Высота шкалы

Расстояние, на котором величина уменьшается в e раз

Высота земной атмосферы составляет около 8,5  км , что подтверждается диаграммой давления воздуха p в зависимости от высоты h : на высоте 0, 8,5 и 17 км давление составляет около 1000, 370 и 140  гПа соответственно.

В науках об атмосфере , Земле и планетах масштабная высота , обычно обозначаемая заглавной буквой H , представляет собой расстояние ( вертикальное или радиальное ), на котором физическая величина уменьшается в е раз (основание натуральных логарифмов , приблизительно 2,718).

Масштабная высота, используемая в простой модели атмосферного давления

Для планетарных атмосфер масштабная высота — это увеличение высоты, при котором атмосферное давление уменьшается в e раз . Масштабная высота остается постоянной для определенной температуры. Ее можно рассчитать по формуле ^{[1] [2]}

$${\displaystyle H={\frac {k_{\text{B}}T}{mg}}}$$или эквивалентно , где: $${\displaystyle H={\frac {RT}{Mg}}}$$

• k _B = постоянная Больцмана =1,381 × 10 ^-23  Дж⋅К ^-1 ‍ [ ^3]
• R = молярная газовая постоянная
• T = средняя температура атмосферы в градусах Кельвина = 250 К ^[4] для Земли
• m = средняя масса молекулы
• M = средняя молярная масса атмосферных частиц = 0,029 кг/моль для Земли
• g = ускорение свободного падения в текущем местоположении

Давление (сила на единицу площади) на данной высоте является результатом веса вышележащей атмосферы. Если на высоте z атмосфера имеет плотность ρ и давление P , то перемещение вверх на бесконечно малую высоту dz уменьшит давление на величину dP , равную весу слоя атмосферы толщиной  dz .

Таким образом: где g — ускорение силы тяжести. Для малых dz можно считать g постоянным; знак минус указывает на то, что с ростом высоты давление уменьшается. Поэтому, используя уравнение состояния идеального газа со средней молекулярной массой M при температуре T , плотность можно выразить как $${\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-g\rho }$$ $${\displaystyle \rho ={\frac {MP}{RT}}}$$

Объединение этих уравнений дает , что затем может быть включено в уравнение для H, приведенное выше, чтобы получить: которое не изменится, пока не изменится температура. Интегрируя вышесказанное и предполагая, что P ₀ — это давление на высоте z = 0 (давление на уровне моря ), давление на высоте z можно записать как: $${\displaystyle {\frac {dP}{P}}={\frac {-dz}{{k_{\text{B}}T}/{mg}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {dP}{P}}=-{\frac {dz}{H}}}$$ $${\displaystyle P=P_{0}\exp \left(-{\frac {z}{H}}\right)}$$

Это означает, что давление уменьшается экспоненциально с высотой. ^[5]

В атмосфере Земли давление на уровне моря P ₀ в среднем составляет около1,01 × 10 ⁵  Па , средняя молекулярная масса сухого воздуха составляет28,964  Да и, следовательно, m =28,964 Да ×1,660 × 10 ⁻²⁷  кг/Да =4,808 × 10 ⁻²⁶  кг . В зависимости от температуры шкала высоты атмосферы Земли составляет, таким образом, H / T = k / mg =1,381 × 10 ^-23  Дж⋅К ^-1 / (4,808 × 10 ⁻²⁶  кг ×9,81 м⋅с ⁻² ) =29,28 м/К . Это дает следующие шкалы высот для репрезентативных температур воздуха.

• Т = 290 К, Н = 8500 м
• Т = 273 К, Н = 8000 м
• Т = 260 К, Н = 7610 м
• Т = 210 К, Н = 6000 м

Эти цифры следует сравнить с температурой и плотностью атмосферы Земли, построенными на графике NRLMSISE-00 , который показывает, что плотность воздуха падает с 1200 г/м ³ на уровне моря до 0,125 г/м ³ на высоте 70 км, что является коэффициентом 9600, что указывает на среднюю шкалу высот 70 / ln(9600) = 7,64 км, что согласуется с указанной средней температурой воздуха в этом диапазоне, близкой к 260 К.

Примечание:

• Плотность связана с давлением законами идеального газа . Поэтому плотность также будет экспоненциально уменьшаться с высотой от значения ρ ₀ на уровне моря , примерно равного1,2 кг⋅м ⁻³ .
• На высоте более 100 км атмосфера уже не является хорошо перемешанной, и каждый химический вид имеет свою шкалу высот.
• Здесь предполагалось, что температура и ускорение свободного падения постоянны, но оба параметра могут изменяться на больших расстояниях.

Планетарные примеры

Приблизительные значения высоты атмосферной шкалы для некоторых тел Солнечной системы:

• Венера : 15,9 км ^[6]
• Земля : 8,5 км ^[7]
• Марс : 11,1 км ^[8]
• Юпитер : 27 км ^[9]
• Сатурн : 59,5 км ^[10]
  • Титан : 21 км ^[11]
• Уран : 27,7 км ^[12]
• Нептун : 19,1–20,3 км ^[13]
• Плутон : ~50 км ^[14]

Масштаб высоты для тонкого диска

Схематическое изображение баланса сил в газовом диске вокруг центрального объекта, например, звезды.

Для газового диска вокруг конденсированного центрального объекта, например, протозвезды, можно вывести высоту шкалы диска, которая в некоторой степени аналогична высоте планетарной шкалы. Начнем с газового диска, масса которого мала по сравнению с массой центрального объекта. Предположим, что диск находится в гидростатическом равновесии с компонентой z гравитации от звезды, где компонент гравитации направлен на среднюю плоскость диска: где: $${\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-{\frac {GM_{*}\rho z}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}}}$$

• G = Гравитационная постоянная ≈6,674 × 10−11  м3 ^⋅кг − ¹ ⋅с ^{−2 ‍ [} 15 ^]
• r = радиальная цилиндрическая координата расстояния от центра звезды или центрально сжатого объекта
• z = высота цилиндрической координаты для расстояния от средней плоскости диска (или центра звезды)
• M _* = масса звезды/центрально сконденсированного объекта
• P = давление газа в диске
• ${\displaystyle \rho }$= плотность массы газа в диске

В приближении тонкого диска уравнение гидростатического равновесия имеет вид ${\displaystyle z\ll r}$ $${\displaystyle {\frac {dP}{dz}}\approx -{\frac {GM_{*}\rho z}{r^{3}}}}$$

Чтобы определить давление газа, можно воспользоваться законом идеального газа : $${\displaystyle P={\frac {\rho k_{\text{B}}T}{\bar {m}}}}$$

• T = температура газа в диске, где температура является функцией r , но не зависит от z
• ${\displaystyle {\bar {m}}}$= средняя молекулярная масса газа

Используя закон идеального газа и уравнение гидростатического равновесия, получаем: которое имеет решение , где — плотность массы газа в средней плоскости диска на расстоянии r от центра звезды, а — высота шкалы диска с массой Солнца , астрономической единицей и атомной единицей массы . $${\displaystyle {\frac {d\rho }{dz}}\approx -{\frac {GM_{*}{\bar {m}}\rho z}{kTr^{3}}}}$$ $${\displaystyle \rho =\rho _{0}\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{D}}}\right)^{2}\right)}$$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle h_{D}}$ $${\displaystyle h_{D}={\sqrt {\frac {2kTr^{3}}{GM_{*}{\bar {m}}}}}\approx 0.0306{\sqrt {\frac {\left(T/100\ {\text{K}}\right)\left(r/1{\text{ au}}\right)^{3}}{\left(M_{*}/M_{\odot }\right)\left({\bar {m}}/2{\text{ amu}}\right)}}}\ {\text{ au}}}$$ ${\displaystyle M_{\odot }}$ ${\displaystyle {\text{au}}}$ ${\displaystyle {\text{amu}}}$

В качестве иллюстративного приближения, если игнорировать радиальное изменение температуры, то мы увидим, что и что высота диска увеличивается по мере удаления от центрального объекта в радиальном направлении. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h_{D}\propto r^{3/2}}$

В связи с предположением, что температура газа в диске, T , не зависит от z , ее иногда называют изотермической шкалой высоты диска. ${\displaystyle h_{D}}$

Высота шкалы диска в магнитном поле

Магнитное поле в тонком газовом диске вокруг центрального объекта может изменить высоту шкалы диска. ^{[16] [17] [18]} Например, если неидеально проводящий диск вращается в полоидальном магнитном поле (т. е. начальное магнитное поле перпендикулярно плоскости диска), то внутри диска будет создано тороидальное (т. е. параллельное плоскости диска) магнитное поле, которое будет зажимать и сжимать диск. В этом случае плотность газа диска равна: ^[18]

$${\displaystyle \rho (r,z)=\rho _{0}(r)\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{D}}}\right)^{2}\right)-\rho _{\text{cut}}(r)\left[1-\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{D}}}\right)^{2}\right)\right]}$$где плотность отсечки имеет вид где ${\displaystyle \rho _{\text{cut}}}$ $${\displaystyle \rho _{\rm {cut}}(r)=(\mu _{0}\sigma _{D}r)^{2}\left({\frac {B_{z}^{2}}{\mu _{0}}}\right)\left({\frac {\Omega _{*}}{\Omega _{K}}}-1\right)^{2}}$$

• ${\displaystyle \mu _{0}}$это проницаемость свободного пространства
• ${\displaystyle \sigma _{D}}$электропроводность диска​
• ${\displaystyle B_{z}}$- плотность магнитного потока полоидального поля в направлении ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \Omega _{*}}$— угловая скорость вращения центрального объекта (если полоидальное магнитное поле не зависит от центрального объекта, то ее можно принять равной нулю) ${\displaystyle \Omega _{*}}$
• ${\displaystyle \Omega _{K}}$— кеплеровская угловая скорость диска на расстоянии от центрального объекта. ${\displaystyle r}$

Эти формулы дают максимальную высоту, , намагниченного диска, в то время как высота электронной складной магнитной шкалы, , равна ${\displaystyle H_{B}}$ $${\displaystyle H_{B}=h_{D}{\sqrt {\ln \left(1+\rho _{0}/\rho _{\rm {cut}}\right)}},}$$ ${\displaystyle h_{B}}$ $${\displaystyle h_{B}=h_{D}{\sqrt {\ln \left(1+{\frac {1-1/e}{1/e+\rho _{\text{cut}}/\rho _{0}}}\right)}}\ .}$$

Смотрите также

• Постоянная времени

Ссылки

1. "Глоссарий метеорологии - шкала высот". Американское метеорологическое общество (AMS).
2. "Высота шкалы давления". Wolfram Research .
3. "2022 CODATA Value: Boltzmann constant". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 2024-05-18 .
4. "Daniel J. Jacob: "Introduction to Atmospheric Chemistry", Princeton University Press, 1999". Архивировано из оригинала 2013-04-10 . Получено 2013-04-18 .
5. "Пример: Масштаб высоты атмосферы Земли" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-16.
6. "Venus Fact Sheet". NASA . Получено 28 сентября 2013 г.
7. "Earth Fact Sheet". NASA . Получено 28 сентября 2013 г.
8. "Mars Fact Sheet". NASA . Получено 28 сентября 2013 г.
9. "Jupiter Fact Sheet". NASA. Архивировано из оригинала 13 октября 2011 года . Получено 28 сентября 2013 года .
10. "Saturn Fact Sheet". NASA. Архивировано из оригинала 18 августа 2011 года . Получено 28 сентября 2013 года .
11. Justus, CG; Aleta Duvall; Vernon W. Keller (1 августа 2003 г.). «Модель атмосферы на инженерном уровне для Титана и Марса». Международный семинар по анализу и науке траектории входа и спуска планетарного зонда в атмосферу, Лиссабон, Португалия, 6–9 октября 2003 г., Труды: ESA SP-544 . ESA . ​​Получено 28 сентября 2013 г. .
12. "Информационный листок об Уране". NASA . Получено 28 сентября 2013 г.
13. "Информационный листок о Нептуне". NASA . Получено 28 сентября 2013 г.
14. "Информационный листок о Плутоне". NASA . Получено 28.09.2020 .
15. "2022 CODATA Value: Ньютоновская постоянная тяготения". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 2024-05-18 .
16. Lovelace, RVE; Mehanian, C.; Mobarry, CM; Sulkanen, ME (сентябрь 1986 г.). "Теория осесимметричных магнитогидродинамических потоков: диски". Приложение к Astrophysical Journal . 62 : 1. Bibcode : 1986ApJS...62....1L. doi : 10.1086/191132 . Получено 26 января 2022 г.
17. Кэмпбелл, К. Г.; Хептинсталл, П. М. (август 1998 г.). «Структура диска вокруг сильномагнитных аккреторов: решение для полного диска с турбулентной диффузией». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 299 (1): 31. Bibcode : 1998MNRAS.299...31C. doi : 10.1046/j.1365-8711.1998.01576.x .
18. Лиффман, Курт; Барду, Энн (октябрь 1999 г.). "Магнитная шкала высоты: влияние тороидальных магнитных полей на толщину аккреционных дисков". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 309 (2): 443. Bibcode : 1999MNRAS.309..443L. doi : 10.1046/j.1365-8711.1999.02852.x .