Выпуклая комбинация

Линейная комбинация точек, где все коэффициенты неотрицательны и в сумме равны 1.

Учитывая три точки на плоскости, как показано на рисунке, точка представляет собой выпуклую комбинацию этих трех точек, а не . ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

( однако является аффинной комбинацией трех точек, поскольку их аффинной оболочкой является вся плоскость.) ${\displaystyle Q}$

Выпуклая комбинация двух точек в двумерном векторном пространстве как анимация в Geogebra с помощью и ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle K(t):=(1-t)\cdot v_{1}+t\cdot v_{2}}$

Выпуклая комбинация трех точек в двумерном векторном пространстве , как показано на анимации с помощью , . Когда P находится внутри треугольника . В противном случае, когда P находится вне треугольника, по крайней мере один из них отрицателен. ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2}{\text{ of }}2{\text{-simplex}}\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha ^{0}+\alpha ^{1}+\alpha ^{2}=1}$ ${\displaystyle P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})}$ ${\displaystyle :=\alpha ^{0}v_{0}+\alpha ^{1}v_{1}+\alpha ^{2}v_{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Выпуклая комбинация четырех точек в трехмерном векторном пространстве в виде анимации в Geogebra с помощью и . Когда P находится внутри тетраэдра . В противном случае, когда P находится вне тетраэдра, по крайней мере один из них отрицателен. ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=1}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}\cdot A_{i}=P}$ ${\displaystyle \alpha _{i}>=0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Выпуклая комбинация двух функций как векторов в векторном пространстве функций - визуализируется в Open Source Geogebra с и в качестве первой функции определяется полином. В качестве второй функции была выбрана тригонометрическая функция . На рисунке выпуклая комбинация и изображена в виде графика красного цвета. ${\displaystyle [a,b]=[-4,7]}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x):={\frac {3}{10}}\cdot x^{2}-2}$ ${\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x):=2\cdot \cos(x)+1}$ ${\displaystyle K(t):=(1-t)\cdot f+t\cdot g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

В выпуклой геометрии и векторной алгебре выпуклая комбинация — это линейная комбинация точек (которые могут быть векторами , скалярами или, в более общем смысле, точками в аффинном пространстве ) , где все коэффициенты неотрицательны и в сумме равны 1. ^[1] В других Другими словами, операция эквивалентна стандартному средневзвешенному значению , но веса которого выражаются в процентах от общего веса, а не в долях от количества весов, как в стандартном средневзвешенном значении.

Формальное определение

Более формально, учитывая конечное число точек в действительном векторном пространстве , выпуклая комбинация этих точек представляет собой точку вида ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}$

где действительные числа удовлетворяют и ^[1] ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1.}$

В качестве частного примера: каждая выпуклая комбинация двух точек лежит на отрезке между этими точками. ^[1]

Множество называется выпуклым, если оно содержит все выпуклые комбинации своих точек. Выпуклая оболочка данного набора точек идентична множеству всех их выпуклых комбинаций. ^[1]

Существуют подмножества векторного пространства, не замкнутые относительно линейных комбинаций, но замкнутые относительно выпуклых комбинаций. Например, интервал выпуклый, но при линейных комбинациях образует линию действительных чисел. Другим примером является выпуклое множество вероятностных распределений , поскольку линейные комбинации не сохраняют ни неотрицательности, ни аффинности (т. е. имеют полную интегральную близость). ${\displaystyle [0,1]}$

Другие объекты

• Говорят , что случайная величина имеет распределение -компонентной конечной смеси, если ее функция плотности вероятности представляет собой выпуклую комбинацию так называемых плотностей компонентов. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Связанные конструкции

• Коническая комбинация — это линейная комбинация с неотрицательными коэффициентами. Когда точка должна использоваться в качестве исходной точки для определения векторов смещения , она является выпуклой комбинацией точек тогда и только тогда, когда нулевое смещение является нетривиальной конической комбинацией их соответствующих векторов смещения относительно . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$
• Взвешенные средние функционально аналогичны выпуклым комбинациям, но в них используются другие обозначения. Коэффициенты ( веса ) средневзвешенного значения не обязаны давать в сумме 1; вместо этого взвешенная линейная комбинация явно делится на сумму весов.
• Аффинные комбинации подобны выпуклым комбинациям, но коэффициенты не обязательно должны быть неотрицательными. Следовательно, аффинные комбинации определяются в векторных пространствах над любым полем .

Смотрите также

• Аффинная оболочка
• Теорема Каратеодори (выпуклая оболочка)
• Симплекс
• Барицентрическая система координат
• Выпуклое пространство

Рекомендации

1. Рокафеллар, Р. Тиррелл (1970), Выпуклый анализ , Princeton Mathematical Series, vol. 28, Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, стр. 11–12, MR  0274683 .

Внешние ссылки

• Выпуклая сумма/комбинация с треугольником — интерактивная иллюстрация
• Выпуклая сумма/комбинация с шестиугольником - интерактивная иллюстрация
• Выпуклая сумма/комбинация с тетраэдром - интерактивная иллюстрация