических отрезка, соединяющих их (две дуги, на которые эти точки разбивают окружность), и эти две дуги являются метрически выпуклыми, но их пересечение является множеством, которое не является метрически выпуклым. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$

Смотрите также

• Внутренняя метрика

Ссылки

• Хамси, Мохамед А.; Кирк, Уильям А. (2001). Введение в метрические пространства и теорию неподвижных точек . Wiley-IEEE. ISBN 0-471-41825-0.

• Капланский, Ирвинг (2001). Теория множеств и метрические пространства . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2694-8.