Отделение геометрии
В математике выпуклая геометрия — раздел геометрии, изучающий выпуклые множества , преимущественно в евклидовом пространстве . Выпуклые множества естественным образом встречаются во многих областях: вычислительная геометрия , выпуклый анализ , дискретная геометрия , функциональный анализ , геометрия чисел , интегральная геометрия , линейное программирование , теория вероятностей , теория игр и т. д.
Классификация
Согласно Предметной классификации математики MSC2010 [1] математическая дисциплина «Выпуклая и дискретная геометрия» включает три основных раздела: [2]
- общая выпуклость
- многогранники и многогранники
- дискретная геометрия
(хотя в выпуклую геометрию включены только части последних двух).
Общая выпуклость далее подразделяется следующим образом: [3]
- аксиоматическая и обобщенная выпуклость
- выпуклые множества без ограничений на размерность
- выпуклые множества в топологических векторных пространствах
- выпуклые множества в двух измерениях (включая выпуклые кривые)
- выпуклые множества в трех измерениях (включая выпуклые поверхности)
- выпуклые множества в n измерениях (включая выпуклые гиперповерхности)
- конечномерные банаховы пространства
- случайные выпуклые множества и интегральная геометрия
- асимптотическая теория выпуклых тел
- аппроксимация выпуклыми множествами
- варианты выпуклых множеств (звездообразные, ( m, n )-выпуклые и т. д.)
- Теоремы типа Хелли и геометрическая теория трансверсалей
- другие проблемы комбинаторной выпуклости
- длина, площадь, объем
- смешанные тома и связанные темы
- оценки на выпуклых телах
- неравенства и экстремальные задачи
- выпуклые функции и выпуклые программы
- сферическая и гиперболическая выпуклость
Историческая справка
Выпуклая геометрия — сравнительно молодая математическая дисциплина. Хотя первые известные вклады в выпуклую геометрию относятся к античности и их можно проследить в работах Евклида и Архимеда , на рубеже 20-го века она стала самостоятельной отраслью математики, главным образом благодаря работам Германа Брунна и Германа Минковского. в измерениях два и три. Большая часть их результатов вскоре была обобщена на пространства более высоких размерностей, а в 1934 г. Т. Боннесен и В. Фенхель дали исчерпывающий обзор выпуклой геометрии в евклидовом пространстве Rn . Дальнейшее развитие выпуклой геометрии в 20 веке и ее связь с многочисленными математическими дисциплинами обобщены в Справочнике по выпуклой геометрии под редакцией П. М. Грубера и Дж. М. Уиллса.
Смотрите также
Примечания
- ^ Веб-сайт предметной классификации математики MSC2010
- ^ Классификация предметов математики MSC2010, запись 52 «Выпуклая и дискретная геометрия»
- ^ Классификация предметов математики MSC2010, запись 52A «Общая выпуклость»
Рекомендации
Разъяснительные статьи по выпуклой геометрии
- К. Болл, Элементарное введение в современную выпуклую геометрию, в: Flavors of Geometry, стр. 1–58, Math. наук. Рез. Инст. Опубл. Том. 31, Кембриджский университет. Press, Кембридж, 1997, доступно в Интернете.
- Бергер М., Выпуклость, Амер. Математика. Ежемесячно, Том. 97 (1990), 650–678. дои: 10.2307/2324573
- П. М. Грубер, Аспекты выпуклости и ее применения, Изложение. Матем., Том. 2 (1984), 47–83.
- В. Клее. Что такое выпуклое множество? амер. Математика. Ежемесячно, Том. 78 (1971), 616–631, doi:10.2307/2316569
Книги по выпуклой геометрии
- Т. Боннесен, В. Фенхель, Theorie der konvexen Körper, Julius Springer, Берлин, 1934. Английский перевод: Теория выпуклых тел, BCS Associates, Москва, ID, 1987.
- Р. Дж. Гарднер, Геометрическая томография, издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк, 1995. Второе издание: 2006 г.
- П. М. Грубер , Выпуклая и дискретная геометрия, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2007.
- П. М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Справочник по выпуклой геометрии. Том. А.Б., Северная Голландия, Амстердам, 1993 г.
- Г. Пизье, Объем выпуклых тел и геометрия банахового пространства, Cambridge University Press, Кембридж, 1989.
- Р. Шнайдер, Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993; Второе издание: 2014 г.
- А.С. Томпсон, Геометрия Минковского, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1996.
Статьи по истории выпуклой геометрии
- В. Фенхель, Выпуклость на протяжении веков, (Датское) Датское математическое общество (1929–1973), стр. 103–116, Dansk. Мат. Форенинг, Копенгаген, 1973. Английский перевод: Выпуклость на протяжении веков, в: П. М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Выпуклость и ее приложения, стр. 120–130, Birkhauser Verlag, Базель, 1983.
- П. М. Грубер, Zur Geschichte der Konvexgeometry und der Geometrie der Zahlen, в: G. Fischer, et al. (редакторы), Ein Jahrhundert Mathematik 1890–1990, стр. 421–455, Dokumente Gesch. Матем., Том. 6, Ф. Вевег и Зон, Брауншвейг; Deutsche Mathematiker Vereinigung, Фрайбург, 1990.
- П. М. Грубер, История выпуклости, в: П. М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Справочник по выпуклой геометрии. Том. А, стр. 1–15, Северная Голландия, Амстердам, 1993.
Внешние ссылки
СМИ, связанные с выпуклой геометрией, на Викискладе?
СМИ, связанные с выпуклой геометрией, на Викискладе?