Вырожденные уровни энергии

Уровень энергии квантовой системы, соответствующий двум или более различным измеримым состояниям.

В квантовой механике уровень энергии является вырожденным , если он соответствует двум или более различным измеримым состояниям квантовой системы . И наоборот, два или более различных состояний квантовомеханической системы называются вырожденными, если при измерении они дают одинаковое значение энергии. Число различных состояний, соответствующих определенному уровню энергии, называется степенью вырождения (или просто вырождения ) уровня. Математически это представляется гамильтонианом для системы, имеющей более одного линейно независимого собственного состояния с одинаковым собственным значением энергии . ^{[1] : 48} В этом случае одной энергии недостаточно, чтобы охарактеризовать, в каком состоянии находится система, и необходимы другие квантовые числа , чтобы охарактеризовать точное состояние, когда различие желательно. В классической механике это можно понимать как различные возможные траектории, соответствующие одной и той же энергии.

Вырождение играет фундаментальную роль в квантовой статистической механике . Для системы N -частиц в трех измерениях один энергетический уровень может соответствовать нескольким различным волновым функциям или энергетическим состояниям. Все эти вырожденные состояния на одном уровне имеют равную вероятность заполнения. Число таких состояний дает вырождение определенного уровня энергии.

Вырожденные состояния в квантовой системе

Математика

Возможные состояния квантово-механической системы можно математически рассматривать как абстрактные векторы в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве , в то время как наблюдаемые могут быть представлены линейными эрмитовыми операторами , действующими на них. Выбрав подходящий базис , можно определить компоненты этих векторов и матричные элементы операторов в этом базисе. Если A — матрица размера N  ×  N , X — ненулевой вектор и λ — скаляр такой, что , то скаляр λ называется собственным значением A , а вектор X называется собственным вектором, соответствующим λ . Вместе с нулевым вектором набор всех собственных векторов , соответствующих данному собственному значению λ , образует подпространство C ⁿ , которое называется собственным пространством λ . Собственное значение λ , которое соответствует двум или более различным линейно независимым собственным векторам, называется вырожденным , т. е. и , где и – линейно независимые собственные векторы. Размерность собственного пространства , соответствующего этому собственному значению, известна как его степень вырождения , которая может быть конечной или бесконечной. Собственное значение называется невырожденным, если его собственное пространство одномерно. ${\displaystyle AX=\lambda X}$ ${\displaystyle AX_{1}=\lambda X_{1}}$ ${\displaystyle AX_{2}=\lambda X_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$

Собственные значения матриц, представляющих физические наблюдаемые в квантовой механике, дают измеримые значения этих наблюдаемых, в то время как собственные состояния, соответствующие этим собственным значениям, дают возможные состояния, в которых система может находиться после измерения. Измеримые значения энергии квантовой системы задаются собственными значениями оператора Гамильтона, а его собственные состояния дают возможные энергетические состояния системы. Значение энергии называется вырожденным, если с ним связаны хотя бы два линейно независимых энергетических состояния. Более того, любая линейная комбинация двух или более вырожденных собственных состояний также является собственным состоянием оператора Гамильтона, соответствующим тому же собственному значению энергии. Это ясно следует из того факта, что собственное пространство собственного значения значения энергии λ является подпространством ( ядро гамильтониана минус λ , умноженное на единицу), следовательно, замкнуто относительно линейных комбинаций.

Доказательство приведенной выше теоремы. ^{[2] : с. 52}

Если представляет гамильтонов оператор и и являются двумя собственными состояниями, соответствующими одному и тому же собственному значению E , то ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

$${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{1}\rangle =E|\psi _{1}\rangle }$$

$${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{2}\rangle =E|\psi _{2}\rangle }$$

Пусть , где и – комплексные (вообще говоря) константы, – любая линейная комбинация и . Затем, ${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}|\psi \rangle &={\hat {H}}(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle )\\&=c_{1}{\hat {H}}|\psi _{1}\rangle +c_{2}{\hat {H}}|\psi _{2}\rangle \\&=E(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle )\\&=E|\psi \rangle \end{aligned}}}$$

который показывает, что это собственное состояние с тем же собственным значением E . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Влияние вырождения на измерение энергии

В отсутствие вырождения, если определяется измеренное значение энергии квантовой системы, соответствующее состояние системы считается известным, поскольку каждому собственному значению энергии соответствует только одно собственное состояние. Однако, если гамильтониан имеет вырожденное собственное значение степени g _{n , связанные} с ним собственные состояния образуют векторное подпространство размерности g _n . В таком случае с одним и тем же результатом могут быть связаны несколько конечных состояний , все из которых являются линейными комбинациями ортонормированных собственных векторов _gn . ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle |E_{n,i}\rangle }$

В этом случае вероятность того, что измеренное для системы в состоянии значение энергии даст значение, определяется суммой вероятностей нахождения системы в каждом из состояний в этом базисе, т.е. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle P(E_{n})=\sum _{i=1}^{g_{n}}|\langle E_{n,i}|\psi \rangle |^{2}}$

Вырождение в разных измерениях

Целью этого раздела является иллюстрация существования вырожденных уровней энергии в квантовых системах, изучаемых в различных измерениях. Изучение одномерных и двумерных систем помогает концептуальному пониманию более сложных систем.

Вырождение в одном измерении

В ряде случаев аналитические результаты легче получить при исследовании одномерных систем. Для квантовой частицы с волновой функцией, движущейся в одномерном потенциале , независимое от времени уравнение Шредингера можно записать как ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi }$

Поскольку это обыкновенное дифференциальное уравнение, то для данной энергии существует не более двух независимых собственных функций, так что степень вырождения никогда не превышает двух. Можно доказать, что в одном измерении не существует вырожденных связанных состояний для нормируемых волновых функций . Достаточным условием кусочно-непрерывного потенциала и энергии является существование двух действительных чисел с такими, что имеем . ^[3] В частности, ограничено снизу по этому критерию. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M,x_{0}}$ ${\displaystyle M\neq 0}$ ${\displaystyle \forall x>x_{0}}$ ${\displaystyle V(x)-E\geq M^{2}}$ ${\displaystyle V}$

Вырождение в двумерных квантовых системах

Двумерные квантовые системы существуют во всех трех состояниях материи, и большая часть разнообразия, наблюдаемого в трехмерной материи, может быть создана в двух измерениях. Реальные двумерные материалы состоят из моноатомных слоев на поверхности твердых тел. Некоторые примеры двумерных электронных систем, полученных экспериментально, включают МОП-транзистор , двумерные сверхрешетки гелия , неона , аргона , ксенона и т . д. и поверхность жидкого гелия . Наличие вырожденных уровней энергии изучается в случаях частицы в ящике и двумерного гармонического осциллятора , которые выступают в качестве полезных математических моделей для нескольких систем реального мира.

Частица в прямоугольной плоскости

Рассмотрим свободную частицу в плоскости измерений и в плоскости непроницаемых стенок. Нестационарное уравнение Шредингера для этой системы с волновой функцией можно записать как ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial y}^{2}}}\right)=E\psi }$

Разрешенные значения энергии:

${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}}\right)}$

Нормированная волновая функция

${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}(x,y)={\frac {2}{\sqrt {L_{x}L_{y}}}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L_{y}}}\right)}$

где ${\displaystyle n_{x},n_{y}=1,2,3...}$

Итак, квантовые числа и необходимы для описания собственных значений энергии, а наименьшая энергия системы определяется выражением ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$

${\displaystyle E_{1,1}=\pi ^{2}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {1}{L_{x}^{2}}}+{\frac {1}{L_{y}^{2}}}\right)}$

При некоторых соизмеримых отношениях двух длин и некоторые пары состояний вырождены. Если , где p и q — целые числа, состояния и имеют одинаковую энергию и поэтому вырождены друг к другу. ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle L_{x}/L_{y}=p/q}$ ${\displaystyle (n_{x},n_{y})}$ ${\displaystyle (pn_{y}/q,qn_{x}/p)}$

Частица в квадратной коробке

В этом случае размеры ящика и собственные значения энергии определяются выражением ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L}$

${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})}$

Поскольку и можно менять местами без изменения энергии, каждый энергетический уровень имеет вырождение не менее двух, когда и различны. Вырожденные состояния получаются и тогда, когда сумма квадратов квантовых чисел, соответствующих разным уровням энергии, одинакова. Например, все три состояния (n _x = 7, n _y = 1), (n _x = 1, n _y = 7) и (n _x = _ny = 5) имеют вырожденное множество и составляют его. ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle E=50{\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}}$

Степени вырождения разных уровней энергии для частицы в квадратном ящике:

Частица в кубическом ящике

В этом случае размеры ящика и собственные значения энергии зависят от трех квантовых чисел. ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=L}$

${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})}$

Поскольку и можно менять местами без изменения энергии, каждый энергетический уровень имеет вырождение по крайней мере три, когда не все три квантовых числа равны . ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$

Нахождение единственного собственного базиса в случае вырождения

Если два оператора и коммутируют, т. е. , то для каждого собственного вектора , также является собственным вектором с тем же собственным значением. Однако если это собственное значение, скажем , вырождено, можно сказать, что оно принадлежит собственному пространству , которое называется глобально инвариантным относительно действия . ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\hat {B}}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle E_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Для двух коммутирующих наблюдаемых A и B можно построить ортонормированный базис пространства состояний с собственными векторами, общими для двух операторов. Однако является вырожденным собственным значением , то это собственное подпространство, которое инвариантно относительно действия , поэтому представление в собственном базисе является не диагональной, а блочно-диагональной матрицей , т. е. вырожденные собственные векторы не являются, вообще говоря, , собственные векторы . Однако всегда можно выбрать в каждом вырожденном собственном подпространстве базис собственных векторов, общих для и . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Выбор полного набора коммутирующих наблюдаемых

Если данная наблюдаемая A невырождена, существует единственный базис, образованный ее собственными векторами. С другой стороны, если одно или несколько собственных значений вырождены, указания собственного значения недостаточно для характеристики базисного вектора. Если, выбирая наблюдаемую , которая коммутирует с , можно построить ортонормированный базис собственных векторов, общих для и , который уникален, для каждой из возможных пар собственных значений {a, b}, то и говорят, что образуют a полный набор коммутирующих наблюдаемых . Однако, если уникальный набор собственных векторов все еще не может быть указан, по крайней мере, для одной из пар собственных значений, третья наблюдаемая , которая коммутирует с обоими и может быть найдена так, что эти три образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых. ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Отсюда следует, что собственные функции гамильтониана квантовой системы с общим значением энергии необходимо маркировать, давая некоторую дополнительную информацию, что можно сделать, выбрав оператор, коммутирующий с гамильтонианом. Эти дополнительные метки требовали присвоения уникальной собственной функции энергии и обычно связаны с константами движения системы.

Вырожденные собственные состояния энергии и оператор четности

Оператор четности определяется его действием в представлении замены r на −r, т.е. ${\displaystyle |r\rangle }$

${\displaystyle \langle r|P|\psi \rangle =\psi (-r)}$

Можно показать, что собственные значения P ограничены , которые оба являются вырожденными собственными значениями в бесконечномерном пространстве состояний. Собственный вектор P с собственным значением +1 называется четным, а с собственным значением −1 — нечетным. ${\displaystyle \pm 1}$

Теперь четный оператор — это оператор, который удовлетворяет следующим условиям: ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle {\tilde {A}}=P{\hat {A}}P}$

${\displaystyle [P,{\hat {A}}]=0}$

в то время как нечетный оператор - это тот, который удовлетворяет ${\displaystyle {\hat {B}}}$

${\displaystyle P{\hat {B}}+{\hat {B}}P=0}$

Поскольку квадрат оператора импульса четный, то при четном потенциале V(r) гамильтониан называется четным оператором. В этом случае, если каждое из его собственных значений невырождено, каждый собственный вектор обязательно является собственным состоянием P, и, следовательно, можно искать собственные состояния среди четных и нечетных состояний. Однако, если одно из собственных состояний энергии не имеет определенной четности , можно утверждать, что соответствующее собственное значение вырождено и является собственным вектором с тем же собственным значением, что и . ${\displaystyle {\hat {p}}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle P|\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Вырождение и симметрия

Физической причиной вырождения квантовомеханической системы часто является наличие некоторой симметрии в системе. Изучение симметрии квантовой системы в некоторых случаях может позволить нам найти уровни энергии и вырождения без решения уравнения Шредингера, что сокращает усилия.

Математически связь вырождения с симметрией можно пояснить следующим образом. Рассмотрим операцию симметрии , связанную с унитарным оператором S. При такой операции новый гамильтониан связан с исходным гамильтонианом преобразованием подобия , порожденным оператором S , таким, что , поскольку S унитарен. Если гамильтониан остается неизменным при операции преобразования S , мы имеем ${\displaystyle H'=SHS^{-1}=SHS^{\dagger }}$

${\displaystyle SHS^{\dagger }=H}$

${\displaystyle SHS^{-1}=H}$

${\displaystyle SH=HS}$

${\displaystyle [S,H]=0}$

Теперь, если это собственное состояние энергии, ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle H|\alpha \rangle =E|\alpha \rangle }$

где E — соответствующее собственное значение энергии.

${\displaystyle HS|\alpha \rangle =SH|\alpha \rangle =SE|\alpha \rangle =ES|\alpha \rangle }$

что означает, что это также собственное состояние энергии с тем же собственным значением E . Если два состояния и линейно независимы (т.е. физически различны), то они, следовательно, вырождены. ${\displaystyle S|\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle S|\alpha \rangle }$

В случаях, когда S характеризуется непрерывным параметром , все состояния формы имеют одинаковое собственное значение энергии. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle S(\epsilon )|\alpha \rangle }$

Группа симметрии гамильтониана

Говорят, что совокупность всех операторов, коммутирующих с гамильтонианом квантовой системы, образует группу симметрии гамильтониана. Коммутаторы образующих этой группы определяют алгебру группы . n-мерное представление группы симметрии сохраняет таблицу умножения операторов симметрии. Возможные вырождения гамильтониана с определенной группой симметрии задаются размерностями неприводимых представлений группы. Собственные функции, соответствующие n-кратно вырожденному собственному значению, составляют основу n-мерного неприводимого представления группы симметрии гамильтониана.

Виды вырождения

Вырождения в квантовой системе могут носить систематический или случайный характер.

Систематическое или существенное вырождение

Это также называется геометрическим или нормальным вырождением и возникает из-за наличия некоторой симметрии в рассматриваемой системе, т. е. инвариантности гамильтониана относительно определенной операции, как описано выше. Представление, полученное в результате нормального вырождения, неприводимо, и соответствующие собственные функции составляют основу этого представления.

Случайное вырождение

Это тип вырождения, возникающий из-за некоторых особенностей системы или функциональной формы рассматриваемого потенциала и связанный, возможно, со скрытой динамической симметрией в системе. ^[4] Это также приводит к сохранению величин, которые часто нелегко идентифицировать. Случайные симметрии приводят к этим дополнительным вырождениям в дискретном энергетическом спектре. Случайное вырождение может быть связано с тем, что группа гамильтониана неполна. Эти вырождения связаны с существованием связанных орбит в классической физике.

Примеры: потенциалы Кулона и гармонического осциллятора.

Для частицы в центральном 1/ r- потенциале вектор Лапласа-Рунге-Ленца является сохраняющейся величиной, возникающей в результате случайного вырождения в дополнение к сохранению углового момента из-за вращательной инвариантности.

Для частицы, движущейся по конусу под действием потенциалов 1/ r и r2 , центрированных на вершине конуса, сохраняющимися величинами, соответствующими случайной симметрии ^, будут две компоненты эквивалента вектора Рунге-Ленца, кроме того одной компоненте вектора углового момента. Эти величины порождают SU(2) -симметрию для обоих потенциалов.

Пример: частица в постоянном магнитном поле.

Частица, движущаяся под действием постоянного магнитного поля, совершающая циклотронное движение по круговой орбите, является еще одним важным примером случайной симметрии. Мультиплетами симметрии в этом случае являются бесконечно вырожденные уровни Ландау .

Примеры

Атом водорода

В атомной физике связанные состояния электрона в атоме водорода показывают нам полезные примеры вырождения. В этом случае гамильтониан коммутирует с полным орбитальным угловым моментом , его компонентом вдоль направления z , полным спиновым угловым моментом и его z-компонентом . Квантовые числа, соответствующие этим операторам, равны , , (всегда 1/2 для электрона) и соответственно. ${\displaystyle {\hat {L^{2}}}}$ ${\displaystyle {\hat {L_{z}}}}$ ${\displaystyle {\hat {S^{2}}}}$ ${\displaystyle {\hat {S_{z}}}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m_{l}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m_{s}}$

Энергетические уровни в атоме водорода зависят только от главного квантового числа n . Для данного n все соответствующие состояния имеют одинаковую энергию и вырождены. Аналогично для заданных значений n и l состояния с вырождены. Таким образом , степень вырождения уровня энергии En _равна : , которая удваивается, если учитывать спиновое вырождение. ^{[1] : с. 267f} ${\displaystyle l=0,\ldots ,n-1}$ ${\displaystyle (2l+1)}$ ${\displaystyle m_{l}=-l,\ldots ,l}$ ${\displaystyle \sum _{l\mathop {=} 0}^{n-1}(2l+1)=n^{2}}$

Вырождение по является существенным вырождением, имеющимся для любого центрального потенциала и возникающим из-за отсутствия выделенного пространственного направления. Вырождение по часто описывается как случайное вырождение, но его можно объяснить с точки зрения особых симметрий уравнения Шредингера, которые справедливы только для атома водорода, в котором потенциальная энергия определяется законом Кулона . ^{[1] : с. 267f} ${\displaystyle m_{l}}$ ${\displaystyle l}$

Изотропный трехмерный гармонический генератор

Это бесспиновая частица массы m, движущаяся в трехмерном пространстве под действием центральной силы , абсолютное значение которой пропорционально расстоянию частицы от центра силы.

${\displaystyle F=-kr}$

Его называют изотропным, поскольку действующий на него потенциал вращательно-инвариантен, т. е.: ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle V(r)=1/2\left(m\omega ^{2}r^{2}\right)}$

где угловая частота определяется выражением . ${\displaystyle \omega }$ ${\textstyle {\sqrt {k/m}}}$

Поскольку пространство состояний такой частицы представляет собой тензорное произведение пространств состояний, связанных с отдельными одномерными волновыми функциями, независимое от времени уравнение Шредингера для такой системы имеет вид:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}{m\omega ^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\psi }=E\psi }$

Итак, собственные значения энергии равны ${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=(n_{x}+n_{y}+n_{z}+3/2)\hbar \omega }$

или, ${\displaystyle E_{n}=(n+3/2)\hbar \omega }$

где n — неотрицательное целое число. Итак, уровни энергии вырождены и степень вырождения равна числу различных множеств, удовлетворяющих ${\displaystyle \{n_{x},n_{y},n_{z}\}}$

${\displaystyle n_{x}+n_{y}+n_{z}=n}$

Вырождение -го состояния можно найти, рассматривая распределение квантов по , и . Наличие 0 в дает возможности для распределения по и . Наличие 1 кванта дает возможности поперек и так далее. Это приводит к общему результату, а суммирование по всем приводит к вырождению -го состояния, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$ ${\displaystyle n-n_{x}+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{n_{x}=0}^{n}(n-n_{x}+1)={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$

Для основного состояния вырождение означает, что состояние невырождено. Для всех высших состояний вырождение больше 1, поэтому состояние вырождено. ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle 1}$

Удаление вырождения

Вырождение в квантово-механической системе можно устранить, если лежащая в ее основе симметрия нарушается внешним возмущением . Это вызывает расщепление вырожденных энергетических уровней. По сути, это расщепление исходных неприводимых представлений на такие представления возмущенной системы меньшей размерности.

Математически расщепление из-за применения небольшого потенциала возмущения можно рассчитать с помощью независимой от времени вырожденной теории возмущений . Это аппроксимационная схема, которую можно применить для нахождения решения уравнения на собственные значения для гамильтониана H квантовой системы с приложенным возмущением по заданному решению гамильтониана H ₀ для невозмущенной системы. Он включает в себя разложение собственных значений и собственных чисел гамильтониана H в ряд теории возмущений. Вырожденные собственные состояния с заданным собственным значением энергии образуют векторное подпространство, но не каждый базис собственных состояний этого пространства является хорошей отправной точкой для теории возмущений, поскольку обычно рядом с ними не может быть никаких собственных состояний возмущенной системы. Правильный базис — это тот, который диагонализует гамильтониан возмущения внутри вырожденного подпространства.

Физические примеры снятия вырождения возмущением

Ниже приведены некоторые важные примеры физических ситуаций, когда вырожденные энергетические уровни квантовой системы расщепляются под действием внешнего возмущения.

Нарушение симметрии в двухуровневых системах.

Двухуровневая система по существу относится к физической системе, имеющей два состояния, энергии которых близки друг к другу и сильно отличаются от энергий других состояний системы. Все расчеты для такой системы выполняются на двумерном подпространстве пространства состояний.

Если основное состояние физической системы двукратно вырождено, любая связь между двумя соответствующими состояниями снижает энергию основного состояния системы и делает ее более стабильной.

Если и являются энергетическими уровнями системы, такими что , и возмущение представлено в двумерном подпространстве как следующая матрица 2×2 ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}=E_{2}=E}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \mathbf {W} ={\begin{bmatrix}0&W_{12}\\W_{12}^{*}&0\end{bmatrix}}.}$

тогда возмущенные энергии равны

${\displaystyle E_{+}=E+|W_{12}|}$

${\displaystyle E_{-}=E-|W_{12}|}$

Примеры систем с двумя состояниями, в которых вырождение энергетических состояний нарушается наличием недиагональных членов в гамильтониане, возникающих в результате внутреннего взаимодействия из-за внутреннего свойства системы, включают:

• Бензол с двумя возможными расположениями трех двойных связей между соседними атомами углерода .
• Молекула аммиака , в которой атом азота может находиться как выше, так и ниже плоскости, определяемой тремя атомами водорода .
• ЧАС⁺
  ₂молекула, в которой электрон может быть локализован вокруг любого из двух ядер.

Расщепление тонкой структуры

Поправки к кулоновскому взаимодействию между электроном и протоном в атоме водорода, обусловленные релятивистским движением и спин-орбитальным взаимодействием , приводят к нарушению вырождения по уровням энергии для различных значений l , соответствующих одному главному квантовому числу n .

Гамильтониан возмущения, обусловленный релятивистской поправкой, имеет вид

${\displaystyle H_{r}=-p^{4}/8m^{3}c^{2}}$

где – оператор импульса, – масса электрона. Релятивистская поправка на энергию первого порядка в базисе имеет вид ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle |nlm\rangle }$

${\displaystyle E_{r}=(-1/8m^{3}c^{2})\langle nlm|p^{4}|nlm\rangle }$

Сейчас ${\displaystyle p^{4}=4m^{2}(H^{0}+e^{2}/r)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{r}&=(-1/2mc^{2})[E_{n}^{2}+2E_{n}e^{2}\langle 1/r\rangle +e^{4}\langle 1/r^{2}\rangle ]\\&=(-1/2)mc^{2}\alpha ^{4}[-3/(4n^{4})+1/{n^{3}(l+1/2)}]\end{aligned}}}$

где – постоянная тонкой структуры . ${\displaystyle \alpha }$

Под спин-орбитальным взаимодействием понимается взаимодействие собственного магнитного момента электрона с магнитным полем, испытываемым им вследствие относительного движения с протоном. Гамильтониан взаимодействия

${\displaystyle H_{so}=-(e/mc){{\vec {m}}\cdot {\vec {L}}/r^{3}}=[(e^{2}/(m^{2}c^{2}r^{3})){\vec {S}}\cdot {\vec {L}}]}$

который можно записать как

${\displaystyle H_{so}=(e^{2}/(4m^{2}c^{2}r^{3}))[{\vec {J}}^{2}-{\vec {L}}^{2}-{\vec {S}}^{2}]}$

Поправка на энергию первого порядка в базисе, где гамильтониан возмущения диагональный, определяется выражением ${\displaystyle |j,m,l,1/2\rangle }$

${\displaystyle E_{so}=(\hbar ^{2}e^{2})/(4m^{2}c^{2})[j(j+1)-l(l+1)-3/4]/((a_{0})^{3}n^{3}(l(l+1/2)(l+1))]}$

где радиус Бора . Полный сдвиг энергии тонкой структуры определяется выражением ${\displaystyle a_{0}}$

${\displaystyle E_{fs}=-(mc^{2}\alpha ^{4}/(2n^{3}))[1/(j+1/2)-3/4n]}$

для . ${\displaystyle j=l\pm 1/2}$

эффект Зеемана

Расщепление энергетических уровней атома при помещении его во внешнее магнитное поле из-за взаимодействия магнитного момента атома с приложенным полем известно как эффект Зеемана . ${\displaystyle {\vec {m}}}$

Принимая во внимание орбитальный и спиновый угловые моменты и соответственно одиночного электрона в атоме водорода, гамильтониан возмущения имеет вид ${\displaystyle {\vec {L}}}$ ${\displaystyle {\vec {S}}}$

${\displaystyle {\hat {V}}=-({\vec {m_{l}}}+{\vec {m_{s}}})\cdot {\vec {B}}}$

где и . Таким образом, ${\displaystyle m_{l}=-e{\vec {L}}/2m}$ ${\displaystyle m_{s}=-e{\vec {S}}/m}$

${\displaystyle {\hat {V}}=e({\vec {L}}+2{\vec {S}})\cdot {\vec {B}}/2m}$

Теперь, в случае эффекта Зеемана в слабом поле, когда приложенное поле слабо по сравнению с внутренним полем, спин-орбитальная связь доминирует и отдельно не сохраняется. Хорошие квантовые числа — это n , l , j и mj , и на этом основании можно показать _, что поправка на энергию первого порядка определяется выражением ${\displaystyle {\vec {L}}}$ ${\displaystyle {\vec {S}}}$

${\displaystyle E_{z}=-\mu _{B}g_{j}Bm_{j}}$, где

${\displaystyle \mu _{B}={e\hbar }/2m}$называется магнетоном Бора . Таким образом, в зависимости от значения , каждый вырожденный уровень энергии распадается на несколько уровней. ${\displaystyle m_{j}}$

Снятие вырождения внешним магнитным полем

В случае эффекта Зеемана в сильном поле, когда приложенное поле достаточно сильное, так что орбитальный и спиновый угловые моменты разделяются, хорошими квантовыми числами теперь являются n , l , ml и m _{s .} Здесь L _z и S _z сохраняются, поэтому гамильтониан возмущения имеет вид:

${\displaystyle {\hat {V}}=eB(L_{z}+2S_{z})/2m}$

предполагая, что магнитное поле направлено вдоль оси z . Так,

${\displaystyle {\hat {V}}=eB(m_{l}+2m_{s})/2m}$

Для каждого значения m _l существует два возможных значения m _s , . ${\displaystyle \pm 1/2}$

Эффект Старка

Расщепление энергетических уровней атома или молекулы под действием внешнего электрического поля известно как эффект Штарка .

Для атома водорода гамильтониан возмущения имеет вид

${\displaystyle {\hat {H}}_{s}=-|e|Ez}$

если электрическое поле выбрано вдоль направления z .

Поправки на энергию, обусловленные приложенным полем, определяются математическим ожиданием в базисе. С помощью правил отбора можно показать, что когда и . ${\displaystyle {\hat {H}}_{s}}$ ${\displaystyle |nlm\rangle }$ ${\displaystyle \langle nlm_{l}|z|n_{1}l_{1}m_{l1}\rangle \neq 0}$ ${\displaystyle l=l_{1}\pm 1}$ ${\displaystyle m_{l}=m_{l1}}$

Вырождение снимается только для некоторых состояний, подчиняющихся правилам отбора в первом порядке. Расщепление первого порядка энергетических уровней для вырожденных состояний и , соответствующих n = 2, определяется выражением . ${\displaystyle |2,0,0\rangle }$ ${\displaystyle |2,1,0\rangle }$ ${\displaystyle \Delta E_{2,1,m_{l}}=\pm |e|(\hbar ^{2})/(m_{e}e^{2})E}$

Смотрите также

• Плотность штатов

Рекомендации

1. Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли. ISBN 0-471-88702-1.
2. Левин, Ира Н. (1991). Квантовая химия (4-е изд.). Прентис Холл. п. 52. ИСБН 0-205-12770-3.
3. Мессия, Альберт (1967). Квантовая механика (3-е изд.). Амстердам, НЛД: Северная Голландия. стр. 98–106. ISBN 0-471-88702-1.
4. Макинтош, Гарольд В. (1959). «О случайном вырождении в классической и квантовой механике» (PDF) . Американский журнал физики . Американская ассоциация учителей физики (AAPT). 27 (9): 620–625. Бибкод : 1959AmJPh..27..620M. дои : 10.1119/1.1934944. ISSN  0002-9505.

дальнейшее чтение

• Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк. Квантовая механика. Том. 1. Германн. ISBN 978-2-7056-8392-4.^{[ нужна полная цитата ]}
• Шанкар, Рамамурти (2013). Принципы квантовой механики. Спрингер. ISBN 978-1-4615-7675-4.^{[ нужна полная цитата ]}
• Ларсон, Рон ; Фалво, Дэвид К. (30 марта 2009 г.). Элементарная линейная алгебра, расширенное издание. Cengage Обучение. стр. 8–. ISBN 978-1-305-17240-1.
• Хобсон; Райли (27 августа 2004 г.). Математические методы физики и техники (ClPE) 2Ed. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-61296-8.
• Хеммер (2005). Квантемеканикк: ПК Хеммер. Тапир академиск форлаг. Тиллегг 3: дополнение к разделам 3.1, 3.3 и 3.5. ISBN 978-82-519-2028-5.
• Квантовое вырождение в двумерных системах, Дебнараян Яна, факультет физики Университетского колледжа науки и технологий.
• Аль-Хашими, Мунир (2008). Случайная симметрия в квантовой физике.