Высота шкалы

Масштабная высота земной атмосферы составляет около 8,5 км, что можно подтвердить из этой диаграммы давления воздуха p по высоте h : на высоте 0, 8,5 и 17 км давление составляет около 1000, 370 и 140 гПа соответственно. .

В науках об атмосфере , Земле и планетах высота шкалы , обычно обозначаемая заглавной буквой H , — это расстояние ( вертикальное или радиальное ), на котором физическая величина уменьшается в е раз (основание натуральных логарифмов , примерно 2,718). .

Высота шкалы, используемая в простой модели атмосферного давления.

Для атмосфер планет масштабная высота — это увеличение высоты, при котором атмосферное давление уменьшается в е раз . Высота шкалы остается постоянной для определенной температуры. Его можно рассчитать по ^{[1] [2]}

$${\displaystyle H={\frac {k_{\text{B}}T}{mg}}}$$

$${\displaystyle H={\frac {RT}{Mg}}}$$

• k _B = постоянная Больцмана =1,381 × 10-23  Дж⋅К ^{-1 [3 ]}
• R = газовая постоянная
• T = средняя температура атмосферы в Кельвинах = 250 К ^[4] для Земли.
• m = средняя масса молекулы (единицы кг)
• M = средняя масса одного моля атмосферных частиц = 0,029 кг/моль для Земли.
• g = ускорение силы тяжести в текущем местоположении (м/с ² )

Давление (сила на единицу площади) на данной высоте является результатом веса вышележащей атмосферы. Если на высоте z атмосфера имеет плотность ρ и давление P , то перемещение вверх на бесконечно малую высоту dz уменьшит давление на величину dP , равную весу слоя атмосферы толщиной  dz .

Таким образом:

$${\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-g\rho }$$

gdzgуравнение состояниягазаMT

$${\displaystyle \rho ={\frac {MP}{RT}}}$$

Объединение этих уравнений дает

$${\displaystyle {\frac {dP}{P}}={\frac {-dz}{\frac {k_{\text{B}}T}{mg}}}}$$

H , чтобы получить:

$${\displaystyle {\frac {dP}{P}}=-{\frac {dz}{H}}}$$

P ₀zуровне моряz

$${\displaystyle P=P_{0}\exp \left(-{\frac {z}{H}}\right)}$$

Это означает, что давление экспоненциально уменьшается с высотой. ^[5]

В атмосфере Земли давление на уровне моря P ₀ в среднем составляет около1,01 × 10 ⁵  Па , средняя молекулярная масса сухого воздуха равна 28,964 ед. и, следовательно, m = 28,964 ×1,660 × 10 ⁻²⁷ =4,808 × 10-26  кг . ^_ Следовательно, как функция температуры, масштабная высота атмосферы Земли равна H / T = k / mg = (1,38/(4,808×9,81))×10 ³ =29,26 м/К . Это дает следующую шкалу высот для репрезентативных температур воздуха.

• Т = 290 К, Н = 8500 м
• Т = 273 К, Н = 8000 м
• Т = 260 К, Н = 7610 м
• Т = 210 К, Н = 6000 м

Эти цифры следует сравнить с температурой и плотностью атмосферы Земли, построенными в NRLMSISE-00 , которые показывают падение плотности воздуха с 1200 г/м ³ на уровне моря до 0,5 ³ = 0,125 г/м ³ на высоте 70 км, что в разы 9600, что указывает на среднюю высоту по шкале 70/ln(9600) = 7,64 км, что соответствует указанной средней температуре воздуха в этом диапазоне, близкой к 260 К.

Примечание:

• Плотность связана с давлением по законам идеального газа . Следовательно, плотность также будет экспоненциально уменьшаться с высотой от значения ρ ₀ на уровне моря , примерно равного 1,2 кг м ^-3.
• На высоте более 100 км атмосфера может уже плохо перемешаться. Тогда каждый химический вид имеет свою собственную масштабную высоту.
• Здесь температура и гравитационное ускорение предполагались постоянными, но оба могут меняться на больших расстояниях.

Планетарные примеры

Ниже приведены приблизительные высоты в атмосферном масштабе для некоторых тел Солнечной системы.

• Венера : 15,9 км ^[6]
• Земля : 8,5 км ^[7]
• Марс : 11,1 км ^[8]
• Юпитер : 27 км ^[9]
• Сатурн : 59,5 км ^[10]
  • Титан : 21 км ^[11]
• Уран : 27,7 км ^[12]
• Нептун : 19,1–20,3 км ^[13]
• Плутон : ~50 км ^[14]

Масштаб высоты для тонкого диска

Схематическое изображение баланса сил в газовом диске вокруг центрального объекта, например звезды.

Для газового диска вокруг конденсированного центрального объекта, такого как, например, протозвезда, можно получить масштабную высоту диска, которая в некоторой степени аналогична высоте планетарного масштаба. Начнем с газового диска, масса которого мала по сравнению с центральным объектом. Мы предполагаем, что диск находится в гидростатическом равновесии с z -компонентой гравитации звезды, где компонента гравитации направлена ​​на срединную плоскость диска:

$${\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-{\frac {GM_{*}\rho z}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}}}$$

где:

• G = Гравитационная постоянная ≈6,674 × 10 ⁻¹¹  м ³ ⋅кг ⁻¹ ⋅с ^{−2 [15]}
• r = радиальная цилиндрическая координата расстояния от центра звезды или центрально конденсированного объекта.
• z = цилиндрическая координата высота/высота для расстояния от средней плоскости диска (или центра звезды)
• M _* = масса звезды/центрально конденсированного объекта
• P = давление газа в диске
• ${\displaystyle \rho }$= массовая плотность газа в диске

В приближении тонкого диска уравнение гидростатического равновесия имеет вид ${\displaystyle z\ll r}$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dz}}\approx -{\frac {GM_{*}\rho z}{r^{3}}}}$$

Для определения давления газа можно воспользоваться законом идеального газа :

$${\displaystyle P={\frac {\rho k_{\text{B}}T}{\bar {m}}}}$$

• T = температура газа в диске, где температура является функцией r , но не зависит от z.
• ${\displaystyle {\bar {m}}}$= средняя молекулярная масса газа

Используя закон идеального газа и уравнение гидростатического равновесия, получаем:

$${\displaystyle {\frac {d\rho }{dz}}\approx -{\frac {GM_{*}{\bar {m}}\rho z}{kTr^{3}}}}$$

$${\displaystyle \rho =\rho _{0}\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{D}}}\right)^{2}\right)}$$

r ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle h_{D}}$

$${\displaystyle h_{D}={\sqrt {\frac {2kTr^{3}}{GM_{*}{\bar {m}}}}}\approx 0.0306{\sqrt {\frac {\left(T/100\ {\text{K}}\right)\left(r/1{\text{ au}}\right)^{3}}{\left(M_{*}/M_{\odot }\right)\left({\bar {m}}/2{\text{ amu}}\right)}}}\ {\text{ au}}}$$

массойединицейединицей массы ${\displaystyle M_{\odot }}$ ${\displaystyle {\text{au}}}$ ${\displaystyle {\text{amu}}}$

В качестве иллюстративного приближения, если мы пренебрегаем радиальным изменением температуры, мы видим, что диск увеличивается в высоте по мере удаления от центрального объекта в радиальном направлении. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h_{D}\propto r^{3/2}}$

Из-за предположения, что температура газа в диске T не зависит от z , ее иногда называют высотой изотермического диска. ${\displaystyle h_{D}}$

Высота шкалы диска в магнитном поле

Магнитное поле в тонком газовом диске вокруг центрального объекта может изменить масштабную высоту диска. ^{[16] [17] [18]} Например, если неидеально проводящий диск вращается в полоидальном магнитном поле (т. е. исходное магнитное поле перпендикулярно плоскости диска), то тороидальное (т. е. параллельное) к плоскости диска) внутри диска будет создаваться магнитное поле, которое будет сжимать и сжимать диск. В этом случае плотность газа диска равна: ^[18]

$${\displaystyle \rho (r,z)=\rho _{0}(r)\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{D}}}\right)^{2}\right)-\rho _{\text{cut}}(r)\left[1-\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{D}}}\right)^{2}\right)\right]}$$

обрезания ${\displaystyle \rho _{\text{cut}}}$

$${\displaystyle \rho _{\rm {cut}}(r)=(\mu _{0}\sigma _{D}r)^{2}\left({\frac {B_{z}^{2}}{\mu _{0}}}\right)\left({\frac {\Omega _{*}}{\Omega _{K}}}-1\right)^{2}}$$

• ${\displaystyle \mu _{0}}$это проницаемость свободного пространства
• ${\displaystyle \sigma _{D}}$- электропроводность диска
• ${\displaystyle B_{z}}$– плотность магнитного потока полоидального поля в направлении ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \Omega _{*}}$- угловая скорость вращения центрального объекта (если полоидальное магнитное поле не зависит от центрального объекта, то его можно установить равным нулю) ${\displaystyle \Omega _{*}}$
• ${\displaystyle \Omega _{K}}$— кеплеровская угловая скорость диска на расстоянии от центрального объекта. ${\displaystyle r}$

Эти формулы дают максимальную высоту намагниченного диска как ${\displaystyle H_{B}}$

$${\displaystyle H_{B}=h_{D}{\sqrt {\ln \left(1+\rho _{0}/\rho _{\rm {cut}}\right)}},}$$

${\displaystyle h_{B}}$

$${\displaystyle h_{B}=h_{D}{\sqrt {\ln \left(1+{\frac {1-1/e}{1/e+\rho _{\text{cut}}/\rho _{0}}}\right)}}\ .}$$

Смотрите также

• Постоянная времени

Рекомендации

1. «Глоссарий метеорологии - высота шкалы» . Американское метеорологическое общество (AMS).
2. «Высота шкалы давления» . Вольфрам Исследования .
3. «Значение CODATA 2018: постоянная Больцмана» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 20 мая 2019 г.
4. «Дэниел Дж. Джейкоб: «Введение в химию атмосферы», Princeton University Press, 1999».
5. «Пример: масштабная высота атмосферы Земли» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 16 июля 2011 г.
6. "Информационный бюллетень о Венере" . НАСА . Проверено 28 сентября 2013 г.
7. "Информационный бюллетень о Земле" . НАСА . Проверено 28 сентября 2013 г.
8. "Информационный бюллетень о Марсе". НАСА . Проверено 28 сентября 2013 г.
9. "Информационный бюллетень о Юпитере" . НАСА. Архивировано из оригинала 13 октября 2011 года . Проверено 28 сентября 2013 г.
10. "Информационный бюллетень о Сатурне" . НАСА. Архивировано из оригинала 18 августа 2011 года . Проверено 28 сентября 2013 г.
11. Юстус, CG; Алета Дюваль; Вернон В. Келлер (1 августа 2003 г.). «Модель атмосферы инженерного уровня для Титана и Марса». Международный семинар по анализу траекторий входа и спуска планетарных зондов в атмосферу и науке, Лиссабон, Португалия, 6–9 октября 2003 г., Материалы: ESA SP-544 . ЕКА . Проверено 28 сентября 2013 г.
12. «Информационный бюллетень об Уране». НАСА . Проверено 28 сентября 2013 г.
13. "Информационный бюллетень о Нептуне" . НАСА . Проверено 28 сентября 2013 г.
14. "Информационный бюллетень о Плутоне". НАСА . Проверено 28 сентября 2020 г.
15. «Значение CODATA 2018: гравитационная постоянная Ньютона» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 20 мая 2019 г.
16. Ловелас, РВЕ; Механян, К.; Мобарри, CM; Сулканен, Мэн (сентябрь 1986 г.). «Теория осесимметричных магнитогидродинамических течений: диски». Приложение к астрофизическому журналу . 62 : 1. Бибкод : 1986ApJS...62....1L. дои : 10.1086/191132 . Проверено 26 января 2022 г.
17. Кэмпбелл, CG; Heptinstall, PM (август 1998 г.). «Дисковая структура вокруг сильномагнитных аккреторов: полное дисковое решение с турбулентной диффузией». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 299 (1): 31. Бибкод : 1998MNRAS.299...31C. дои : 10.1046/j.1365-8711.1998.01576.x .
18. Лиффман, Курт; Барду, Энн (октябрь 1999 г.). «Магнитная шкала высоты: влияние тороидальных магнитных полей на толщину аккреционных дисков». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 309 (2): 443. Бибкод : 1999MNRAS.309..443L. дои : 10.1046/j.1365-8711.1999.02852.x .