Выпуклые предпочтения

Концепция в экономике

В экономике выпуклые предпочтения — это упорядочивание индивидом различных результатов, как правило, в отношении количеств различных потребляемых товаров, со свойством, что, грубо говоря, «средние лучше крайностей». Концепция примерно соответствует концепции убывающей предельной полезности без необходимости использования функций полезности .

Обозначение

Подобно отношению порядка « больше или равно» для действительных чисел, приведенную ниже запись можно перевести как: «по крайней мере так же хорошо, как» (в удовлетворении предпочтений ). ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle \succeq }$

Аналогично можно перевести как «строго лучше, чем» (в удовлетворении предпочтений), и Аналогично можно перевести как «эквивалентно» (в удовлетворении предпочтений). ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle \sim }$

Определение

Используйте x , y и z для обозначения трех потребительских наборов (комбинаций различных количеств различных товаров). Формально отношение предпочтения на потребительском множестве X называется выпуклым, если всякий раз, когда ${\displaystyle \succeq }$

${\displaystyle x,y,z\in X}$где и , ${\displaystyle y\succeq x}$ ${\displaystyle z\succeq x}$

тогда для каждого : ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )z\succeq x}$.

т. е. для любых двух наборов, каждый из которых рассматривается как по крайней мере такой же хороший, как третий набор, средневзвешенное значение двух наборов рассматривается как по крайней мере такое же хорошее, как третий набор.

Отношение предпочтения называется строго выпуклым, если всякий раз, когда ${\displaystyle \succeq }$

${\displaystyle x,y,z\in X}$где , , и , ${\displaystyle y\succeq x}$ ${\displaystyle z\succeq x}$ ${\displaystyle y\neq z}$

тогда для каждого : ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )z\succ x}$

т. е. для любых двух различных наборов, каждый из которых рассматривается как по крайней мере такой же хороший, как третий набор, средневзвешенное значение двух наборов (включая положительное количество каждого набора) рассматривается как строго лучшее, чем третий набор. ^{[1] [2]}

Альтернативное определение

Используйте x и y для обозначения двух потребительских наборов. Отношение предпочтения называется выпуклым, если для любого ${\displaystyle \succeq }$

${\displaystyle x,y\in X}$где ${\displaystyle y\succeq x}$

тогда для каждого : ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\succeq x}$.

То есть, если набор y предпочтительнее набора x , то любая смесь y с x по-прежнему предпочтительнее набора x . ^[3]

Отношение предпочтения называется строго выпуклым, если всякий раз, когда

${\displaystyle x,y\in X}$где , и , ${\displaystyle y\sim x}$ ${\displaystyle x\neq y}$

тогда для каждого : ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\succ x}$.

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\succ y}$.

То есть, для любых двух наборов, которые рассматриваются как эквивалентные, средневзвешенное значение двух наборов лучше, чем каждый из этих наборов. ^[4]

Примеры

1. Если есть только один тип товара, то любое слабо-монотонно возрастающее отношение предпочтения является выпуклым. Это потому, что если , то каждое средневзвешенное значение y и ס также равно . ${\displaystyle y\geq x}$ ${\displaystyle \geq x}$

2. Рассмотрим экономику с двумя типами товаров, 1 и 2. Рассмотрим отношение предпочтения, представленное следующей функцией полезности Леонтьева :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\min(x_{1},x_{2})}$

Это отношение предпочтения является выпуклым. Доказательство : предположим, что x и y — два эквивалентных набора, т. е . . Если минимальное количество товара в обоих наборах одинаково (например, товар 1), то это подразумевает . Тогда любое взвешенное среднее также имеет одинаковое количество товара 1, поэтому любое взвешенное среднее эквивалентно и . Если минимальный товар в каждом наборе различен (например, но ), то это подразумевает . Тогда и , поэтому . Это отношение предпочтения является выпуклым, но не строго выпуклым. ${\displaystyle \min(x_{1},x_{2})=\min(y_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle x_{1}=y_{1}\leq x_{2},y_{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}$ ${\displaystyle y_{1}\geq y_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}=y_{2}\leq x_{2},y_{1}}$ ${\displaystyle \theta x_{1}+(1-\theta )y_{1}\geq x_{1}}$ ${\displaystyle \theta x_{2}+(1-\theta )y_{2}\geq y_{2}}$ ${\displaystyle \theta x+(1-\theta )y\succeq x,y}$

3. Отношение предпочтения, представленное линейными функциями полезности , является выпуклым, но не строго выпуклым. Всякий раз , когда , каждая выпуклая комбинация эквивалентна любой из них. ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x,y}$

4. Рассмотрим отношение предпочтения, представленное следующим образом:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\max(x_{1},x_{2})}$

Это отношение предпочтения не является выпуклым. Доказательство : пусть и . Тогда, поскольку оба имеют полезность 5. Однако, выпуклая комбинация хуже, чем они оба, поскольку ее полезность равна 4. ${\displaystyle x=(3,5)}$ ${\displaystyle y=(5,3)}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle 0.5x+0.5y=(4,4)}$

Связь с кривыми безразличия и функциями полезности

Набор кривых безразличия выпуклой формы отображает выпуклые предпочтения: если задана выпуклая кривая безразличия, содержащая набор всех наборов (из двух или более товаров), которые рассматриваются как одинаково желаемые, то набор всех наборов товаров, которые рассматриваются как по крайней мере столь же желаемые, как и наборы на кривой безразличия, является выпуклым набором .

Выпуклые предпочтения с их связанным выпуклым отображением безразличия возникают из квазивогнутых функций полезности, хотя они не являются необходимыми для анализа предпочтений. Например, функции полезности Constant Elasticity of Substitution (CES) описывают выпуклые, гомотетические предпочтения. Предпочтения CES являются самодвойственными, и как первичные, так и двойственные предпочтения CES дают системы кривых безразличия, которые могут демонстрировать любую степень выпуклости. ^[5]

Смотрите также

• Выпуклая функция
• Уровень установлен
• Квази-выпуклая функция
• Полунепрерывная функция
• Лемма Шепли–Фолкмана

Ссылки

1. Хэл Р. Вариан ; Промежуточный уровень микроэкономики: современный подход . Нью-Йорк: WW Norton & Company. ISBN  0-393-92702-4
2. Мас-Колелл, Андре ; Уинстон, Майкл ; и Грин, Джерри (1995). Микроэкономическая теория . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-507340-9 
3. Борд, Саймон (6 октября 2009 г.). «Предпочтения и полезность» (PDF) . Экономика 11. Микроэкономическая теория. Осень 2009 г. Калифорнийский университет, Лос-Анджелес.
4. Сандерс, Николас Дж. «Предпочтение и полезность — базовый обзор и примеры» (PDF) . Колледж Уильяма и Мэри . Архивировано из оригинала (PDF) 20 марта 2013 г.
5. Балтас, Джордж (2001). «Системы спроса на бренды, соответствующие полезности, с эндогенным потреблением категории: принципы и маркетинговые приложения». Decision Sciences . 32 (3): 399–422. doi :10.1111/j.1540-5915.2001.tb00965.x.