Выпуклая комбинация

Линейная комбинация точек, где все коэффициенты неотрицательны и в сумме дают 1

Если на плоскости заданы три точки , как показано на рисунке, то точка является выпуклой комбинацией трех точек, а не является . ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

( однако является аффинной комбинацией трех точек, поскольку их аффинная оболочка — это вся плоскость.) ${\displaystyle Q}$

Выпуклая комбинация двух точек в двумерном векторном пространстве как анимация в Geogebra с и ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle K(t):=(1-t)\cdot v_{1}+t\cdot v_{2}}$

Выпуклая комбинация трех точек в двумерном векторном пространстве , как показано на анимации с , . Когда P находится внутри треугольника . В противном случае, когда P находится снаружи треугольника, по крайней мере один из отрицателен. ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2}{\text{ of }}2{\text{-simplex}}\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha ^{0}+\alpha ^{1}+\alpha ^{2}=1}$ ${\displaystyle P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})}$ ${\displaystyle :=\alpha ^{0}v_{0}+\alpha ^{1}v_{1}+\alpha ^{2}v_{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Выпуклая комбинация четырех точек в трехмерном векторном пространстве как анимация в Geogebra с и . Когда P находится внутри тетраэдра . В противном случае, когда P находится снаружи тетраэдра, по крайней мере один из отрицателен. ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=1}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}\cdot A_{i}=P}$ ${\displaystyle \alpha _{i}>=0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Выпуклая комбинация двух функций как векторов в векторном пространстве функций - визуализировано в Open Source Geogebra с и в качестве первой функции определен полином. В качестве второй функции была выбрана тригонометрическая функция . На рисунке показана выпуклая комбинация и в виде графика красного цвета. ${\displaystyle [a,b]=[-4,7]}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x):={\frac {3}{10}}\cdot x^{2}-2}$ ${\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x):=2\cdot \cos(x)+1}$ ${\displaystyle K(t):=(1-t)\cdot f+t\cdot g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

В выпуклой геометрии и векторной алгебре выпуклая комбинация — это линейная комбинация точек (которые могут быть векторами , скалярами или, в более общем смысле, точками в аффинном пространстве ), где все коэффициенты неотрицательны и в сумме дают 1. ^{[1] Другими} словами , операция эквивалентна стандартному взвешенному среднему , но веса которого выражаются в процентах от общего веса, а не в виде дроби от количества весов, как в стандартном взвешенном среднем.

Формальное определение

Более формально, если задано конечное число точек в действительном векторном пространстве , то выпуклая комбинация этих точек представляет собой точку вида ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}$

где действительные числа удовлетворяют и ^[1] ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1.}$

В качестве частного примера, каждая выпуклая комбинация двух точек лежит на отрезке прямой между этими точками. ^[1]

Множество является выпуклым, если оно содержит все выпуклые комбинации своих точек. Выпуклая оболочка данного множества точек идентична множеству всех их выпуклых комбинаций. ^[1]

Существуют подмножества векторного пространства, которые не замкнуты относительно линейных комбинаций, но замкнуты относительно выпуклых комбинаций. Например, интервал является выпуклым, но порождает прямую действительных чисел относительно линейных комбинаций. Другим примером является выпуклое множество распределений вероятностей , поскольку линейные комбинации не сохраняют ни неотрицательности, ни сродства (т. е. не имеют полного целочисленного значения). ${\displaystyle [0,1]}$

Другие объекты

• Говорят, что случайная величина имеет конечно-смешанное распределение из α-компонент , если ее функция плотности вероятности представляет собой выпуклую комбинацию так называемых плотностей компонент. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Связанные конструкции

• Коническая комбинация — это линейная комбинация с неотрицательными коэффициентами. Когда точка должна использоваться в качестве начала отсчета для определения векторов смещения , то является выпуклой комбинацией точек тогда и только тогда, когда нулевое смещение является нетривиальной конической комбинацией их соответствующих векторов смещения относительно . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$
• Взвешенные средние функционально такие же, как и выпуклые комбинации, но они используют другую нотацию. Коэффициенты ( веса ) во взвешенном среднем не обязаны давать в сумме 1; вместо этого взвешенная линейная комбинация явно делится на сумму весов.
• Аффинные комбинации подобны выпуклым комбинациям, но коэффициенты не обязаны быть неотрицательными. Поэтому аффинные комбинации определяются в векторных пространствах над любым полем .

Смотрите также

• Аффинная оболочка
• Теорема Каратеодори (выпуклая оболочка)
• Симплекс
• Барицентрическая система координат
• Выпуклое пространство

Ссылки

1. Rockafellar, R. Tyrrell (1970), Выпуклый анализ , Princeton Mathematical Series, т. 28, Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, стр. 11–12, MR  0274683

Внешние ссылки

• Выпуклая сумма/комбинация с треугольником - интерактивная иллюстрация
• Выпуклая сумма/комбинация с шестиугольником - интерактивная иллюстрация
• Выпуклая сумма/комбинация с тетраэдром - интерактивная иллюстрация