stringtranslate.com

Проекционный диапазон

В математике проективный диапазон — это множество точек в проективной геометрии, рассматриваемых единым образом. Проективный диапазон может быть проективной прямой или коникой . Проективный диапазон — это двойственный к пучку прямых в данной точке. Например, корреляция меняет местами точки проективного диапазона с линиями пучка. Говорят, что проективность действует из одного диапазона в другой, хотя два диапазона могут совпадать как множества.

Проективный ряд выражает проективную инвариантность отношения проективных гармонических сопряжений . Действительно, три точки на проективной прямой определяют четвертую с помощью этого отношения. Применение проективности к этой четверке приводит к четырем точкам, аналогичным образом, в гармоническом отношении. Такая четверка точек называется гармоническим рядом . В 1940 году Джулиан Кулидж описал эту структуру и определил ее создателя: [1]

Две фундаментальные одномерные формы, такие как точечные ряды, пучки линий или плоскостей, определяются как проективные, когда их элементы находятся во взаимно-однозначном соответствии, и гармонический набор одной ... соответствует гармоническому набору другой. ... Если две одномерные формы связаны последовательностью проекций и пересечений, гармонические элементы будут соответствовать гармоническим элементам, и они являются проективными в смысле фон Штаудта .

Конические диапазоны

Когда для проективного диапазона выбрана коника, а конкретная точка E на конике выбрана в качестве начала координат, то сложение точек можно определить следующим образом: [2]

Пусть A и B находятся в диапазоне (коническом), а AB — соединяющая их линия. Пусть L — прямая, проходящая через E и параллельная AB . «Сумма точек A и B », A + B , является пересечением L с диапазоном. [ необходима цитата ]

Окружность и гипербола являются примерами конического сечения, и суммирование углов на каждом из них может быть получено методом «суммы точек», при условии, что точки связаны с углами на окружности и гиперболическими углами на гиперболе.

Ссылки

  1. ^ Дж. Л. Кулидж (1940) История геометрических методов , стр. 98, Oxford University Press ( Dover Publications 2003)
  2. ^ Виктор Прасолов и Юрий Соловьев (1997) Эллиптические функции и эллиптические интегралы , страница первая, Переводы математических монографий, том 170, Американское математическое общество