В математике вырожденное распределение — это, по мнению одних, [1] распределение вероятностей в пространстве с опорой только на многообразии меньшей размерности , а по мнению других [2] распределение с опорой только в одной точке. Согласно последнему определению, это детерминированное распределение , принимающее только одно значение. Примеры включают двуглавую монету и бросание кубика, на всех сторонах которого указано одинаковое число. [2] [ нужен лучший источник ] Это распределение удовлетворяет определению «случайной величины», хотя оно и не кажется случайным в повседневном смысле этого слова; поэтому он считается вырожденным . [ нужна цитата ]
В случае вещественной случайной величины вырожденное распределение представляет собой одноточечное распределение , локализованное в точке k0 на действительной прямой . [2] [ нужен лучший источник ] Функция массы вероятности равна 1 в этой точке и 0 в других местах. [ нужна цитата ]
Вырожденное одномерное распределение можно рассматривать как предельный случай непрерывного распределения, дисперсия которого стремится к 0, в результате чего функция плотности вероятности становится дельта-функцией при k 0 с бесконечной высотой, но площадью, равной 1. [ нужна ссылка ]
Кумулятивная функция распределения одномерного вырожденного распределения:
[ нужна цитата ]
В теории вероятностей постоянная случайная величина — это дискретная случайная величина , которая принимает постоянное значение независимо от любого происходящего события . Технически это отличается от почти наверняка постоянной случайной величины , которая может принимать другие значения, но только для событий с нулевой вероятностью. Постоянные и почти наверняка постоянные случайные величины, имеющие вырожденное распределение, позволяют работать с постоянными значениями в вероятностной системе.
Пусть X : Ω → R — случайная величина, определенная в вероятностном пространстве (Ω, P ). Тогда X является почти наверняка постоянной случайной величиной, если существует такая, что
и, кроме того, является постоянной случайной величиной, если
Постоянная случайная величина почти наверняка является постоянной, но не обязательно наоборот , поскольку если X почти наверняка постоянна, то может существовать γ ∈ Ω такое, что X (γ) ≠ k 0 (но тогда обязательно Pr({γ}) = 0 , на самом деле Pr(X ≠ k 0 ) = 0).
Для практических целей различие между X постоянным или почти наверняка постоянным неважно, поскольку кумулятивная функция распределения F ( x ) X не зависит от того, является ли X постоянным или «просто» почти наверняка постоянным. В любом случае,
Функция F ( x ) является ступенчатой функцией ; в частности, это перевод ступенчатой функции Хевисайда . [ нужна цитата ]
Вырождение многомерного распределения от n случайных величин возникает, когда носитель лежит в пространстве размерности меньше n . [1] Это происходит, когда хотя бы одна из переменных является детерминированной функцией других. Например, в случае с двумя переменными предположим, что Y = aX + b для скалярных случайных величин X и Y и скалярных констант a ≠ 0 и b ; здесь знание значения одного из X или Y дает точное знание значения другого. Все возможные точки ( x , y ) попадают на одномерную прямую y = ax + b . [ нужна цитата ]
В общем, когда одна или несколько из n случайных величин точно линейно определяются другими, если ковариационная матрица существует, ее ранг меньше n [1] [ необходима проверка ] , а ее определитель равен 0, поэтому она положительно полуопределена, но не является положительно определенным, и совместное распределение вероятностей вырождено. [ нужна цитата ]
Вырождение также может произойти даже при ненулевой ковариации. Например, когда скаляр X распределен симметрично относительно 0, а Y в точности определяется как Y = X 2 , все возможные точки ( x , y ) попадают на параболу y = x 2 , которая является одномерным подмножеством двумерного множества. мерное пространство. [ нужна цитата ]
