Гармоническое сопряжение

Понятие в математике

В математике говорят , что действительная функция , определенная на открытом связном множестве , имеет сопряженную (функцию) тогда и только тогда, когда они являются соответственно действительной и мнимой частями голоморфной функции комплексной переменной То есть, сопряжена с , если голоморфна на Как первое следствие определения, они обе являются гармоническими действительными функциями на . Более того, сопряженная функция , если она существует, единственна с точностью до аддитивной константы. Кроме того, сопряжена с , если и только если сопряжена с . ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle v(x,y)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z:=x+iy\in \Omega .}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(z):=u(x,y)+iv(x,y)}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle -u}$

Описание

Эквивалентно, сопряжена с в тогда и только тогда, когда и удовлетворяют уравнениям Коши–Римана в Как непосредственное следствие последнего эквивалентного определения, если — любая гармоническая функция от функции сопряжена с для тогда уравнения Коши–Римана справедливы и симметрия смешанных производных второго порядка , Следовательно, гармоническая функция допускает сопряженную гармоническую функцию тогда и только тогда, когда голоморфная функция имеет первообразную в , в этом случае сопряженная функция , конечно, есть , Таким образом, любая гармоническая функция всегда допускает сопряженную функцию, когда ее область определения односвязна , и в любом случае она допускает сопряжение локально в любой точке своей области определения. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle -u_{y}}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle \Delta u=0}$ ${\displaystyle u_{xy}=u_{yx}.}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle g(z):=u_{x}(x,y)-iu_{y}(x,y)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f(x+iy).}$

Существует оператор, переводящий гармоническую функцию u в односвязной области в ее гармонически сопряженную v (полагая, например, v ( x ₀ ) = 0 для заданного x ₀ , чтобы зафиксировать неопределенность сопряженной функции с точностью до констант). Это хорошо известно в приложениях как (по сути) преобразование Гильберта ; это также базовый пример в математическом анализе в связи с сингулярными интегральными операторами . Сопряженные гармонические функции (и преобразование между ними) также являются одним из простейших примеров преобразования Бэклунда (два уравнения в частных производных и преобразование, связывающее их решения), в данном случае линейное; более сложные преобразования представляют интерес для солитонов и интегрируемых систем . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Геометрически u и v связаны как имеющие ортогональные траектории , вдали от нулей базовой голоморфной функции; контуры, на которых u и v постоянны, пересекаются под прямым углом . В этом отношении u + iv будет комплексным потенциалом , где u - потенциальная функция , а v - функция потока .

Примеры

Например, рассмотрим функцию $${\displaystyle u(x,y)=e^{x}\sin y.}$$

Так как и он удовлетворяет ( является оператором Лапласа ) и, таким образом, является гармоническим. Теперь предположим, что у нас есть такой , что уравнения Коши–Римана удовлетворяются: $${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=e^{x}\sin y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=e^{x}\sin y}$$ $${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=e^{x}\cos y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=-e^{x}\sin y,}$$ $${\displaystyle \Delta u=\nabla ^{2}u=0}$$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle v(x,y)}$

$${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$и $${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}=e^{x}\cos y.}$$

Упрощая, и что при решении дает $${\displaystyle {\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$ $${\displaystyle {\partial v \over \partial x}=-e^{x}\cos y}$$ $${\displaystyle v=-e^{x}\cos y+C.}$$

Обратите внимание, что если бы функции, связанные с u и v, поменялись местами, то функции не были бы гармонически сопряженными, поскольку знак минус в уравнениях Коши–Римана делает связь асимметричной.

Свойство конформного отображения аналитических функций (в точках, где производная не равна нулю) порождает геометрическое свойство гармонически сопряженных. Очевидно, что гармонически сопряженным x является y , а линии постоянной x и постоянной y ортогональны. Конформность гласит, что контуры постоянной u ( x , y ) и v ( x , y ) также будут ортогональны там, где они пересекаются (вдали от нулей f  ′( z ) ). Это означает, что v является частным решением задачи ортогональной траектории для семейства контуров, заданных u (не единственным решением, естественно, поскольку мы можем также взять функции v ): вопрос, возвращающийся к математике семнадцатого века, о нахождении кривых, пересекающих заданное семейство непересекающихся кривых под прямым углом.

Гармоническое сопряжение в геометрии

В математике, а точнее в проективной геометрии , встречается еще один термин — гармонически сопряженный . Две точки A и B называются гармонически сопряженными друг другу относительно другой пары точек C, D, если их перекрестное отношение ( ABCD ) равно −1.

Ссылки

• Браун, Джеймс Уорд; Черчилль, Руэл В. (1996). Комплексные переменные и приложения (6-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 61. ISBN 0-07-912147-0Если две заданные функции u и v являются гармоническими в области D и их частные производные первого порядка удовлетворяют уравнениям Коши-Римана (2) во всей области D , то говорят, что v является гармонически сопряженной функцией u .

Внешние ссылки

• Гармоническое отношение
• «Сопряженные гармонические функции», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]