Гавайская серьга

Топологическое пространство, определяемое объединением окружностей

Гавайская серьга. Показаны только десять самых больших кругов.

В математике гавайская серьга — это топологическое пространство, определяемое объединением окружностей на евклидовой плоскости с центром и радиусом , наделенное топологией подпространства : ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{n}},0\right)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

$${\displaystyle \mathbb {H} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \left(x-{\frac {1}{n}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}\right\}.}$$

Пространство гомеоморфно одноточечной компактификации объединения счетного семейства непересекающихся открытых интервалов . ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Гавайская серьга — одномерное , компактное , локально линейно связное метризуемое пространство. Хотя локально гомеоморфно во всех не начальных точках, не является полулокально односвязным в . Следовательно, не имеет односвязного накрывающего пространства и обычно приводится как простейший пример пространства с этим осложнением. ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Гавайская серьга выглядит очень похожей на клиновидную сумму счетного бесконечного числа окружностей; то есть розу с бесконечным числом лепестков, но эти два пространства не гомеоморфны. Разница между их топологиями видна в том факте, что в гавайской серьге каждая открытая окрестность точки пересечения окружностей содержит все, кроме конечного числа окружностей ( ε -шар вокруг (0, 0) содержит каждую окружность, радиус которой меньше ε /2 ); в розе окрестность точки пересечения может не полностью содержать ни одну из окружностей. Кроме того, роза не компактна: дополнение выделенной точки является бесконечным объединением открытых интервалов; к ним следует добавить небольшую открытую окрестность выделенной точки, чтобы получить открытое покрытие без конечного подпокрытия.

Основная группа

Гавайская серьга не является ни односвязной, ни полулокально односвязной, поскольку для всех петля, параметризующая n- ю окружность, не гомотопна тривиальной петле. Таким образом, имеет нетривиальную фундаментальную группу, иногда называемую группой гавайской серьги . Группа гавайской серьги несчетна и не является свободной группой. Однако локально свободна в том смысле, что каждая конечно порождённая подгруппа из свободна. ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$  ${\displaystyle G=\pi _{1}(\mathbb {H} ,(0,0)),}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Гомотопические классы отдельных петель порождают свободную группу на счетном бесконечном числе образующих, которая образует собственную подгруппу . Несчетное множество других элементов возникает из петель, образ которых не содержится в конечном числе окружностей гавайской серьги; на самом деле, некоторые из них сюръективны. Например, путь, который на интервале обходит n- ю окружность. В более общем смысле, можно образовать бесконечные произведения петель, индексированных по любому счетному линейному порядку, при условии, что для каждого петля и ее обратная появляются в произведении только конечное число раз. ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle \langle [\ell _{n}]\mid n\geq 1\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [2^{-n},2^{-n+1}]}$ ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \ell _{n}}$

Это результат Джона Моргана и Яна Моррисона, который встраивается в обратный предел свободных групп с n генераторами, , где связывающее отображение от до просто убивает последний генератор . Однако, является собственной подгруппой обратного предела, поскольку каждая петля в может пересекать каждый круг только конечное число раз. Примером элемента обратного предела, который не соответствует элементу из, является бесконечное произведение коммутаторов , которое формально появляется как последовательность в обратном пределе . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varprojlim F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n-1}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle G}$ ${\textstyle \prod _{n=2}^{\infty }[\ell _{1}\ell _{n}\ell _{1}^{-1}\ell _{n}^{-1}]}$ ${\displaystyle \left(1,[\ell _{1}][\ell _{2}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{2}]^{-1},[\ell _{1}][\ell _{2}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{2}]^{-1}[\ell _{1}][\ell _{3}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{3}]^{-1},\dots \right)}$ ${\displaystyle \varprojlim F_{n}}$

Первая сингулярная гомология

Кацуя Эда и Казухиро Кавамура доказали, что абелианизация и , следовательно, первая сингулярная группа гомологий изоморфны группе ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H_{1}(\mathbb {H} )}$

$${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} \right)\oplus \left(\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} {\Big /}\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} \right).}$$

Первое слагаемое — это прямое произведение бесконечного числа копий бесконечной циклической группы ( группы Бэра–Шпеккера ). Этот множитель представляет собой сингулярные классы гомологии петель, которые не имеют числа оборотов вокруг каждой окружности и являются в точности первой сингулярной группой гомологии Чеха . Кроме того, может рассматриваться как бесконечная абелианизация , поскольку каждый элемент в ядре естественного гомоморфизма представлен бесконечным произведением коммутаторов. Второе слагаемое состоит из классов гомологии, представленных петлями, число оборотов которых вокруг каждой окружности равно нулю, т.е. ядро ​​естественного гомоморфизма . Существование изоморфизма с доказывается абстрактно с использованием теории бесконечных абелевых групп и не имеет геометрической интерпретации. ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle {\check {H}}_{1}(\mathbb {H} )}$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle G}$ ${\textstyle G\to \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H_{1}(\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\textstyle H_{1}(\mathbb {H} )\to \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} {\Big /}\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$

Более высокие измерения

Известно, что — асферическое пространство , т.е. все высшие гомотопические и гомологические группы тривиальны. ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Гавайская серьга может быть обобщена на более высокие размерности. Такое обобщение было использовано Майклом Барраттом и Джоном Милнором для предоставления примеров компактных конечномерных пространств с нетривиальными сингулярными группами гомологий в размерностях, больших, чем размерность пространства. -мерная гавайская серьга определяется как ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbb {H} _{k}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k+1}:\left(x_{0}-{\frac {1}{n}}\right)^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}.}$

Следовательно, является счетным объединением k -сфер, имеющих одну общую точку, а топология задается метрикой , в которой диаметры сферы сходятся к нулю при Альтернативно, может быть построено как компактификация Александрова счетного объединения непересекающихся s. Рекурсивно, можно иметь , состоящее из сходящейся последовательности, является исходной гавайской сережкой и гомеоморфно приведенной подвеске . ${\displaystyle \mathbb {H} _{k}}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{k+1}}$ ${\displaystyle \Sigma \mathbb {H} _{k}}$

Для , -мерная гавайская серьга является компактной, -связной и локально -связной . Для , известно, что изоморфна группе Бэра–Шпеккера ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{k}(\mathbb {H} _{k})}$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} .}$

Для и Барратт и Милнор показали, что сингулярная группа гомологий является нетривиальной несчетной группой для каждого такого . ^[1] ${\displaystyle q\equiv 1{\bmod {(}}k-1)}$ ${\displaystyle q>1,}$ ${\displaystyle H_{q}(\mathbb {H} _{k};\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle q}$

Смотрите также

• Список топологий

Ссылки

1. Барратт, Майкл; Милнор, Джон (1962). «Пример аномальной сингулярной гомологии». Труды Американского математического общества . 13 (2): 293–297. doi : 10.1090/s0002-9939-1962-0137110-9 . MR  0137110.

Дальнейшее чтение

• Кэннон, Джеймс У .; Коннер, Грегори Р. (2000), «Большая фундаментальная группа, большие гавайские серьги и большие свободные группы», Топология и ее приложения , 106 (3): 273–291, doi : 10.1016/S0166-8641(99)00104-2 , MR  1775710.
• Коннер, Грегори; Спенсер, К. (2005), «Аномальное поведение группы гавайских сережек», Журнал теории групп , 8 (2): 223–227, doi :10.1515/jgth.2005.8.2.223, MR  2126731.
• Эда, Кацуя (2002), «Фундаментальные группы одномерных диких пространств и гавайская серьга» (PDF) , Труды Американского математического общества , 130 (5): 1515–1522, doi : 10.1090/S0002-9939-01-06431-0 , MR  1879978.
• Эда, Кацуя ; Кавамура, Казухиро (2000), «Сингулярная гомология гавайской серьги», Журнал Лондонского математического общества , 62 (1): 305–310, doi :10.1112/S0024610700001071, MR  1772189.
• Фабель, Пол (2005), «Топологическая гавайская группа сережек не вкладывается в обратный предел свободных групп», Алгебраическая и геометрическая топология , 5 (4): 1585–1587, arXiv : math/0501482 , Bibcode : 2005math......1482F, doi : 10.2140/agt.2005.5.1585, MR  2186111.
• Морган, Джон В.; Моррисон, Ян (1986), «Теорема Ван Кампена для слабых соединений», Труды Лондонского математического общества , 53 (3): 562–576, doi :10.1112/plms/s3-53.3.562, MR  0868459.