Гармонический ряд (математика)

Расходящаяся сумма всех положительных единичных дробей

В математике гармонический ряд — это бесконечный ряд, образованный суммированием всех положительных единичных дробей : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots .}$$

Первые члены ряда в сумме дают приблизительно , ​​где — натуральный логарифм , а — постоянная Эйлера–Маскерони . Поскольку логарифм имеет произвольно большие значения, гармонический ряд не имеет конечного предела: это расходящийся ряд . Его расходимость была доказана в 14 веке Николем Оремом с использованием предшественника теста конденсации Коши для сходимости бесконечных рядов. Также можно доказать, что он расходится, сравнивая сумму с интегралом , согласно интегральному тесту для сходимости . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ln n+\gamma }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$

Приложения гармонического ряда и его частичных сумм включают доказательство Эйлера того, что существует бесконечно много простых чисел , анализ задачи о том, сколько случайных испытаний необходимо для обеспечения полного диапазона ответов, связные компоненты случайных графов , задачу о штабелировании блоков о том, насколько далеко за край стола может быть вынесена стопка блоков , и анализ среднего случая алгоритма быстрой сортировки .

История

Волна и ее гармоники с длинами волн ${\displaystyle 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots }$

Название гармонического ряда происходит от концепции обертонов или гармоник в музыке : длины волн обертонов вибрирующей струны равны , , , и т. д. основной длины волны струны . ^{[1] [2]} Каждый член гармонического ряда после первого является гармоническим средним соседних членов, поэтому члены образуют гармоническую прогрессию ; фразы гармоническое среднее и гармоническая прогрессия также происходят из музыки. ^[2] Помимо музыки, гармонические последовательности также имели определенную популярность у архитекторов. Это было особенно заметно в эпоху барокко , когда архитекторы использовали их для установления пропорций планов этажей , фасадов и для установления гармонических отношений между внутренними и внешними архитектурными деталями церквей и дворцов. ^[3] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

Расходимость гармонического ряда была впервые доказана в 1350 году Николем Орезмом . ^{[2] [4]} Работа Орезма и современная ему работа Ричарда Суайншеда о другом ряде ознаменовали первое появление бесконечных рядов, отличных от геометрических рядов, в математике. ^[5] Однако это достижение было предано забвению. ^[6] Дополнительные доказательства были опубликованы в 17 веке Пьетро Менголи ^{[2] [7]} и Якобом Бернулли . ^{[8] [9] [10]} Бернулли приписал доказательство своему брату Иоганну Бернулли , ^[10] и позднее оно было включено в собрание сочинений Иоганна Бернулли. ^[11]

В 1968 году Дональд Кнут назвал частичные суммы гармонического ряда гармоническими числами и дал им привычную им нотацию . ^[12] ${\displaystyle H_{n}}$

Определение и расхождение

Гармонический ряд — это бесконечный ряд, в котором все члены являются положительными дробями единиц . Это расходящийся ряд : по мере того, как все больше членов ряда включаются в частичные суммы ряда, значения этих частичных сумм становятся произвольно большими, выходя за пределы любого конечного предела. Поскольку это расходящийся ряд, его следует интерпретировать как формальную сумму, абстрактное математическое выражение, объединяющее дроби единиц, а не как что-то, что может быть оценено до числового значения. Существует много различных доказательств расхождения гармонического ряда, рассмотренных в статье 2006 года SJ Kifowit и TA Stamps. ^[13] Два из наиболее известных ^{[1] [13]} перечислены ниже. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }$$

Сравнительный тест

Существует бесконечное множество синих прямоугольников, каждый из которых имеет площадь 1/2, однако их общая площадь превышает площадь серых полос, обозначающих гармонический ряд.

Один из способов доказать расходимость — сравнить гармонический ряд с другим расходящимся рядом, где каждый знаменатель заменяется следующей по величине степенью двойки : Группировка равных членов показывает, что второй ряд расходится (потому что каждая группировка сходящихся рядов является только сходящейся): Поскольку каждый член гармонического ряда больше или равен соответствующему члену второго ряда (и все члены положительны), и поскольку второй ряд расходится, следует (по тесту сравнения ), что гармонический ряд также расходится. Тот же аргумент более убедительно доказывает, что для каждого положительного целого числа , Это оригинальное доказательство, данное Николь Орем около 1350 года. ^[13] Тест на конденсацию Коши является обобщением этого аргумента. ^[14] $${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{3}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{5}}&&+{\frac {1}{6}}&&+{\frac {1}{7}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{9}}&&+\cdots \\[5pt]{}\geq 1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}&&+\cdots \\[5pt]\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[5pt]{}={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots .\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}$$

Интегральный тест

Прямоугольники, площадь которых задана гармоническим рядом, и гипербола, проходящая через верхние левые углы этих прямоугольников ${\displaystyle y=1/x}$

Можно доказать, что гармонический ряд расходится, сравнивая его сумму с несобственным интегралом . В частности, рассмотрим расположение прямоугольников, показанное на рисунке справа. Каждый прямоугольник имеет ширину 1 единицу и высоту 1 единицу, поэтому, если бы гармонический ряд сходился, то общая площадь прямоугольников была бы суммой гармонического ряда. Кривая остается полностью ниже верхней границы прямоугольников, поэтому площадь под кривой (в диапазоне от единицы до бесконечности, который покрывается прямоугольниками) была бы меньше площади объединения прямоугольников. Однако площадь под кривой задается расходящимся несобственным интегралом . Поскольку этот интеграл не сходится, сумма также не может сходиться. ^[13] ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty .}$$

На рисунке справа сдвиг каждого прямоугольника влево на 1 единицу даст последовательность прямоугольников, граница которых лежит ниже кривой, а не выше ее. Это показывает, что частичные суммы гармонического ряда отличаются от интеграла на величину, которая ограничена сверху и снизу единичной площадью первого прямоугольника: Обобщая этот аргумент, любая бесконечная сумма значений монотонно убывающей положительной функции ( подобно гармоническому ряду) имеет частичные суммы, которые находятся в пределах ограниченного расстояния от значений соответствующих интегралов. Следовательно, сумма сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл по тому же диапазону той же функции. Когда эта эквивалентность используется для проверки сходимости суммы путем замены ее более простым интегралом, она известна как интегральный тест на сходимость . ^[15] $${\displaystyle \int _{1}^{N+1}{\frac {1}{x}}\,dx<\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{i}}<\int _{1}^{N}{\frac {1}{x}}\,dx+1.}$$ ${\displaystyle n}$

Частичные суммы

Сложение первых членов гармонического ряда дает частичную сумму , называемую гармоническим числом и обозначаемую : ^[12] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}}$ $${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$$

Темпы роста

Эти числа растут очень медленно, с логарифмическим ростом , как видно из интегрального теста. ^[15] Точнее, по формуле Эйлера–Маклорена , где — постоянная Эйлера–Маскерони , которая стремится к 0 по мере удаления к бесконечности. ^[16] $${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\varepsilon _{n}}$$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$ ${\displaystyle 0\leq \varepsilon _{n}\leq 1/8n^{2}}$ ${\displaystyle n}$

Делимость

Ни одно гармоническое число не является целым числом, за исключением . ^{[17] [18]} Один из способов доказать, что не является целым числом, состоит в том, чтобы рассмотреть наивысшую степень двойки в диапазоне от 1 до . Если — наименьшее общее кратное чисел от 1 до , то можно переписать в виде суммы дробей с равными знаменателями , в которой только один из числителей, , является нечетным, а остальные четными, и (когда ) само является четным. Следовательно, результатом является дробь с нечетным числителем и четным знаменателем, которая не может быть целым числом. ^[17] В более общем смысле, любая последовательность последовательных целых чисел имеет уникальный член, делящийся на большую степень двойки, чем все остальные члены последовательности, из чего следует тем же аргументом, что никакие два гармонических числа не отличаются целым числом. ^[18] ${\displaystyle H_{1}=1}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle 2^{k}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{k}}$ $${\displaystyle H_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {M/i}{M}}}$$ ${\displaystyle M/2^{k}}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle M}$

Другое доказательство того, что гармонические числа не являются целыми числами, отмечает, что знаменатель должен делиться на все простые числа, большие и меньшие или равные , и использует постулат Бертрана , чтобы доказать, что этот набор простых чисел непустой. Тот же аргумент подразумевает более сильно, что, за исключением , , и , никакое гармоническое число не может иметь конечное десятичное представление. ^[17] Было высказано предположение, что каждое простое число делит числители только конечного подмножества гармонических чисел, но это остается недоказанным. ^[19] ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{1}=1}$ ${\displaystyle H_{2}=1.5}$ ${\displaystyle H_{6}=2.45}$

Интерполяция

Дигамма -функция комплексных чисел

Дигамма -функция определяется как логарифмическая производная гамма -функции. Так же, как гамма-функция обеспечивает непрерывную интерполяцию факториалов , дигамма-функция обеспечивает непрерывную интерполяцию гармонических чисел, в том смысле, что . ^[20] Это уравнение можно использовать для расширения определения до гармонических чисел с рациональными индексами. ^[21] $${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}$$ ${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

Приложения

Многие известные математические задачи имеют решения, включающие гармонический ряд и его частичные суммы.

Пересечение пустыни

Решение задачи о джипе для , показывающее количество топлива в каждом депо и в джипе на каждом шаге ${\displaystyle n=3}$

Задача о джипе или задача о пересечении пустыни включена в сборник задач IX века Алкуина Propositiones ad Acuendos Juvenes (сформулированный в терминах верблюдов, а не джипов), но с неверным решением. ^[22] Задача заключается в том, как далеко в пустыню может проехать джип и вернуться, стартовав с базы с большим количеством топлива, забрав часть топлива в пустыню и оставив его на складах. Оптимальное решение заключается в размещении складов на расстоянии от начальной точки и друг от друга, где — диапазон расстояний, которые джип может проехать с одной загрузкой топлива. В каждой поездке с базы и обратно джип размещает еще один склад, заправляясь на других складах по пути и заливая столько топлива, сколько может, в новый склад, оставляя при этом достаточно для себя, чтобы вернуться на предыдущие склады и на базу. Таким образом, общее расстояние, пройденное за -ю поездку, равно , где — -е гармоническое число. Расхождение гармонического ряда подразумевает, что при наличии достаточного количества топлива возможны переходы любой протяженности. ^[23] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {r}{2n}},{\tfrac {r}{2(n-1)}},{\tfrac {r}{2(n-2)}},\dots }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\frac {r}{2n}}+{\frac {r}{2(n-1)}}+{\frac {r}{2(n-2)}}+\cdots ={\frac {r}{2}}H_{n},}$$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Например, для версии проблемы Алкуина : верблюд может нести 30 мер зерна и может пройти одну леуку, съев одну меру, где леука — это единица расстояния, примерно равная 2,3 километрам (1,4 мили). В задаче : есть 90 мер зерна, достаточно для трех поездок. Для стандартной формулировки проблемы пересечения пустыни верблюд мог бы пройти леуку и вернуться, разместив зернохранилище в 5 леуках от базы в первом путешествии и в 12,5 леуках от базы во втором путешествии. Однако вместо этого Алкуин задает немного другой вопрос: сколько зерна можно перевезти на расстояние в 30 леуках без последнего обратного путешествия, и либо застревает в пустыне с несколькими верблюдами, либо не учитывает количество зерна, потребляемое верблюдом в его обратных путешествиях. ^[22] ${\displaystyle r=30}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle {\tfrac {30}{2}}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{1}})=27.5}$

Укладка блоков

Задача о штабелировании блоков : блоки, выстроенные в соответствии с гармоническим рядом, могут выступать за край стола на величину, равную гармоническим числам.

В задаче укладки блоков нужно разместить стопку одинаковых прямоугольных блоков, по одному на слой, так, чтобы они свисали как можно дальше с края стола, не падая. Верхний блок можно разместить так, чтобы его длина выходила за пределы следующего нижнего блока. Если он размещен таким образом, то следующий блок снизу нужно разместить так, чтобы его длина выходила за пределы следующего нижнего блока, так чтобы центр масс двух верхних блоков поддерживался, и они не опрокидывались. Третий блок нужно разместить так, чтобы его длина выходила за пределы следующего нижнего блока, и так далее. Таким образом, можно разместить блоки таким образом, чтобы они выходили за пределы стола на длину, где - th гармоническое число. ^{[24] [25]} Расхождение гармонического ряда подразумевает, что нет предела тому, насколько далеко за пределы стола может выходить стопка блоков. ^[25] Для стопок с одним блоком на слой лучшего решения не существует, но можно добиться значительно большего свеса, используя стопки с более чем одним блоком на слой. ^[26] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}H_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Подсчет простых чисел и делителей

В 1737 году Леонард Эйлер заметил, что как формальная сумма гармонический ряд равен произведению Эйлера , в котором каждый член происходит от простого числа : где обозначает множество простых чисел. Левое равенство получается из применения распределительного закона к произведению и распознавания полученных членов как простых множителей членов гармонического ряда, а правое равенство использует стандартную формулу для геометрического ряда . Произведение расходится, как и сумма, но если бы оно сходилось, можно было бы взять логарифмы и получить Здесь каждый логарифм заменяется его рядом Тейлора , а константа справа является оценкой сходящегося ряда членов с показателем больше единицы. Из этих манипуляций следует, что сумма обратных простых чисел в правой части этого равенства должна расходиться, поскольку, если бы она сходилась, эти шаги можно было бы поменять местами, чтобы показать, что гармонический ряд также сходится, чего не происходит. Непосредственным следствием является то, что существует бесконечно много простых чисел , поскольку конечная сумма не может расходиться. ^[27] Хотя работа Эйлера не считается достаточно строгой по стандартам современной математики, ее можно сделать строгой, уделив больше внимания пределам и границам погрешности. ^[28] Вывод Эйлера о том, что частичные суммы обратных величин простых чисел растут как двойной логарифм числа членов, был подтвержден более поздними математиками как одна из теорем Мертенса , ^[29] и может рассматриваться как предшественница теоремы о простых числах . ^[28] $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-1/p}},}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ $${\displaystyle \ln \prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-1/p}}=\sum _{p\in \mathbb {P} }\ln {\frac {1}{1-1/p}}=\sum _{p\in \mathbb {P} }\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)=\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{p}}+K.}$$ ${\displaystyle K}$

Другая проблема в теории чисел, тесно связанная с гармоническим рядом, касается среднего числа делителей чисел в диапазоне от 1 до , формализованного как средний порядок функции делителя , Операция округления каждого члена гармонического ряда до следующего меньшего целого кратного приводит к тому, что это среднее число отличается от гармонических чисел на малую константу, и Питер Густав Лежен Дирихле показал более точно, что среднее число делителей равно (выражено в нотации большого О ). Более точное ограничение конечного члена ошибки остается открытой проблемой, известной как проблема делителей Дирихле . ^[30] ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor \leq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {n}{i}}=H_{n}.}$$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle \ln n+2\gamma -1+O(1/{\sqrt {n}})}$

Собираем купоны

График количества предметов в зависимости от ожидаемого количества попыток, необходимых для сбора всех предметов

Несколько распространенных игр или развлечений включают повторение случайного выбора из набора предметов до тех пор, пока не будут выбраны все возможные варианты; к ним относятся сбор торговых карточек ^{[31] [32]} и завершение parkrun bingo, в котором цель состоит в том, чтобы получить все 60 возможных чисел секунд во времени из последовательности беговых событий. ^[33] Более серьезные приложения этой проблемы включают выборку всех вариаций произведенного продукта для контроля его качества , ^[34] и связность случайных графов . ^[35] В ситуациях такого вида, как только остаются предметы, которые нужно собрать из общего числа равновероятных предметов, вероятность сбора нового предмета в одном случайном выборе равна , а ожидаемое количество случайных выборов, необходимых до тех пор, пока не будет собран новый предмет, равно . Суммирование по всем значениям от до 1 показывает, что общее ожидаемое количество случайных выборов, необходимых для сбора всех предметов , равно , где - th гармоническое число. ^[36] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k/n}$ ${\displaystyle n/k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle nH_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Анализ алгоритмов

Анимация версии быстрой сортировки для среднего случая, с рекурсивными подзадачами, обозначенными затененными стрелками, и с опорными точками (красные элементы и синие линии), выбранными в качестве последнего элемента в каждой подзадаче

Алгоритм быстрой сортировки для сортировки набора элементов можно проанализировать с помощью гармонических чисел. Алгоритм работает, выбирая один элемент в качестве «осевого», сравнивая его со всеми остальными и рекурсивно сортируя два подмножества элементов, сравнение которых помещает их перед опорным элементом и после опорного элемента. Либо в его средней сложности (с предположением, что все входные перестановки одинаково вероятны), либо в его ожидаемом временном анализе наихудших входных данных со случайным выбором опорного элемента, все элементы с равной вероятностью будут выбраны в качестве опорного элемента. Для таких случаев можно вычислить вероятность того, что два элемента когда-либо будут сравниваться друг с другом на протяжении рекурсии, как функцию количества других элементов, которые разделяют их в окончательном отсортированном порядке. Если элементы и разделены другими элементами, то алгоритм выполнит сравнение между и только тогда, когда по мере продвижения рекурсии он выберет или в качестве опорного элемента перед выбором любого из других элементов между ними. Поскольку каждый из этих элементов с равной вероятностью будет выбран первым, это произойдет с вероятностью . Общее ожидаемое число сравнений, которое контролирует общее время работы алгоритма, затем может быть рассчитано путем суммирования этих вероятностей по всем парам, что дает ^[37] Расхождение гармонического ряда соответствует в этом приложении тому факту, что в сравнительной модели сортировки, используемой для быстрой сортировки, невозможно выполнить сортировку за линейное время . ^[38] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k+2}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{k+2}}}$ $${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}\sum _{k=0}^{i-2}{\frac {2}{k+2}}=\sum _{i=1}^{n-1}2H_{i}=O(n\log n).}$$

Похожие серии

Знакопеременный гармонический ряд

Первые четырнадцать частичных сумм знакопеременного гармонического ряда (черные отрезки), показанные сходящимися к натуральному логарифму 2 (красная линия).

Ряд известен как знакопеременный гармонический ряд . Он условно сходится по тесту знакопеременного ряда , но не абсолютно сходится . Его сумма — натуральный логарифм числа 2. ^[39 ] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$$

В явном виде асимптотическое разложение ряда имеет вид

$${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}=H_{2n}-H_{n}=\ln 2-{\frac {1}{2n}}+O(n^{-2})}$$

Использование чередующихся знаков только с нечетными дробями единиц дает связанный ряд, формулу Лейбница для π ^[40] $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$

Дзета-функция Римана

Дзета -функция Римана определяется для вещественных чисел сходящимся рядом, который для был бы гармоническим рядом. Она может быть расширена аналитическим продолжением до голоморфной функции на всех комплексных числах, за исключением , где расширенная функция имеет простой полюс . Другие важные значения дзета-функции включают , решение Базельской проблемы , константу Апери , которая, как доказал Роджер Апери, является иррациональным числом , и «критическую линию» комплексных чисел с действительной частью , предполагаемую гипотезой Римана как единственные значения, отличные от отрицательных целых чисел, где функция может быть равна нулю. ^[41] ${\displaystyle x>1}$ $${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}={\frac {1}{1^{x}}}+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$ ${\displaystyle \zeta (3)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Случайный гармонический ряд

Случайный гармонический ряд — это ряд, в котором значения являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами , которые принимают два значения и с равной вероятностью . Он сходится с вероятностью 1 , как можно увидеть с помощью теоремы Колмогорова о трех рядах или тесно связанного с ней максимального неравенства Колмогорова . Сумма ряда — это случайная величина , функция плотности вероятности которой близка к для значений между и , и уменьшается почти до нуля для значений, больших или меньших . Промежуточное положение между этими диапазонами, при значениях , плотность вероятности равна для ненулевого, но очень малого значения . ^{[42] [43]} $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}$$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle -3}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}-\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon <10^{-42}}$

Обедненный гармонический ряд

Можно показать, что обедненный гармонический ряд, в котором удалены все члены, в которых цифра 9 появляется где-либо в знаменателе, сходится к значению 22,92067 66192 64150 34816 ... . ^[44] Фактически, когда все члены, содержащие любую конкретную строку цифр (в любой базе ), удалены, ряд сходится. ^[45]

Ссылки

1. Райс, Адриан (2011). «Гармонический ряд: учебник». В Jardine, Дик; Shell-Gellasch, Эми (ред.). Математические капсулы времени: исторические модули для занятий математикой . MAA Notes. Том 77. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. стр. 269–276. ISBN 978-0-88385-984-1.
2. Kullman, David E. (май 2001). «Что гармоничного в гармоническом ряде?». The College Mathematics Journal . 32 (3): 201–203. doi :10.2307/2687471. JSTOR  2687471.
3. Херси, Джордж Л. (2001). Архитектура и геометрия в эпоху барокко . Издательство Чикагского университета. С. 11–12, 37–51. ISBN 978-0-226-32783-9.
4. Орем, Николь (ок. 1360). Quaestiones super Geometriam Euclidis [ Вопросы, касающиеся геометрии Евклида ] (на латыни).
5. Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история . Бакалаврские тексты по математике (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer. С. 182. doi :10.1007/978-1-4419-6053-5. ISBN 978-1-4419-6052-8. МР  2667826.
6. Дербишир, Джон (2003). Одержимость главным: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема математики . Вашингтон, округ Колумбия: Joseph Henry Press. стр. 10. ISBN 0-309-08549-7. МР  1968857.
7. Менголи, Пьетро (1650). «Praefatio [Предисловие]». Novae Quadaturae arithmeticae, seu De adde Fractionum [ Новая арифметическая квадратура (т. е. интегрирование), или О сложении дробей ] (на латыни). Болонья: Джакомо Монти.Доказательство Менголи от противного: Пусть обозначает сумму ряда. Сгруппируем члены ряда в тройки: . Так как для , , то , что невозможно ни для какого конечного . Следовательно, ряд расходится. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=1+({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}})+({\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{7}})+\cdots }$ ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x-1}}+{\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{x+1}}>{\tfrac {3}{x}}}$ ${\displaystyle S>1+{\tfrac {3}{3}}+{\tfrac {3}{6}}+{\tfrac {3}{9}}+\cdots =1+1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\cdots =1+S}$ ${\displaystyle S}$
8. Бернулли, Джейкоб (1689). Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis Earumque summa finita [ Арифметические утверждения о бесконечных рядах и их конечных суммах ]. Базель: Дж. Конрад.
9. Бернулли, Якоб (1713). Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis [ Теория вывода, посмертный труд. С «Трактатом о бесконечных сериях… ». Базель: Турнейсен. стр. 250–251.
   Из стр. 250, предложение 16:

   " XVI. Summa serei infinitaharmonicè Progressionalium, &c. est infinita. Id primus deprehendit Frater:… ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}}$ "

   [16. Сумма бесконечного ряда гармонической прогрессии, , бесконечна. Мой брат первым открыл это…] ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+\cdots }$

10. Dunham, William (январь 1987). «Бернулли и гармонический ряд». The College Mathematics Journal . 18 (1): 18–23. doi :10.1080/07468342.1987.11973001. JSTOR  2686312.
11. Бернулли, Иоганн (1742). «Следствие III из De seriebus varia». Опера Омния . Лозанна и Базель: Марк-Мишель Буске и компания, том. 4, с. 8.Доказательство Иоганна Бернулли также основано на противоречии. Оно использует телескопическую сумму для представления каждого члена как Изменение порядка суммирования в соответствующем двойном ряду дает в современной записи . ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\Big (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{n+2}}-{\frac {1}{n+3}}{\Big )}\cdots }$$ $${\displaystyle ={\frac {1}{n(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+{\frac {1}{(n+2)(n+3)}}\cdots }$$ $${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{k(k+1)}}}$$ $${\displaystyle =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}=S-1}$$
12. Knuth, Donald E. (1968). "1.2.7 Гармонические числа". Искусство программирования, том I: Фундаментальные алгоритмы (1-е изд.). Addison-Wesley. стр. 73–78.Кнут пишет о частичных суммах гармонического ряда: «Эта сумма встречается нечасто в классической математике, и для нее нет стандартного обозначения; но при анализе алгоритмов она всплывает почти каждый раз, когда мы оборачиваемся, и мы будем последовательно использовать символ ... Буква обозначает «гармонический», и мы называем «гармоническое число», потому что [бесконечный ряд] обычно называют гармоническим рядом». ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{n}}$
13. Кифовит, Стивен Дж.; Стэмпс, Терра А. (весна 2006 г.). «Гармонический ряд расходится снова и снова» (PDF) . Обзор AMATYC . 27 (2). Американская математическая ассоциация двухгодичных колледжей: 31–43.См. также неопубликованное приложение «Еще несколько доказательств расходимости гармонического ряда» Кифовита.
14. Рой, Ранджан (декабрь 2007 г.). «Обзор радикального подхода к реальному анализу Дэвида М. Брессо». SIAM Review . 49 (4): 717–719. JSTOR  20454048. Можно отметить, что тест на конденсацию Коши — это всего лишь расширение аргумента Орема о расходимости гармонического ряда.
15. Bressoud, David M. (2007). Радикальный подход к реальному анализу. Серия учебных материалов для классов (2-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. стр. 137–138. ISBN 978-0-88385-747-2. МР  2284828.
16. Boas, RP Jr. ; Wrench, JW Jr. (1971). «Частичные суммы гармонического ряда». The American Mathematical Monthly . 78 (8): 864–870. doi :10.1080/00029890.1971.11992881. JSTOR  2316476. MR  0289994.
17. Havil, Julian (2003). "Глава 2: Гармонический ряд". Гамма: Исследование константы Эйлера . Princeton University Press. С. 21–25. ISBN 978-0-691-14133-6.
18. Osler, Thomas J. (ноябрь 2012 г.). «96.53 Частичные суммы рядов, которые не могут быть целыми числами». The Mathematical Gazette . 96 (537): 515–519. doi :10.1017/S0025557200005167. JSTOR  24496876. S2CID  124359670.См. в частности теорему 1, стр. 516.
19. Санна, Карло (2016). «О -адической оценке гармонических чисел». Журнал теории чисел . 166 : 41–46. doi : 10.1016/j.jnt.2016.02.020. hdl : 2318/1622121 . MR  3486261. ${\displaystyle p}$
20. Росс, Бертрам (1978). «Пси-функция». Mathematics Magazine . 51 (3): 176–179. doi :10.1080/0025570X.1978.11976704. JSTOR  2689999. MR  1572267.
21. Софо, Энтони; Шривастава, ХМ (2015). «Семейство сдвинутых гармонических сумм». The Ramanujan Journal . 37 : 89–108. doi :10.1007/s11139-014-9600-9. S2CID  254990799.
22. Hadley, John; Singmaster, David (март 1992). «Problems to sharpen the young: An annotated translation of Propositiones ad acuendos juvenes ». The Mathematical Gazette . 76 (475): 102–126. doi :10.2307/3620384. JSTOR  3620384. S2CID  125835186.См. задачу 52: De homine patrefamilias – Владелец поместья, стр. 124–125.
23. Гейл, Дэвид (май 1970). «Джип снова или джипер дюжиной». The American Mathematical Monthly . 77 (5): 493–501. doi :10.1080/00029890.1970.11992525. JSTOR  2317382.
24. Грэм, Рональд ; Кнут, Дональд Э .; Паташник, Орен (1989). "6.3 Гармонические числа". Конкретная математика (2-е изд.). Эддисон-Уэсли . стр. 272–278. ISBN 978-0-201-55802-9.
25. Sharp, RT (1954). "Задача 52: Нависающие домино" (PDF) . Pi Mu Epsilon Journal . 1 (10): 411–412.
26. Патерсон, Майк ; Перес, Ювал ; Торуп, Миккель ; Винклер, Питер ; Цвик, Ури (2009). «Максимальный навес». The American Mathematical Monthly . 116 (9): 763–787. doi :10.4169/000298909X474855. MR  2572086. S2CID  1713091.
27. Эйлер, Леонард (1737). «Различные наблюдения относительно бесконечных серий». Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (на латыни). 9 : 160–188.
28. Rubinstein-Salzedo, Simon (2017). «Мог ли Эйлер выдвинуть гипотезу о теореме о простых числах?». Mathematics Magazine . 90 (5): 355–359. arXiv : 1701.04718 . doi : 10.4169/math.mag.90.5.355. JSTOR  10.4169/math.mag.90.5.355. MR  3738242. S2CID  119165483.
29. Поллак, Пол (2015). «Эйлер и частичные суммы простого гармонического ряда». Elemente der Mathematik . 70 (1): 13–20. doi :10.4171/EM/268. MR  3300350.
30. Цанг, Кай-Ман (2010). «Последний прогресс в проблеме делителей Дирихле и среднем квадрате дзета-функции Римана». Science China . 53 (9): 2561–2572. Bibcode : 2010ScChA..53.2561T. doi : 10.1007/s11425-010-4068-6. hdl : 10722/129254 . MR  2718848. S2CID  6168120.
31. Maunsell, FG (октябрь 1938 г.). «Проблема картофилии». The Mathematical Gazette . 22 (251): 328–331. doi :10.2307/3607889. JSTOR  3607889. S2CID  126381029.
32. Герке, Оке (апрель 2013 г.). «Сколько мне будет стоить собрать коллекцию футбольных карточек?». Teaching Statistics . 35 (2): 89–93. doi :10.1111/test.12005. S2CID  119887116.
33. Паркер, Мэтт (12 февраля 2022 г.). «Проблема коллекционера купонов (с Джеффом Маршаллом)». Математика стендапов . YouTube.
34. Luko, Stephen N. (март 2009). «Проблема «коллекционера купонов» и контроль качества». Quality Engineering . 21 (2): 168–181. doi :10.1080/08982110802642555. S2CID  109194745.
35. Фризе, Алан ; Каронски, Михал (2016). «4.1 Связность». Введение в случайные графы . Cambridge University Press, Кембридж. стр. 64–68. doi :10.1017/CBO9781316339831. ISBN 978-1-107-11850-8. МР  3675279.
36. Айзек, Ричард (1995). «8.4 Проблема коллекционера купонов решена». Удовольствия вероятности . Бакалаврские тексты по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 80–82. doi :10.1007/978-1-4612-0819-8. ISBN 0-387-94415-X. МР  1329545.
37. Кормен, Томас Х .; Лейзерсон, Чарльз Э .; Ривест, Рональд Л .; Штейн, Клиффорд (2009) [1990]. «Глава 7: Быстрая сортировка». Введение в алгоритмы (3-е изд.). MIT Press и McGraw-Hill. стр. 170–190. ISBN 0-262-03384-4.
38. Кормен и др. (2009), Раздел 8.1, «Нижние границы сортировки», стр. 191–193.
39. Френише, Франциско Дж. (2010). «О теореме перестановки Римана для знакопеременного гармонического ряда» (PDF) . The American Mathematical Monthly . 117 (5): 442–448. doi :10.4169/000298910X485969. JSTOR  10.4169/000298910x485969. MR  2663251. S2CID  20575373.
40. Содди, Ф. (1943). «Три бесконечных гармонических ряда и их суммы (с актуальной ссылкой на ряд Ньютона и Лейбница для π {\displaystyle \pi } )». Труды Королевского общества . 182 (989): 113–129. Bibcode :1943RSPSA.182..113S. doi : 10.1098/rspa.1943.0026 . MR  0009207. S2CID  202575422.
41. Бомбьери, Э. (2010). «Классическая теория дзета- и -функций». Миланский математический журнал . 78 (1): 11–59. doi :10.1007/s00032-010-0121-8. MR  2684771. S2CID  120058240. ${\displaystyle L}$
42. Шмуланд, Байрон (май 2003 г.). "Случайный гармонический ряд" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 110 (5): 407–416. doi :10.2307/3647827. JSTOR  3647827. Архивировано из оригинала (PDF) 2011-06-08 . Получено 2006-08-07 .
43. Беттин, Сандро; Молтени, Джузеппе; Санна, Карло (2018). «Малые значения знаковых гармонических сумм». Comptes Rendus Mathématique . 356 (11–12): 1062–1074. arXiv : 1806.05402 . doi :10.1016/j.crma.2018.11.007. hdl : 2434/634047. МР  3907571. S2CID  119160796.
44. Бейли, Роберт (май 1979). «Суммы обратных чисел целых чисел, в которых отсутствует заданная цифра». The American Mathematical Monthly . 86 (5): 372–374. doi :10.1080/00029890.1979.11994810. JSTOR  2321096.
45. Шмельцер, Томас; Бейли, Роберт (июнь 2008 г.). «Суммирование любопытного, медленно сходящегося ряда». The American Mathematical Monthly . 115 (6): 525–540. doi :10.1080/00029890.2008.11920559. JSTOR  27642532. S2CID  11461182.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Гармонический ряд". MathWorld .