Удлиненная квадратная бипирамида

Куб, увенчанный двумя квадратными пирамидами

В геометрии удлиненная квадратная бипирамида (или удлиненный октаэдр ) — это многогранник, построенный путем присоединения двух равносторонних квадратных пирамид к граням куба , которые находятся напротив друг друга. Его также можно рассматривать как 4 луны (квадраты с треугольниками на противоположных сторонах), соединенные вместе квадратами с квадратами и треугольниками с треугольниками. Его также называют карандашным кубом или 12-гранным карандашным кубом из-за его формы. ^{[1] [2]}

Кристалл циркона представляет собой пример вытянутой квадратной бипирамиды.

Строительство

Удлиненная квадратная бипирамида строится путем присоединения двух равносторонних квадратных пирамид к граням куба , которые находятся друг напротив друга, процесс, известный как удлинение . Это построение включает удаление этих двух квадратов и замену их этими пирамидами, в результате чего получаются восемь равносторонних треугольников и четыре квадрата в качестве их граней. ^[3] . Выпуклый многогранник, в котором все его грани являются правильными, является телом Джонсона , и удлинённая квадратная бипирамида является одним из них, обозначаемым как , пятнадцатое тело Джонсона. ^[4] ${\displaystyle J_{15}}$

Характеристики

Дано, что — длина ребра вытянутой квадратной бипирамиды. Высоту вытянутой квадратной пирамиды можно вычислить, сложив высоту двух равносторонних квадратных пирамид и куба. Высота куба такая же, как заданная длина ребра , а высота равносторонней квадратной пирамиды равна . Таким образом, высота вытянутой квадратной бипирамиды равна: ^[5] Ее площадь поверхности можно вычислить, сложив всю площадь восьми равносторонних треугольников и четырех квадратов: ^[6] Ее объем получается путем разрезания ее на две равносторонние квадратные пирамиды и куб, а затем их сложения: ^[6] Ее двугранный угол можно получить аналогичным образом, как и у вытянутой квадратной пирамиды , путем сложения угла квадратных пирамид и куба: ^[7] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (1/{\sqrt {2}})a}$ $${\displaystyle a+2\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}a=\left(1+{\sqrt {2}}\right)a\approx 2.414a.}$$ $${\displaystyle \left(4+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 7.464a^{2}.}$$ $${\displaystyle \left(1+{\frac {\sqrt {2}}{3}}\right)a^{3}\approx 1.471a^{3}.}$$

• Двугранный угол вытянутой квадратной бипирамиды между двумя соседними треугольниками — это двугранный угол равностороннего треугольника между его боковыми гранями, ${\displaystyle \arccos(-1/3)\approx 109.47^{\circ }}$
• Двугранный угол вытянутой квадратной бипирамиды между двумя соседними квадратами — это двугранный угол куба между ними, ${\displaystyle \pi /2}$
• Двугранный угол равносторонней квадратной пирамиды между квадратом и треугольником равен . Следовательно, двугранный угол удлиненной квадратной бипирамиды между треугольником и квадратом, на ребре, где равносторонние квадратные пирамиды прикрепляют куб, равен ${\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.74^{\circ }}$ $${\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144.74^{\circ }.}$$

3D модель вытянутой квадратной бипирамиды

Удлиненная квадратная бипирамида имеет диэдральную симметрию , диэдральную группу восьмого порядка: она имеет ось симметрии, проходящую через вершины квадратных пирамид и центр куба, и ее внешний вид симметричен при отражении относительно горизонтальной плоскости. ^[7] ${\displaystyle D_{4h}}$

Связанные многогранники и соты

Удлиненная квадратная бипирамида является двойственной квадратной бифрустум , которая состоит из восьми трапеций и двух квадратов.

Особый вид удлиненной квадратной бипирамиды без всех правильных граней допускает самозамощение евклидова пространства. Треугольники этой удлиненной квадратной бипирамиды не являются правильными; они имеют ребра в соотношении 2: √ 3 : √ 3 .

Его можно считать переходной фазой между кубическими и ромбическими додекаэдрическими сотами . ^[1] Здесь ячейки окрашены в белый, красный и синий цвет в зависимости от их ориентации в пространстве. Крышки квадратных пирамид имеют укороченные равнобедренные треугольные грани, причем шесть из этих пирамид встречаются вместе, образуя куб. Двойник этих сот состоит из двух видов октаэдров (правильные октаэдры и треугольные антипризмы), образованных путем наложения октаэдров на кубооктаэдры выпрямленных кубических сот . Обе соты имеют симметрию . ${\displaystyle [4,3,4]}$

Фасованная квадратная плитка

Поперечные сечения сот, проходящие через центры ячеек, образуют скошенную квадратную мозаику со сплющенными горизонтальными и вертикальными шестиугольниками и квадратами на перпендикулярных многогранниках.

При правильных гранях вытянутая квадратная бипирамида может образовывать мозаику пространства с тетраэдрами и октаэдрами . (Октаэдры могут быть далее разложены на квадратные пирамиды .) ^[8] Эти соты можно считать вытянутой версией тетраэдрально-октаэдрических сот .

Ссылки

1. Кричлоу, Кейт. Порядок в пространстве: Справочник по дизайну . стр. 46–47.
2. Голдберг, Майкл (январь 1981 г.). «О заполняющих пространство октаэдрах». Geometriae Dedicata . 10 (1): 323–335. doi :10.1007/BF01447431.
3. Раджваде, AR (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта. Тексты и чтения по математике. Hindustan Book Agency. стр. 84–89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
4. Уэхара, Рюхэй (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии. Springer. стр. 62. doi :10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682.
5. Сапинья, Р. «Площадь и объём тела Джонсона J 15 {\displaystyle J_{15}}». Проблемы и Ecuaciones (на испанском языке). ISSN  2659-9899 . Проверено 9 сентября 2020 г.
6. Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
7. Johnson, Norman W. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Canadian Journal of Mathematics . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
8. "J15 соты".

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Удлиненная квадратная бипирамида» («тело Джонсона») на сайте MathWorld .