В математике вырожденный случай — это предельный случай класса объектов, который, по-видимому, качественно отличается от (и обычно проще) остальной части класса; [1] « вырожденность » — это условие вырожденности случая. [2]
Определения многих классов составных или структурированных объектов часто неявно включают неравенства. Например, углы и длины сторон треугольника должны быть положительными. Предельные случаи, когда одно или несколько из этих неравенств становятся равенствами, являются вырождениями. В случае треугольников, если хотя бы одна длина стороны или угол равна нулю, то треугольник вырожден . Эквивалентно, он становится «отрезком прямой». [3]
Часто вырожденные случаи являются исключительными случаями, когда происходят изменения обычного измерения или мощности объекта (или некоторой его части). Например, треугольник является объектом измерения два, а вырожденный треугольник содержится в линии , [ 3] что делает его измерение единицей. Это похоже на случай окружности, размерность которой уменьшается от двух до нуля, когда она вырождается в точку. [1] В качестве другого примера, множество решений системы уравнений , которая зависит от параметров, обычно имеет фиксированную мощность и размерность, но мощность и/или размерность могут быть разными для некоторых исключительных значений, называемых вырожденными случаями. В таком вырожденном случае множество решений называется вырожденным.
Для некоторых классов составных объектов вырожденные случаи зависят от свойств, которые специально изучаются. В частности, класс объектов часто может быть определен или охарактеризован системами уравнений. В большинстве сценариев заданный класс объектов может быть определен несколькими различными системами уравнений, и эти различные системы уравнений могут приводить к различным вырожденным случаям, характеризуя при этом одни и те же невырожденные случаи. Это может быть причиной того, что не существует общего определения вырожденности, несмотря на то, что это понятие широко используется и определяется (при необходимости) в каждой конкретной ситуации.
Таким образом, вырожденный случай имеет особые черты, которые делают его необщим или особым случаем . Однако не все необщие или особые случаи являются вырожденными. Например, прямоугольные треугольники , равнобедренные треугольники и равносторонние треугольники являются необщими и невырожденными. Фактически, вырожденные случаи часто соответствуют сингулярностям , либо в объекте, либо в некотором конфигурационном пространстве . Например, коническое сечение является вырожденным тогда и только тогда, когда оно имеет особые точки (например, точку, прямую, пересекающиеся прямые). [4]
Вырожденная коника — это коническое сечение ( плоская кривая второй степени , определяемая полиномиальным уравнением второй степени), которое не является неприводимой кривой .
Вырожденный треугольник — это «плоский» треугольник в том смысле, что он содержится в отрезке прямой . Таким образом, он имеет коллинеарные вершины [3] и нулевую площадь. Если три вершины попарно различны, он имеет два угла 0° и один угол 180°. Если две вершины равны, он имеет один угол 0° и два неопределенных угла. Если все три вершины равны, все три угла неопределенны.
Прямоугольник с одной парой противоположных сторон нулевой длины вырождается в отрезок прямой с нулевой площадью. Если обе пары противоположных сторон прямоугольника имеют нулевую длину, прямоугольник вырождается в точку .
Гиперпрямоугольник — это n - мерный аналог прямоугольника. Если его стороны вдоль любой из n осей имеют нулевую длину, он вырождается в гиперпрямоугольник меньшей размерности, вплоть до точки, если стороны, выровненные по каждой оси, имеют нулевую длину.
Выпуклый многоугольник является вырожденным, если хотя бы две последовательные стороны совпадают хотя бы частично, или хотя бы одна сторона имеет нулевую длину, или хотя бы один угол равен 180°. Таким образом, вырожденный выпуклый многоугольник с n сторонами выглядит как многоугольник с меньшим числом сторон. В случае треугольников это определение совпадает с тем, которое было дано выше.
Выпуклый многогранник является вырожденным, если либо две смежные грани лежат в одной плоскости , либо два ребра выровнены. В случае тетраэдра это эквивалентно утверждению, что все его вершины лежат в одной плоскости , что дает ему нулевой объем .
Когда радиус сферы стремится к нулю, результирующая вырожденная сфера нулевого объема представляет собой точку .
Другие примеры см . в общем положении .