Удлиненная квадратная пирамида

Многогранник с кубом и квадратной пирамидой

В геометрии вытянутая квадратная пирамида — выпуклый многогранник, построенный из куба путем присоединения к одной из его граней равносторонней квадратной пирамиды . Это пример тела Джонсона .

Строительство

Удлиненная квадратная бипирамида является составной , поскольку она может быть построена путем присоединения двух равносторонних квадратных пирамид к граням куба , которые находятся друг напротив друга, процесс, известный как удлинение . ^{[1] [2]} Эта конструкция включает удаление этих двух квадратов и замену их этими пирамидами, в результате чего получаются восемь равносторонних треугольников и четыре квадрата в качестве их граней. ^[3] Выпуклый многогранник, в котором все его грани являются правильными, является телом Джонсона , и удлинённая квадратная бипирамида является одним из них, обозначаемым как , пятнадцатое тело Джонсона. ^[4] ${\displaystyle J_{15}}$

Характеристики

Учитывая, что — длина ребра вытянутой квадратной пирамиды. Высоту вытянутой квадратной пирамиды можно вычислить, сложив высоту равносторонней квадратной пирамиды и куба. Высота куба такая же, как длина ребра стороны куба, а высота равносторонней квадратной пирамиды равна . Таким образом, высота вытянутой квадратной бипирамиды равна: ^[5] Ее площадь поверхности можно вычислить, сложив все площади четырех равносторонних треугольников и четырех квадратов: ^[3] Ее объем получается путем разрезания ее на равностороннюю квадратную пирамиду и куб, а затем их сложения: ^[3] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (1/{\sqrt {2}})a}$ $${\displaystyle a+{\frac {1}{\sqrt {2}}}a=\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)a\approx 1.707a.}$$ $${\displaystyle \left(5+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 6.732a^{2}.}$$ $${\displaystyle \left(1+{\frac {\sqrt {2}}{6}}\right)a^{3}\approx 1.236a^{3}.}$$

3D модель вытянутой квадратной пирамиды.

Удлиненная квадратная пирамида имеет ту же трехмерную группу симметрии, что и равносторонняя квадратная пирамида, циклическую группу порядка восемь. Ее двугранный угол может быть получен путем сложения угла равносторонней квадратной пирамиды и куба: ^[6] ${\displaystyle C_{4v}}$

• Двугранный угол вытянутой квадратной бипирамиды между двумя соседними треугольниками — это двугранный угол равностороннего треугольника между его боковыми гранями, , ${\displaystyle \arccos(-1/3)\approx 109.47^{\circ }}$
• Двугранный угол вытянутой квадратной бипирамиды между двумя соседними квадратами — это двугранный угол куба между ними, , ${\displaystyle \pi /2=90^{\circ }}$
• Двугранный угол равносторонней квадратной пирамиды между квадратом и треугольником равен . Следовательно, двугранный угол удлиненной квадратной бипирамиды между треугольником и квадратом, на ребре, где равносторонние квадратные пирамиды прикрепляют куб, равен ${\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.74^{\circ }}$ $${\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144.74^{\circ }.}$$

Смотрите также

• Удлиненная квадратная бипирамида

Ссылки

1. Тимофеенко, А. В. (2010). «Соединение несоставных многогранников» (PDF) . Санкт-Петербургский математический журнал . 21 (3): 483–512. doi :10.1090/S1061-0022-10-01105-2.
2. Раджваде, AR (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта. Тексты и чтения по математике. Hindustan Book Agency. стр. 84–89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
3. Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
4. Уэхара, Рюхэй (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии. Springer. стр. 62. doi :10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682.
5. Сапинья, Р. «Площадь и объем тела Джонсона J 8 {\displaystyle J_{8}}». Проблемы и Ecuaciones (на испанском языке). ISSN  2659-9899 . Проверено 9 сентября 2020 г.
6. Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский журнал математики . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Тело Джонсона» («Вытянутая квадратная пирамида») на сайте MathWorld .